北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习(一)数学文科试卷

北京市东城区 2016-2017 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学 (文科)
本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) (1)如果 A ? ?x ? R | x ? 0? , B ? ?0,1,2,3? ,那么集合 A ? B ? A.空集 C. ?0,1? B. ?0? D. ?1, 2,3?

(2)某高校共有学生 3000 人,新进大一学生有 800 人.现对大学生社团活动情况进行抽样调查,用分层抽 样方法在全校抽取 300 人,那么应在大一抽取的人数为 A.200 B.100 C.80 D.75

(3)如果 a ? log4 1 , b ? log2 3 , c ? log 2 ? ,那么三个数的大小关系是 A. c ? b ? a C. a ? b ? c
2 2

B. a ? c ? b D. b ? c ? a

(4)如果过原点的直线 l 与圆 x ? ( y ? 4) ? 4 切于第二象限,那么直线 l 的方程是 A. y ? 3x C. y ? 2 x B. y ? ? 3x D. y ? ?2 x

(5)设函数

? 2 x ? 3,x ? 0, f ( x) ? ? 若 f ( a) ? 1 ,则实数 a 的取值范围是 x ? 1 , x ? 0. ?
B. (0, ??) D. ( ??, 0) ∪ (2, +?)

A. (0, 2) C. (2, ??)

(6) “ sin ? ? cos ? ? 0 ”是 “ cos 2? ? 0 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分且必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1

(7)如果某四棱锥的三视图如图所示,那么该四棱锥 的四个侧面中是直角三角形的有 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

(8)如果函数 y ? f ( x) 在定义域内存在区间 [ a, b] ,使 f ( x ) 在 [ a, b] 上的值域是 [2a,2b] ,那么称 f ( x) 为 “倍增函数” .若函数 f ( x) ? ln(e x ? m) 为“倍增函数” ,则实数 m 的取值范围是 A. (?

1 ,?? ) 4

B. (?

1 ,0) 2

C. (?1,0)

D. (?

1 ,0) 4

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)如果 ( x2 ? 1) ? ( x ? 1)i 是纯虚数,那么实数 x ? .

共 110 分) 开始

k ?1
k ? k ?1

(10)如果执行如图所示的程序框图,那么输出的 k ? ___.

m?

1 3 ?1
k

(11)如果直线 l: y ? kx ? 1 (k ? 0) 与双曲线 行,那么 k = __ .

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线平 16 9

m?

1 ? 200




输出 k 结束 (12) “墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验 卫星,于 2016 年 8 月 16 日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保 密通信.量子通信是通过光子的偏振状态,使用二进制编码,比如,码元 0 对应光子偏振方向为水平或斜向 下 45 度,码元 1 对应光子偏振方向为垂直或斜向上 45 度.如下图所示

2

编码方式 1 码元 0

编码方式 2

码元 1

信号发出后,我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码,比如,信号发送端如果按编码方式 1 发送,同时接收端按编码方式 1 进行解码,这时能够完美解码;信号发送端如果按编码方式 1 发送,同时接 收端按编码方式 2 进行解码,这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概 率是____;如果发送端发送 3 个码元,那么恰有两个码元无法获取信息的概率是____.

(13)已知 ?ABC 中, ?A=120? ,且 AB ? AC ? 2 ,那么 BC ? _______, BC ? CA ? ____ .

??? ? ??? ?

(14)已知甲、乙、丙三人组成考察小组,每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存 36 天的水和食物, 且计划每天向沙漠深处走 30 公里,每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回. 若组 员甲与其他两个人合作,且要求三个人都能够安全返回,则甲最远能深入沙漠_________公里.

三、解答题(共 6 小题,共 80 分.答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) (15) (本小题 13 分) 已知点 (

?
4

,1) 在函数 f ( x) ? 2a sin x cos x ? cos 2 x 的图象上.

(Ⅰ) 求 a 的值和 f ( x) 最小正周期; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 在 (0 , ?? 上的单调减区间.

(16) (本小题 13 分) 已知数列 {an } 是等差数列,前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 9, S3 ? 21. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a5 , a8,Sk 成等比数列,求 k 的值.

3

(17) (本小题 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是平行四边形, AD ? BD 且 AD =BD , AC ? BD ? O ,

PO ? 平面 ABCD .
(I) E 为棱 PC 的中点,求证: OE // 平面 PAB ; (II)求证:平面 PAD ? 平面 PBD ; (III) 若 PD ? PB , AD =2 ,求四棱锥 P ? ABCD 的体积. A (18) (本小题 13 分) D

P

C O B

某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中,对某居民小区进行用水情况随机 抽样调查,获得了该小区 400 位居民某月的用水量数据(单位:立方米) ,整理得到如下数据分组及频数分 布表和频率分布直方图: 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3) [3,3.5) [3.5,4) [4,4.5) 频数 20 40 80 120 60 40 20 20

(Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)从该小区随机选取一名住户,试估计这 名住户一个月用水量小于 3 立方米的概率; (Ⅲ)若小区人均月用水量低于某一标准,则 称该小区为“节水小区”.假设同组中的每个数 据用该组区间的右端点值代替,经过估算,该 小区未达到“节水小区”标准,而且该小区居 民月用水量不高于这一标准的比例为 65%, 经过 同学们的节水宣传,三个月后,又进行一次同 等规模的随机抽样调查,数据如右图所示,估 计这时小区是否达到“节水小区”的标准?并说明理由.

4

(19) (本小题 13 分) 已知椭圆 W :

x2 y2 ,椭圆上一动点 P 满足 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 左 右 两 个 焦 点 为 F1 , F2 , 且 F 1F 2 ?2 a 2 b2

PF1 ? PF2 ? 2 3 .
(Ⅰ)求椭圆 W 的标准方程及离心率; (Ⅱ)如图,过点 F 1 作直线 l1 与椭圆 W 交于点 A, C ,过点 F2 作直线 l2 ? l1 ,且 l 2 与椭圆 W 交于点 B, D ,l1 与 l2 交于点 E ,试求四边形 ABCD 面积的最大值. y B E A F1 O F2 D x C

(20) (本小题 14 分) 设函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? ax , a ? R . 3 2

(Ⅰ)若 x ? 2 是 f ( x) 的极值点,求 a 的值,并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)已知函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 2 2 ax ? ,若 g ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,求 a 的取值范围; 2 3

(Ⅲ)设 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,试讨论过两点 ( x1, f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) 的直线能否过点 (1,1) ,若能,求

a 的值;若不能,说明理由.

5

北京市东城区 2016-2017 学年第二学期高三综合练习(一) 数学(文科)参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)D (5)B (2)C (6)A (3)A (7)D (4)B (8)D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ?1 (11) (10) 5 (12)

3 4

1 3 , 2 8

(13) 2 3 , ?6

(14) 810

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分)

π ,1) 在函数 f ( x) 的图象上, 4 π π π π ? f ( )=2a sin cos ? cos ? 1 . 4 4 4 2 a ? 1. ?
解:(Ⅰ) ? 点(

? f ( x) ? 2sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x π ? 2 sin(2 x ? ) 4
?T ? π .
------------------6 分 (Ⅱ)由

? ? 3? ? 2k ? ≤ 2 x ? ≤ ? 2k ? , 2 4 2 ? 5? ? 2k ? ≤ 2x ≤ ? 2 k? , 得 4 4 ? 5? ? ? k? ≤ x ≤ ? k ?? 8 8

? 函数 f ( x) 的单调减区间为

5? ?? ? ? k ?, ? k ?? (k ? Z ). ? 8 ?8 ?

? ? 5? ? ? 函数 f ( x) 在 (0 , ?? 上的单调减区间为 ? , ? . ?8 8 ?
------------------ 13 分 (16) (共 13 分)

6

解: (Ⅰ)? 等差数列 {an } 中, a1 ? 9, S3 ? 21,

?3a1 ? 3d ? 21 .
?9 ? d ? 7 . ? d ? ?2.

? 数列 {an } 的通项公式为 an ? ?2n ? 11 .
------------------6 分 (Ⅱ)? 数列 {an } 是等差数列, a1 =9,d ? ?2 ,

? Sn ? ?n2 ? 10n . ? Sk ? -k 2 ? 10k .
? an ? ?2n ? 11 ,

? a5 ? 1 , a8 ? ?5 . ? a5,a8,Sk 成等比数列, ? a82 ? a5 ? Sk .
2 (? 5) ? ?k 2 ? 10k . ?

即 k ? 10k ? 25 ? 0 ,
2

解得 k ? 5 . ------------------13 分 (17) (共 14 分) 解: (I) 因为 O 是平行四边形 ABCD 对角线交点,所以 O 为 AC 中点 又 E 为棱 PC 中点,所以 OE / / PA 因为 OE ? 平面 PAB , PA ? 平面 PAB , 所以 OE / / 平面 PAB (II) 因为 PO ? 面ABCD , 所以 PO ? AD 又 BD ? AD , BD ? PO ? O , 所以 AD ? 面PBD 因为 AD ? 面PAD , ????????5 分

7

所以 面PAD ? 面PBD

????????10 分

(III)因为 O 是平行四边形 ABCD 对角线交点,所以 O 为 BD 中点 又 PD ? PB , AD ? BD ? 2 ,可求得 PO ? 因为 PO ? 面ABCD ,所以 VP ? ABCD ?

1 BD ? 1 2

1 S ABCD ?PO 3

1 S ABCD ? 2S?ABD ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 4 2 1 1 4 所以 VP ? ABCD ? S四边形ABCD ?PO ? ? 4 ? 1 ? 3 3 3
(18) (共 13 分) 解答: (Ⅰ)由数据分组及频数分布表可知,

????????14 分

40 120 a ? 400 ? 0.2 ; b ? 400 ? 0.6 0.5 0.5
(Ⅱ)设这名住户一个月用水量小于 3 立方米为事件 A,那么

????????4 分

P( A) ?

20 ? 40 ? 80 ? 120 ? 60 ? 0.8 400

????????8 分

(Ⅲ)因为该小区居民月用水量低于这一标准的比例为 35%, 所以由图可知, 小区人均月用水量低于 2.5 立方米,则称为“节水小区”. 由图可知,三个月后的该小区人均月用水量为 ????????10 分

1? 0.1 ? 1.5 ? 0.15 ? 2 ? 0.25 ? 2.5 ? 0.3 ? 3 ? 0.1 ? 3.5 ? 0.05 ? 4 ? 0.05 ? 2.25 ? 2.5
所以三个月后该小区达到了“节水小区”标准. (19) (共 13 分) ????????13 分

?2c ? 2 ?c ? 1 ? ? 解: (Ⅰ)由已知, ?2a ? 2 3 ,解得 ? a ? 3 . ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?b ? 2
所以椭圆 W 的标准方程为

c 3 x2 y 2 ? ? 1 ,离心率 e ? ? . 3 2 a 3

????????4 分

(Ⅱ)由题意可知 EF1 ? EF2 ,由此可求得 | EO | ?

1 | F1 F2 |? 1 2 所以 E 点轨迹为以原点为圆心,半径为 1 的圆,显然 E 点在椭圆 W 的内部 1 1 1 | BE | ? | AC |? | DE |? | AC |? | BD | 所以 S四边形ABCD ? S ?ABC ? S ?ADC ? | AC |? 2 2 2

8

当直线 l1 , l2 一条为椭圆的长轴,一条与 x 轴垂直时,例如 AC 为长轴, BD ? x轴 时 把 x ? 1 代入椭圆方程,可求得 y ? ? 所以此时 S ABCD ?

2 3 4 3 ,由此 | BD | ? ,又 | AC | ? 2 3 3 3

1 | AC |? | BD |? 4 2

当直线 l1 , l2 的斜率都存在时, 设直线 l1 : x ? my ? 1,(m ? 0) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? x ? my ? 1 ? 联立 ? x 2 y 2 消去 x 可得 (2m2 ? 3) y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ?1 ? ? 2 ?3
4m ? y1 ? y2 ? ? ? 2m 2 ? 3 所以 ? . ? y y ? ?4 1 2 ? 2m 2 ? 3 ?

AC ? (1 ? m2 ) ? y1 ? y2 ? ?
2

4 3(m2 ? 1) 2m2 ? 3

同理,由 l2 : x ? ?

1 4 3(m2 ? 1) x ? 1 可求得 BD ? m 2 ? 3m2

S四边形ABCD ? ?

1 1 4 3(m2 ? 1) 4 3(m2 ? 1) 24( m2 ? 1) 2 | AC |? | BD |? ? ? ? 2 2 2m 2 ? 3 2 ? 3m2 (2m2 ? 3)(3m2 ? 2) 24(m4 ? 2m2 ? 1) 4(6m4 ? 12m2 ? 6) m2 ? ? 4(1 ? )?4 6m4 ? 13m2 ? 6 6m4 ? 13m2 ? 6 6m4 ? 13m2 ? 6

综上,四边形 ABCD 面积的最大值为 4 ,此时直线 l1 , l2 一条为椭圆的长轴,一条与 x 轴垂直. ????????13 分 (20) (共 14 分) 解析:(Ⅰ) 由 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? ax 求得 f ' ( x) ? x2 ? x ? a 3 2

? f ' (2) ? 4 ? 2 ? a ? 0 ? a ? ?2 ,代入 f ' ( x) ? x2 ? x ? 2 ? ( x ? 2)(x ? 1)
令 f ' ( x) ? 0 得 x1 ? 2 , x2 ? ?1

?当x ? (??,?1), (2,??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当x ? (?1,2) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减.
????????4 分 (Ⅱ) 由 g ( x) ? f ( x) ?
2

1 2 2 1 3 1 1 2 ax ? ? x ? ( ? a) x 2 ? ax ? 2 3 3 2 2 3

求得 g ' ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a ? ( x ? 1)(x ? a)

9

?当a ? 1 时,当 x ? (0,1) 时, g ' ( x) ? 0 恒成立, g ( x) 单调递增,又 g (0) ?
此时 g ( x) 在区间 (0,1) 内没有零点; 当 0 ? a ? 1 时,当 x ? (0, a ) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递增; 当 x ? (a,1) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递减.又 g (0) ? 此时欲使 g ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,必有 g (1) ? 0 .

2 ?0 3

2 ?0 3

1 1 1 2 1 1 ? ( ? a) ? a ? ? a ? ? 0 ? a ? ?1 3 2 2 3 2 2 当 a ? 0 时,当 x ? (0,1) 时, g ' ( x) ? 0 恒成立, g ( x) 单调递减 g (1) ? 0 ?
综上, a 的取值范围为 (??,?1) .

无解

此时欲使 g ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,必有 g (1) ? 0 ? a ? ?1 .

????????9 分 (Ⅲ)不能.原因如下: 设 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,则导函数 f ' ( x) ? x2 ? x ? a 有两个不同的零点

? ? ? 0 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ?

1 2 ,且 x1 , x2 为方程 x ? x ? a ? 0 的两根 4

x12 ? x1 ? a ? 0 ? x12 ? x1 ? a
1 3 1 2 1 1 1 2 1 2 x1 ? x1 ? ax1 ? x1 ( x1 ? a) ? x12 ? ax1 ? ? x12 ? ax1 ? ? ( x1 ? a) ? ax1 3 2 3 2 6 3 6 3 2 1 1 2 1 1 ? f ( x1 ) ? ( a ? ) x1 ? a 同理 f ( x2 ) ? ( a ? ) x2 ? a 3 6 6 3 6 6 ? f ( x1 ) ?
由此可知过两点 ( x1, f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) 的直线方程为 y ? ( a ? ) x ?

2 3

1 6

1 a 6

1 5 7 7 a? a? ?a? 6 6 6 5 1 前面已经讨论过若 f ( x) 有两个极值点,则 a ? ,显然不合题意. 4
若直线过点 (1,1) ,则 1 ? ( a ? ) ? 综上,过两点 ( x1, f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) 的直线不能过点 (1,1) . ????????14 分

2 3

1 6

10


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