【优化方案】2012高中数学 第1章1.2.3第一课时线线垂直、线面垂直课件 新人教B版必修2_图文

1.2.3 .

空间中的垂直关系

第一课时 线线垂直、线面垂直 线线垂直、

学习目标 1.理解线线垂直 、 线面垂直的概念并能画出它们 理解线线垂直、 理解线线垂直 的直观图. 的直观图. 2. 掌握线线垂直、 线面垂直的判定定理, 并能 . 掌握线线垂直 、 线面垂直的判定定理 , 作出正确的判定,会求其距离. 作出正确的判定,会求其距离. 3. 掌握线面垂直的性质定理 , 并能应用该定理 . 掌握线面垂直的性质定理, 证明空间位置关系. 证明空间位置关系.

课前自主学案

第一课时

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 初中我们是这样定义垂直的: 初中我们是这样定义垂直的 : 如果两条相交直线 所成的角是_______,则称这两条直线互相垂直. 所成的角是 直角 ,则称这两条直线互相垂直.

知新益能 1.直线与直线的垂直 . 两条直线垂直的定义:如果两条直线_____________ 两条直线垂直的定义:如果两条直线 相交于一点 经过平移后相交于一点 ,并且交角为直角, 或_______________________,并且交角为直角, 则 称这两条直线互相垂直. 称这两条直线互相垂直. 2.直线与平面垂直 . (1)直线与平面垂直的定义:如果一条直线和一个平 直线与平面垂直的定义: 直线与平面垂直的定义 面相交于点O,并且和这个平面内过交点O的任何直 面相交于点 ,并且和这个平面内过交点 的任何直 线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直. 线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.

这条直线叫做平面的________, 这个平面叫做这 , 这条直线叫做平面的 垂线 垂足 条直线的________, 交点叫做_________, 垂线 条直线的 , 交点叫做 , 垂面 上任意一点到垂足间的线段, 上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平 垂线段 点到 面的_______________, 垂线段的长度叫做这个 面的 , _______ 平面的距离 _______________. _______________. (2)直线和平面垂直的判定定理:如果一条直线与一 直线和平面垂直的判定定理: 直线和平面垂直的判定定理 个平面内的两条相交直线都垂直, 个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线就 垂直于这个平面. 简而言之 线线垂直, 简而言之: 垂直于这个平面 (简而言之:线线垂直,则线面垂 直) (3)推论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 推论: 推论 那么另一条也垂直于这一平面. 面,那么另一条也垂直于这一平面.

思考感悟 垂直于同一条直线的两条直线平行吗? 垂直于同一条直线的两条直线平行吗? 提示:不一定.平行、相交、异面都有可能. 提示:不一定.平行、相交、异面都有可能. 3.直线与平面垂直的性质 . (1)由直线和平面垂直的定义知 , 直线与平面内 由直线和平面垂直的定义知, 由直线和平面垂直的定义知 的 __________ 都 垂 直 , 除 此 以 外 还 有 性 质 定 所有直线 理. (2)垂直于 同一个平面 的两条直线平行. 垂直于_____________的两条直线平行 的两条直线平行. 垂直于 垂直于________________的两个平面平行. 的两个平面平行. 垂直于 同一条直线 的两个平面平行

课堂互动讲练

考点突破 线面垂直的判定 关键证明线垂直于平面内的两条相交直线. 关键证明线垂直于平面内的两条相交直线.

的中点, 为底面 为底面ABCD的中心. 的中心. 为CC1的中点,O为底面 的中心 求证: 求证:A1O⊥平面 ⊥平面GBD.

如图 , 在正方体 - 例1 如图, 在正方体ABCD- A1B1C1D1 中 , G

【分析】 要证明线面垂直,可在平面 分析】 要证明线面垂直,可在平面GBD内 内 找两条相交直线与A1O垂直. 找两条相交直线与 垂直. 垂直

【证明】 证明】 A1 A⊥ BD ⊥

? ? ⊥ ? ? ∵ AC⊥ BD ? A1 A∩ AC= A ? ∩ =
BD⊥ 平面 1 AO ? ⊥ 平面A ? ?? A1 O?平面 1 AO ? ?平面A ? BD⊥ A1 O, ⊥ , 、 设正方体棱长为 a,连接 OG、 A1 G、 A1 C1 . , 、

∵ A1 O = A1 A + AO 2 2 3 2 2 = a +( a) = a , 2 2 OG2 = OC2+ CG2 2 2 a2 = ( a) + ( ) 2 2 3 2 = a, 4

2

2

2

A1 G2 = A1 C2 + C1 G2 1 a2 = ( 2a) + ( ) 2
2

9 2 = a, 4 ∴ A1 O + OG = A1 G , ∴ A1 O⊥ OG, ⊥ , 又∵ BD∩ OG= O,∴ A1 O⊥平面 GBD. ∩ = , ⊥
2 2 2

【点评】 点评】

把线面垂直的证明,转化为线线垂直, 把线面垂直的证明,转化为线线垂直,

其中勾股定理是证明线线垂直的重要方法. 其中勾股定理是证明线线垂直的重要方法. 跟踪训练1 跟踪训练 正方体A1B1C1D1-ABCD中,E、F分 正方体 中 、 分

别是棱AB、 BC的中点, O是下底面 、 的中点, 是下底面 是下底面ABCD的中心, 的中心, 别是棱 的中点 的中心 求证: ⊥平面BB 求证:EF⊥平面 1O.

证明:如图所示,连接AC,BD,则O为AC和BD 证明:如图所示,连接 , , 为 和 的交点. 的交点. 是正方形, ∵ABCD是正方形, 是正方形 ∴AC⊥BO. ⊥

又∵B1B⊥面ABCD,AC?面ABCD, ⊥ , ? , ∴BB1⊥AC. 又BO∩BB1=B, , ∴AC⊥面BB1O. ⊥ 分别是AB、 的中点 的中点, 又∵E、F分别是 、BC的中点, 、 分别是 ∴在△ABC中,EF∥AC. 中 ∥ ∴EF⊥平面 1O. ⊥平面BB

线面垂直的性质的应用 主要依据线面垂直的定义及性质定理. 主要依据线面垂直的定义及性质定理.

例2 如图 , 已知矩形 如图,已知矩形ABCD,过 A作SA⊥平面 , , 作 ⊥ 平面AC,

再过A作 ⊥ 于点 于点E, 于点F. 再过 作AE⊥SB于点 ,过E作EF⊥SC于点 作 ⊥ 于点 (1)求证:AF⊥SC; 求证: ⊥ ; 求证 (2)若平面 若平面AEF交SD于点 ,求证:AG⊥SD. 于点G,求证: ⊥ 若平面 交 于点

分析】 【 分析 】

本题是证线线垂直问题, 本题是证线线垂直问题 , 可通过证线

面垂直来证明. 结合图欲证AF⊥ , 只需证SC 面垂直来证明 . 结合图欲证 ⊥ SC,只需证 垂直于AF所在的平面 , 由已知, 垂直于 所在的平面, 即 SC⊥ 平面 所在的平面 ⊥ 平面AEF.由已知 , 由已知 欲证SC⊥平面 垂直于SC所在平 欲证 ⊥ 平面AEF,只需证 垂直于 所在平 , 只需证AE垂直于 面,即AE⊥平面 ⊥平面SBC;再由已知只需证 ⊥BC, ;再由已知只需证AE⊥ , 而要证AE⊥ ,只需证BC⊥平面SAB,而这可 而要证 ⊥BC,只需证 ⊥平面 , 由已知得证. 由已知得证.

【证明】 (1)∵SA⊥平面 ,BC?平面 , 证明】 ∵ ⊥平面AC, ?平面AC, ∴SA⊥BC, ⊥ , 四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC. 为矩形, ∵四边形 为矩形 ⊥ ∴BC⊥平面 ⊥平面SAB,∴BC⊥AE. , ⊥ 又SB⊥AE,∴AE⊥平面 ⊥ , ⊥平面SBC, , ∴AE⊥SC. ⊥ 又EF⊥SC,∴SC⊥平面 ⊥ , ⊥平面AEF. ∴AF⊥SC. ⊥ (2)∵SA⊥平面 ,∴SA⊥DC. ∵ ⊥平面AC, ⊥ 又AD⊥DC,∴DC⊥平面 ⊥ , ⊥平面SAD.∴DC⊥AG. ∴ ⊥ 又由(1)有 ⊥平面AEF,AG?面AEF, 又由 有SC⊥平面 , ? , ∴SC⊥AG,∴AG⊥平面 ⊥ , ⊥平面SDC,∴AG⊥SD. , ⊥

【点评】 证明线线垂直的常用思路是: 点评】 证明线线垂直的常用思路是: 线面垂直 ― → 线线垂直 判定定理 线面垂直 ― ― → ― 定义
定义 判定定理 推出 推出 推出 定义

― → 线线垂直 . ― 定义

跟踪训练2 跟踪训练 α∥β. ∥

已知AA′ ⊥ α, AA′ ⊥ β.求证 : ′ 求证: 已知 , ′ 求证

证明:如图所示,设经过直线AA′ 证明 : 如图所示 , 设经过直线 ′ 的两个平面 γ,δ分别与平面 ,β相交于直线 a,b和a′, , 分别与平面 分别与平面α, 相交于直线 和 ′ b′, ′ 因为AA′ ⊥ α, AA′ ⊥ β, 所以 ′ 因为 , ′ , 所以AA′ ⊥ a′ , ′ ′ AA′⊥a, ′ ,

AA′,a′,a都在平面 内, , , 都在平面 都在平面γ内 所以a∥ ,所以a′∥ 同理 同理b′∥ 所以 ∥a′,所以 ∥α.同理 ∥α. 又a′∩b′=A′,所以 ∥β. = ,所以α∥

点到平面的距离 先利用定义找出或作出垂线段, 先利用定义找出或作出垂线段,在直角三角形 中求出该线段长. 中求出该线段长.

例3 已知 为△ABC外一点,PA、PB、PC两两 已知P为 外一点, 、 、 两两 外一点

垂直, = = = , 点到平面ABC的距 垂直 , PA=PB=PC=a,求P点到平面 点到平面 的距 离. 分析】 【分析】 欲求点到平面的距离, 欲求点到平面的距离,可先过点作平

面的垂线,进一步求出垂线段的长. 面的垂线,进一步求出垂线段的长.

【解】 过P作PO⊥平面 作 ⊥平面ABC于O点,连接 于 点 连接AO、 、 BO、CO, 、 , ∴PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC. ⊥ , ⊥ , ⊥ ∵PA=PB=PC=a, = = = , ∴△PAO≌△PBO≌△PCO. ≌ ≌ ∴OA=OB=OC, = = , 的外心. ∴O为△ABC的外心. 为 的外心 两两垂直, ∵PA、PB、PC两两垂直, 、 、 两两垂直

为正三角形, ∴ AB= BC= CA= 2a,△ ABC 为正三角形, = = = , 3 6 ∴ AO= AB= a, = = , 3 3 3 2 2 ∴ PO= PA - AO = a. = 3 3 到平面 因此点 P 到平面 ABC 的距离为 a. 3

【点评】 点评】

求点到平面距离的基本程序是: 求点到平面距离的基本程序是:

首先,找到或作出要求的距离; 首先,找到或作出要求的距离; 然后,使所求距离在某一个三角形中; 然后,使所求距离在某一个三角形中; 最后, 在三角形中根据三角形的边角关系求出 最后 , 距离. 距离.

平行线到平面的距离 在平行线上寻找合适的点, 在平行线上寻找合适的点,转化为点到平面 的距离. 的距离.

例4

已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1 - 已知长方体

=5,AB=12,求直线 1C1到平面 1BCD1的距 , = ,求直线B 到平面A 离. 分析】 应先证出B 与平面A 平行, 【分析】 应先证出 1C1与平面 1BCD1平行 , 然后再转化求出距离. 然后再转化求出距离.

【解】 ∵B1C1∥BC, , B1C1?平面 1BCD1,BC?平面 1BCD1, 平面A ?平面A 平面A ∴B1C1∥平面 1BCD1, 故点B 到平面A 的距离即为所求. 故点 1到平面 1BCD1的距离即为所求.

过 B1 作 B1 E⊥ A1 B 于 E, ⊥ , ∵ BC⊥面 A1 B1 BA, ⊥ , ∴ BC⊥ B1 E, ⊥ , ∴ B1 E⊥ 平面 A1 BCD1 . ⊥ ∽ △ ∵ Rt△ A1 B1 B∽ Rt△ A1 EB1 , △ B1 E A1 B1 ∴ = , BB1 A1 B A1 B1 ·BB1 12× 5 × 60 ∴ B1 E= = = = . 2 2 A1 B 12 + 5 13 60 即 B1 C1 到平面 A1 BCD1 的距离为 . 13

点评】 【 点评 】

只有当直线平行于平面时, 只有当直线平行于平面时 , 才存在直

线到平面的距离, 关键是先判断直线和平面平行, 线到平面的距离 , 关键是先判断直线和平面平行 , 再将线面距离转化为点面距离, 进而转化为点线 再将线面距离转化为点面距离 , 距离, 最后通过解三角形求解, 距离 , 最后通过解三角形求解 , 这种转化的思想 非常重要. 非常重要.

跟踪训练 3 矩形 ABCD 和矩形 CDEF 有一公共 边 CD,且 ED⊥ AD,AB= 2,BC= 2,ED= 2. , ⊥ , = , = , = 求: (1)点 B 到平面 AED 的距离; 的距离; 点 (2)EF 到平面 ABCD 的距离; 的距离;

(3)CD 到平面 ABE 的距离. 的距离.

为矩形, 解:(1)∵ABCD和CDEF为矩形, ∵ 和 为矩形 ∴CD⊥DE,AB⊥DE. ⊥ , ⊥ 又∵AB⊥AD, ⊥ , ∴AB⊥平面 ⊥平面AED, , 的长即为所求距离, ∴BA的长即为所求距离, 的长即为所求距离 因此点B到平面 到平面AED的距离为 的距离为2. 因此点 到平面 的距离为

(2)∵ ED⊥面 ABCD, ∵ ⊥ , 又∵ ED= 2, = , ∴ EF 到平面 ABCD 的距离是 2. (3)在平面 ADE 中, 在平面 过 D 作 DG⊥ AE 于 G, ⊥ , 由 (1)知 AB⊥平面 ADE, 知 ⊥ , ∴ AB⊥ DG,∴ DG⊥ 平面 ABE,即 DG 为所求距 ⊥ , ⊥ , 离, 2 2 在直角△ 在直角△ ADE 中, AE= AD + DE = 2, = , 2× 2 DE·AD × = = 1, , ∴ DG= = AE 2 ∴ CD 到平面 ABE 的距离为 1.

方法感悟 1.直线与直线垂直 . 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点, 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点, 并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直. 并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直. 两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直. 两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直. 2.直线和平面垂直 . (1)直线与平面垂直的定义,应注意:①定义中的 直线与平面垂直的定义, 直线与平面垂直的定义 应注意: 任何直线”这一条件, “任何直线”这一条件,②直线与平面垂直是相交 中的特殊情况, 中的特殊情况,③利用定义可得直线和平面垂直则 直线与平面内的所有直线垂直. 直线与平面内的所有直线垂直.

(2)判定定理 判定定理 直线与平面垂直应注意两点: 直线与平面垂直应注意两点: 定理中的条件, 平面内的两条相交直线”既 ①定理中的条件,是“平面内的两条相交直线 既 平面内的两条相交直线 不能说是“两条直线 两条直线”,也不能说“无数条直线 无数条直线”. 不能说是 两条直线 ,也不能说 无数条直线 . 应用定理的关键是在平面内, ②应用定理的关键是在平面内,找到两条相交直 线与已知直线垂直. 线与已知直线垂直. (3)推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于 推论: 推论 如果在两条平行直线中, 平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. 平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.此推 论也是判定直线与平面垂直的方法. 论也是判定直线与平面垂直的方法.

(4)垂直于同一平面的两条直线平行;垂直于同一 垂直于同一平面的两条直线平行; 垂直于同一平面的两条直线平行 直线的两个平面平行. 直线的两个平面平行. 3.线面垂直、线线垂直的证明方法 .线面垂直、 (1)线面垂直的证明方法: 线面垂直的证明方法: 线面垂直的证明方法 定义法; 判定定理法; 判定定理的推论. ①定义法;②判定定理法;③判定定理的推论. (2)线线垂直的证明方法:①定义法;②线面垂直 线线垂直的证明方法: 定义法; 线线垂直的证明方法 的性质. 的性质. (3)线线垂直与线面垂直可相互转化. 线线垂直与线面垂直可相互转化. 线线垂直与线面垂直可相互转化


相关文档

【优化方案】2012高中数学 第1章1.2.2第一课时线线平行、线面平行课件 新人教B版必修2
【优化方案】2012高中数学 第1章1.2.2条件语句同步课件 新人教B版必修3
【优化方案】2012高中数学 第2章2.1.4数据的收集同步课件 新人教B版必修3
【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.2程序框图同步课件 新人教B版必修3
【优化方案】2012高中数学 第1章1.2.3循环语句同步课件 新人教B版必修3
【优化方案】2012高中数学 第1章1.2.3第一课时直线与平面平行课件 苏教版必修2
【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.1算法的初步同步课件 新人教B版必修3
【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.2第二课时课件 新人教B版必修5
【优化方案】2012高中数学 第1章本章优化总结同步课件 新人教B版必修3
【优化方案】2012高中数学 第1章1.2.3第二课时直线与平面垂直及直线与平面所成的角课件 苏教版必修2
电脑版