炎德英才大联考·师大附中2015届高三月考试卷(一)理科数学·学生

炎德英才大联考〃湖南师大附中 2015 届高三月考试卷(一) 数
求的。 )
2 1、已知集合 M= x x ? 2 x ? 0 ,N= x x ? a ,若 M ? N ,则实数 a 的取值范围是 (

学(理科)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

?

?
x

?

?



A、 ?2, ??? 2、下列四个命题:

B、 ? 2, ???
x

C、 ? ??,0?

D、 ? ??,0?

?1? ?1? p1 : ? x ?? 0, ??? , ? ? ? ? ? ; ? 2? ? 3?
?1? p3 : ? x ?? 0, ??? , ? ? ? log 1 x ; ?2? 2
其中的真命题是( A、 p1 , p3 C、 p2 , p3 ) B、 p1 , p4 D、 p2 , p4
x

p2 : ? x ? ? 0 , 1 ? , log 1 x ? log 1 x ;
2 3

? 1? ?1? p4 : ? x ? ? 0, ? , ? ? ? l o g 1 x; ? 3? ? 2? 3
开始 输入 n

x

3、在如右图所示的程序框图中输入 10,结果会输出( A、10 B、11 C、512 D、1024 所得图象关于原点对称,则 ? 的最小值为( A、 ?



S=1, k=1 k≤n?
是 否

4、将函数 f ? x ? ? sin x ? cos x 的图象向左平移 ? ( ? ? 0 )个单位长度, )

? 4 4 3? 5? C、 D、 4 4 ? ? y ? 2 x ?1 5、若实数 x, y 满足条件 ? ,则 z ? x ? 3 y 的最大值为( ? ? y ? x ?1
B、 A、9 C、12 B、11 D、16

?

S=2S k=k+1
输出 S



结束

6、不全相等的五个数 a, b, c, m, n 具有关系如下:a, b, c 成等比数列,a, m, b 和 b, n, c 都成等差数列,则

a c ? m n

的值为( ) A、 ?2 B、0 C、2 D、不能确定 7、已知边长为 1 的正方形 ABCD 位于第一象限,且顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上(含原点)滑动, 则 OB ? OC 的最大值是( A、1 B. )

2 2

C、2 )

D、 5
1 1 正视图 侧视图

8、一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积为( A、

3 3 B、 4 2 C、 3 D、 2 3 2 2 9、若曲线 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 与曲线 C2 : y ? y ? mx ? m? ? 0 有 4 个
不同的交点,则实数 m 的取值范围是( A、 ? ? )

? ? ?

3 3? , ? 3 3 ? ?

B、 ? ?

? ? ?

3 ? ,0? 3 ? ?

? 3? 0, ? ? 3 ? ? ? ?

俯视图

-1-

C、 ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

D、 ? ??, ?
2

10、已知集合 A ? x x ? a0 ? a1 ? 3 ? a2 ? 3 ? a3 ? 3 ,其中 ai ??0,1,2? ( i ? 0,1, 2,3 )且 a3 ? 0 ,则 A 中所
3

?

? ? ?

3? ? 3 ? ?

? 3 ? , ?? ? ? ? 3 ? ? ?

?

有元素之和等于( ) A、3240 B、3120 C、2997 请将各小题唯一正确答案的代号填入下表的相应位置: 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7

D、2889 8 9 10

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 ) 11、在△ABC 中, a ? 15 , b ? 10 , ?A ? 60 ,则 cos B = ; 2 2 x y x ? ? 1 的长轴为 A1 A2 ,短轴为 B1B2 ,将坐标 12、如右图,椭圆 A2 16 12 平面沿 y 轴折成一个二面角,使点 A2 在平面 B1 A1B2 上的射影 y
恰好是该椭圆的左焦点,则此二面角的大小为 13、若 f ? x ? ? ; ;
A1 F1 B1 O F2 A2 x

? f ? x ? dx ? x ,则 f ? x ? =
0
2

1

B2

14、在函数 f ? x ? ? a ln x ? ? x ? 1? ( x ? 0 )的图像上任取两个

不同的点 P ? x1 , y1 ? 、 Q ? x2 , y2 ? ,总能使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 ? x1 ? x2 ? ,

则实数 a 的取值范围为 ; 15、两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子 来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,途中实心点的个数 1,5,12,22,…,被称为五角形 数,其中第 1 个五角形数记作 a1 ? 1 ,第 2 个五角形数记作 a2 ? 5 ,第 3 个五角形数记作 a3 ? 12 ,第 4 个 五角形数记作 a4 ? 22 ,……。

……

若按此规律继续下去,则: (1) a5 ? ;

(2)若 an ? 145 ,则 n=



三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16、 (本小题满分 12 分)设 f ? x ? ? sin ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期;

?? ? ?? x ? ? ? 2cos 2 x ? 1 。 6? 8 ?4
? 4? ? ?

(Ⅱ)若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图象关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? ?0, ? 时, y ? g ? x ? 的最大值。 3

-2-

17、 (本小题满分 12 分) 某电视台你举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目, 选手进入正赛前需通过海选, 参加海选的选手可以参加 A、B、C 三个测试项目,只需通过一项测试即可停止测试,通过海选。若通过 海选的人数超过预定正赛参赛人数, 则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛。 甲选手通过项目 A、 B、C 测试的概率分别为 , ,

1 1 1 ,且通过各次测试的事件相互独立。 5 3 2

(Ⅰ)若甲选手先测试 A 项目,再测试 B 项目,后测试 C 项目,求他通过海选的概率;若改变测试顺序,对 他通过海选的概率是否有影响?说明理由。 (Ⅱ)若甲选手按某种顺序参加海选测试,第一项能通过的概率为 p1 ,第二项能通过的概率为 p2 ,第三项能 通过的概率为 p3 ,设他通过海选时参加的测试次数为 ? ,求 ? 的分布列和期望(用 p1 、 p2 、 p3 表示) ; 并说明甲选手按怎样的顺序测试更有利于他进入正赛。

18、 (本小题满分 12 分)如图,△ABC 的外接圆 BC=6,且 BD=1, cos ?ADB ?

O 的半径为 5,CE 垂直于 O 所在平面,BD∥CE,CE=4,

101 。 101 2 21 ?若存在,确定 21
E

(Ⅰ )求证:平面 AEC⊥平面 BCED; (Ⅱ )试问线段 DE 上是否存在点 M,使得直线 AM 与平面 ACE 所成的角的正弦值为 点 M 的位置;若不存在,请说明理由。

M C A

D B

O

?5 4 3? ? ? 19、 (本小题满分 13 分)等比数列 ?an ? 中的前三项 a1 、 a2 、 a3 分别是数阵 ? 6 10 8 ? 中第一、二、三行 ? 20 12 16 ? ? ?
中的某三个数,且三个数不在同一列。 (Ⅰ )求此数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )若数列 ?bn ? 满足: bn ? 3an ? ? ?1? lg an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。
n

-3-

20、 (本小题满分 13 分)已知圆 C : ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 2 经过椭圆 ? :
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点 a 2 b2

F 和上顶点 B。 (Ⅰ )求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ )如图,过原点 O 的射线 l 与椭圆在第一象限的交点为 Q,与圆 C 的交点为 P,M 为 OP 的中点, 求 OM ? OQ 的最大值。
y B C M O

P F

Q x

21、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? e ? ax ? 2x ?1 ( x ? R ) 。
x 2

(Ⅰ )当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)求证:对任意实数 a ? 0 ,有 f ? x ? ?

a2 ? a ? 1 。 a

-4-


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