【数学】2.4.1 抛物线及其标准方程 课件2(人教A版选修2-1)_图文

第二章 圆锥曲线与方程

2.4.1 抛物线及其标准方程

喷泉

拱桥

(一)抛物线的定义

l
N M

平面内与一个定点F和 一条定直线l 的距离相 等的点的轨迹叫做抛 K 物线。 (定点F不在定 直线l 上) 点F叫做抛物线的焦点, 直线l 叫做抛物线的准 一条经过点F且 线。 想一想:定义中当直线l 经 过定点F,则点M的轨迹是 什么?

F

垂直于l 的直线

l F

· · · · · · ·

(二)抛物线的标准方程
l

N

· · F
M

想一想:求抛物线方程时该如何 建立直角坐标系?

y

y=ax2

2+c 2+bx+c y=ax y=ax

o

x

思考: 抛物
线是一个怎样 的对称图形?

求抛物线的方程

为什么?
N K

y l
M

如图所示,以经过点F且垂直 于l 的直线为x轴, x轴与直线l 交于点K,与抛物线交于点O, 则O是线段KF的中点,以O为 原点,建立直角坐标系。 想一想:p的几何意义?

O

· · F

x

p 设|KF|=p (p>0),那么焦点F的坐标为( 2 ,0),准 p 线 l 的方程为x=- 2 。

设点M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到l的距离

为d=|MN|

由抛物线的定义,

y l
p d ?| x ? | 2
化简后得 :

| MF |? d

N

M

p | MF |? ( x ? ) 2 ? y 2 ∵ 2

O
K

p 2 p 2 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2

· F ·

x

y 2 ? 2 px
∴抛物线的标准方程为

y 2 ? 2 px( p ? 0)

它表示的抛物线焦点在x轴的 p 正半轴上,坐标是 ( , 0), 2p 准线方程是 x ? ? 2

注意:抛物线标准方程表示的是顶点在原点, 对称轴为坐标轴的抛物线。

一条抛物线,由于它在坐标平面内的位置不 同,方程也不同,所以抛物线的标准方程还有其 它形式。
y

o

x

想一想:怎样推导出其它几种形式的方程?

四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程 焦点坐标
y ? 2 px ? p ? ,0 ? ? ? p ? 0? ? 2 ?
2

准线方程

p x?? 2

y ? ?2 px ? p ? ? ? ,0 ? ? p ? 0? ? 2 ?
2

p x? 2
p y?? 2 p y? 2

p? x 2 ? 2 py ? ? 0, ?

? p ? 0?
2

?

2?

x ? ?2 py ? p ? 0?

p? ? ? 0,? ? 2? ?

想一想: 如何判断上表中抛物线四种标准方程与图 象的对应关系?
第一:一次项变量决定对称轴。 第二:一次项系数的正负决定了开口方向。 说明:当对称轴和开口方向确定好之后,抛物线图 象就随之确定,根据图象可以很容易判断焦点坐标 和准线方程。整个判断过程体现出从数到形,再由 形到数的数形结合思想。

(三)例题讲解
例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方 程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程。

p 解:(1)由方程可知,焦点在x轴正半轴上,坐标为 ( , 0) ,2p=6, 2 3 3 所以焦点坐标是( , 0) ,准线方程是x ? ? . 2 2
(2) ∵抛物线焦点坐标为F(0,-2), ∴抛物线焦点在y轴负半轴上,设标准方程为x2=-2py,并且

∴2p=8,
∴抛物线的标准方程为x2=-8y.

p ?2 2

变式训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程. x2= -12y (1)焦点是(0,-3) ;
1 (2)准线是 x ? ? ; 2

y2=2x

感悟:用待定系数法求抛物线标准方程应先确定抛物
线的形式,再求p值。
2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程. (1)y=8x2 ; 焦点
1 1 y ? ? (0, ),准线 32 32

(2)x2+8y=0;

焦点 (0, ?2) ,准线 y ? 2

感悟 :求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物
线的标准方程。

强化提高

关键:理解p的几何意义, 熟记标准方程四种形式

根据下列条件写出抛物线的标准方程. 关键:标准方程表示的 (1)焦点到准线的距离是2; 是顶点在原点,对称轴 (2)焦点在直线3x-4y-12=0上。 为坐标轴的抛物线
解:∵焦点到准线的距离为2 ∴p=2 又∵焦点的位置不确定 解:∵标准方程表示的抛物线的焦点在坐标轴 上;

又∵抛物线的焦点在直线3x-4y-12=0上,
∴焦点就是直线与坐标轴的交点,直线3x-4y12=0与x轴的交点是(4,0),与y轴的交点是 (0,﹣3),

∴该抛物线标准方程有四种形式
y2=±2px , x2=±2py

此抛物线的标准方程有四种情况: ∴焦点坐标为(4,0)或(0,﹣3);

y2=±4x , x2=±4y

当焦点为(4,0)时标准方程为y2=16x , 当焦点为(0,﹣3)时标准方程为x2= ﹣12y , 综上,抛物线标准方程为 y2=16x或 x2= ﹣12y

(四)课堂小结
一个定义:平面内与一个定点F的距离和一条定直线l 的距离
相等的点的轨迹叫做抛物线。 两类问题:求抛物线标准方程; 已知方程求焦点坐标和准线方程。

三项注意: 定义的前提条件:直线l 不经过点F;
p的几何意义:焦点到准线的距离; 标准方程表示的是顶点在原点,对称轴为坐标轴 的抛物线。

四种形式:

抛物线的标准方程有四种: y2=2px(p>0) y2= -2px(p>0) x2=2py(p>0) x2= -2py(p>0)


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