高中针对性考试数学

一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在相应的位置上. ...... 1.若复数

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i

.

2.已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 0}, B ? { y | y ? ? x2 ? 2, x ?[?2,1]} , 则 A? B ? .

3.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

?
2

) 的部分图象如图,

则? = . 4.如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图,若去掉一个最高分和一个最低 分后,则剩下数据的方差 s ?
2

. (参考公式:s 2 ?

1 n ? ( xi ? x)2 ) n i ?1

5.已知直线 m, l ,平面 ? , ? ,且 m ? ? , l ? ? . 下列命题中,其中正确命题的个数是 ①若 ? // ? ,则 m ? l ; ③若 m ? l ,则 ? // ? ; 6.与双曲线 x ?
2

. ②若 ? ? ? ,则 m // l ; ④若 m // l ,则 ? ? ? . .

y2 ? 1 有相同的焦点,且过点 P(4, 3) 的双曲线的标准方程是 4
.

1 1 , tan(? ? ? ) ? ? , ? , ? 均为锐角,则 ? 等于 2 3 8.程序框图如下,若恰好经过 6 次循环输出结果,则 a= . .... .
7.已知 tan ? ?

i ? i ?1
开始

N

T ? 0, i ? 1

T ? T ? ai (a ? 1且a ? Z )

T ? 200
Y

输出 T

结束

???? ??? ? 9. 在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 1, D 为 BC 的中点,则 AD ? BC ?

.

10.先后抛掷两枚质地均匀的骰子(各个面上分别标有 1, 2,3, 4,5,6 个点的正方体玩具) , 若骰子朝上的面的点数记为 a, b ,则事件 | a ? b |? 2 的概率为
2 2 2 2 2 2



11. 已知两圆 ( x ?1) ? ( y ?1) ? r 和 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? R 相交于 P, Q 两点, 若点 P 坐 标为 (1, 2) ,则点 Q 的坐标为 12.数列 ?an ? 中, a1 ? .

nan 1 , an?1 ? (n ? N ? ) , 2 ? n ? 1?? nan ? 1?
.

则数列 ?an ? 的前 2012 项的和为

13. M 是边长为 2 的正方形 ABCD 内或边界上一动点,N 是边 BC 的中点, AN ? AM 点 则

???? ???? ?

的最大值是 . 14.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设 施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线

4 f ( x) ? 1 ? x 2 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点 M , N , 交曲线于点 P , 则 3 ?OMN ( O 为坐标原点)的面积的最小值为 .
二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15. ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 在 角 已知 m ? (2cos A, 3sin A) ,

??

?? ? ? n ? (cos A, ?2cos A) , m ? n ? ?1 .
(1)若 a ? 2 3 , c ? 2 ,求 ?ABC 的面积; (2)求

b ? 2c 的值. a cos(60 ? ? C)
1

16 . 在 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , AA

? BC, ?A1 AC ? 60? ,

AA1 ? AC ? BC ? 1, A1 B ? 2 .
(1)求证:平面 A BC ? 平面 ACC1 A ; 1 1 (2)如果 D 为 AB 的中点,求证: BC1 ∥平面 ACD . 1 17.某人准备购置一块占地 1800 平方米的矩形地块,中间建三个矩 形温室大棚,大棚周围 均是宽为 1 米的小路(阴影部分所示) ,大棚所占地面积为 S 平方 米,其中 a : b ? 1: 2 . (1)试用 x, y 表示 S ; (2)若要使 S 最大,则 x, y 的值各为多少?

18 . 设 椭 圆 M :

x2 y 2 ? ? 1 a ? 2 的 右 焦 点 为 F1 , 直 线 a2 2

?

?

l:x?

a2 a2 ? 2

与 x 轴交于点 A ,若 OF ? 2 AF ? 0 (其中 O 为坐标原点) . 1 1

????

????

?

(1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的任意一条直径( E 、
2

F 为直径的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值.
19.设函数 f ( x) ? x( x ? 1)2 . (1)求 f ( x ) 的极值; (2)讨论函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 x2 ? x ? 2ax ln x 零点的个数,并说明理由; (3) 设函数 g ( x) ? e x ? 2 x2 ? 4 x ? t (t 为常数) 若使 3 ? f ( x) ? x ? m ? g ( x) 在 [0, ??) 上 , 恒成立的实数 m 有且只有一个,求实数 t 的值. e ? 10 ) (
7 3

20.已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 2011 ,公比 q ? ? 项积记为 Tn . (1)证明: S2 ? Sn ? S1 ;

1 ,数列 {an } 前 n 项和记为 Sn ,前 n 2

(2)判断 Tn 与 Tn ?1 的大小,并求 n 为何值时, Tn 取得最大值; (3)证明:若数列 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列;若 所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为 d1 , d2 ,?, dn ,则数列 {dn } 为等比数 列.

一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在相应的位置上. ...... 1.若复数

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i

.

?6
2.已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 0}, B ? { y | y ? ? x2 ? 2, x ?[?2,1]} , 则 A? B ? .

?0, 2?
2 3 2 4.如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图,若去掉一个最高分和一个最低 分后,
3.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

?

) 的部分图像如图,则 ? =

.

则剩下数据的方差 s ?
2

. (参考公式: s ?
2

1 n ? ( xi ? x)2 )15 ; n i ?1

7 8 9

79 57777 136

5.已知直线 m, l ,平面 ? , ? ,且 m ? ? , l ? ? . 下列命题中,其中正确命题的个数是 .

(第 8 题)

2
①若 ? // ? ,则 m ? l ;②若 ? ? ? ,则 m // l ; ③若 m ? l ,则 ? // ? ;④若 m // l , ? ? ? 6.与双曲线 x ?
2

y2 ? 1 有相同的焦点,且过点 P(4, 3) 的双曲线的标准方程是 4

.

x2 ? y2 ? 1; 4
7.已知 tan ? ?

1 1 , tan(? ? ? ) ? ? , ? , ? 均为锐角,则 ? 等于 2 3
.2 N

.

? ; 4

8.程序框图如下,若恰好经过 6 次循环输出结果,则 a= ......

i ? i ?1
开始

T ? 0, i ? 1

T ? T ? ai (a ? 1且a ? Z )

T ? 200
Y

输出 T

结束

???? ??? ? 9.在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 1, D 为 BC 的中点,则 AD ? BC ?

. ?4

10.先后抛掷两枚质地均匀的骰子(各个面上分别标有 1, 2,3, 4,5,6 个点的正方体玩具) , 若骰子朝上的面的点数记为 a, b ,则事件 | a ? b |? 2 的概率为 .

2 ; 9

11. 已知两圆 ( x ?1) 2 ? ( y ?1) 2 ? r 2 和 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? R2 相交于 P, Q 两点, 若点 P 坐 标为 (1, 2) ,则点 Q 的坐标为 .

(2,1)
12.数列 ?an ? 中, a1 ?

nan 1 , an?1 ? (n ? N ? ) , 2 ? n ? 1?? nan ? 1?
.

则数列 ?an ? 的前 2012 项的和为

2012 ; 2013
………1 分

假设 bn ?

1 1 , ∴ bn ?1 ? , nan (n ? 1)an ?1

∵ an?1 ?

nan , ? n ? 1?? nan ? 1?
1 1 ? ? (n ? 1)an ?1 nan (n ? 1) 1 nan (n ? 1)(nan ? 1) ?

∴ bn ?1 ? bn ?

na ? 1 1 1 = n ? ?1 nan nan nan

…………………………………3 分

? {bn } 是首项为 2,公差为 1 的等差数列.
? bn ? 2 ? (n ?1) ?1 ? n ? 1,
? an ?

………………………………4 分

1 1 1 1 = ? , ? nbn n(n ? 1) n n ? 1

…………6 分

1 1 1 1 1 ? S n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 n ? =1 ? . …………8 分 n ?1 n ?1
13. M 是边长为 2 的正方形 ABCD 内或边界上一动点,N 是边 BC 的中点, AN ? AM 点 则 的最大值是 .6

???? ???? ?

13.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,AC=BC=1,点 M,N 分别是 AB,BC 的中点,点
???? ???? P 是△ABC(包括边界)内任一点.则 AN ? MP 的取值范围为
? 3 3? . ?? , ? ? 4 4?

C

P

N

14.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设 施 建 设 不 能 开 发 , 且 要 求 用 栏 栅 隔 开 ( 栏 栅 要 求 在 一 直 线 上 ), 公 共 设 施 边 界 为 曲 线

4 f ( x) ? 1 ? x 2 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点 M , N , 交曲线于点 P , ?OMN 则 3 ( O 为坐标原点)的面积的最小值为 .

某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分 为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲 线 f ( x) ? 1 ? ax (a ? 0) 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点 M , N ,交曲线于点 P ,
2

设 P(t , f (t )) (1)将 ?OMN (O 为坐标原点)的面积 S 表示成 t 的函数 S (t ) ; (2)若在 t ?

1 处, S (t ) 取得最小值,求此时 a 的值及 S (t ) 的最小值. 2

(1) y? ? ?2ax ,切线的斜率为 ?2at ,? 切线 l 的方程为

y ? (1 ? at 2 ) ? ?2at ( x ? t )
令 y ? 0, 得 x ?

1 ? at 2 1 ? at 2 ? 2at 2 1 ? at 2 ?t ? ? 2at 2at 2at

1 ? at 2 ?M ( , 0) ,令 t ? 0 ,得 y ? 1 ? at 2 ? 2at 2 ? 1 ? at 2 ,? N (0,1 ? at 2 ) 2at
??MON 的面积 S (t ) ?

1 1 ? at 2 (1 ? at 2 )2 ? (1 ? at 2 ) ? 2 2at 4at

(2) S ?(t ) ?

3a 2t 4 ? 2at 2 ? 1 (at 2 ? 1)(3at 2 ? 1) ? 4at 2 4at 2 1 3a

? a ? 0, t ? 0 ,由 S ?(t ) ? 0 ,得 3at 2 ? 1 ? 0, 得t ?

当 3at ? 1 ? 0, 即t ?
2

1 时, S ?(t ) ? 0 3a 1 时, S ?(t ) ? 0 3a

当 3at ? 1 ? 0, 即0 ? t ?
2

?当t ?

1 时, S (t )有最小值 3a
1 1 1 4 ? ,? a ? 处, S (t )取得最小值 ,故有 2 3 3a 2

已知在 t ?

4 1 1 故当 a ? , t ? 时, S (t ) min ? S ( ) ? 3 2 2

4 1 (1 ? ? ) 2 3 4 ?2 4 1 3 4? ? 3 2

二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 m ? (2cos A, 3sin A) ,

??

?? ? ? n ? (cos A, ?2cos A) , m ? n ? ?1 .
(1)若 a ? 2 3 , c ? 2 ,求 ?ABC 的面积; (2)求

b ? 2c 的值. a cos(60 ? ? C)
2

(1)由 2cos A ? 2 3sin Acos A ? ?1 可知, sin ? 2 A ?

? ?

??

? ? 1 ,……………4 分 6?

因为 0 ? A ? ? ,所以 2 A ?

?

? ? 11? ?? ? , 6 ? 6 6

? ? ? ? ? ,所以 2 A ? 6 ? 2 ,即 A ? 3 ……6 分 ?

由正弦定理可知:

a c 1 ? 2? ? ? ,所以 sin C ? ,因为 C ? ? 0, ? sin A sin C 2 ? 3 ?

所以 C ?

?
6

,所以 B ?

?
2

……………………8 分

所以 S ?ABC ?

1 ?2?2 3 ? 2 3 ……………………10 分 2

(2)原式 ?

sin B ? 2sin C sin(1200 ? C ) ? 2sin C sin B ? 2sin C =? ? 3 3 sin A cos ? 600 ? C ? cos ? 600 ? C ? cos ? 600 ? C ? 2 2

3 3 cos C ? sin C 3 cos 600 ? C 2 2 ? =? ? 2 ……………………14 分 3 3 0 0 cos ? 60 ? C ? cos 60 ? C 2 2

? ?

? ?

16.在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? BC, ?A1 AC ? 60? , AA ? AC ? BC ? 1, 1

A1 B ? 2 .
(1)求证:平面 A BC ? 平面 ACC1 A ; 1 1 (2)如果 D 为 AB 的中点,求证: BC1 ∥平面 ACD . 1

(1)在 ?A AC中,?A1AC ? 60 , AA1 ? AC ? 1, ? AC ? 1, ……………………2 分 1 1
0

?A1BC中,BC ? 1, AC ? 1, A1B ? 2,? BC ? AC ,……………………4 分 1 1
又 AA ? BC,? BC ? 平面ACC1 A , ……………………6 分 1 1

? BC ? 平面A1BC
.?平面A BC ? 平面ACC1 A . ……………………8 分 1 1 (2)连接 AC, 交AC1于O ,连接 DO, 1 则由 D 为 AB 中点,O 为 AC 中点得, OD ∥ BC1 , ……………………11 分 1

OD ? 平面 A1 DC, BC1 ? 平面 A1 DC ,∴ BC1 ∥平面 A1 DC ……………………14 分

17.某人准备购置一块占地 1800 平方米的矩形地块,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围 均是宽为 1 米的小路(阴影部分所示) ,大棚所占地面积为 S 平方米,其中 a : b ? 1: 2 . (1)试用 x, y 表示 S ; (2)若要使 S 最大,则 x, y 的值各为多少?(1) 由题可得: xy ? 1800, b ? 2a , 则

y ? a ? b ? 3 ? 3a ? 3 …………………………4 分

S ? ( x ? 2)a ? ( x ? 3) ? b ? (3x ? 8)a ? (3x ? 8)
(2)方法一: S ? 1808 ? 3 x ? ?

y ?3 8 ? 1808 ? 3 x ? y .……8 分 3 3

8 1800 4800 ? 1808 ? (3x ? ) ……………10 分 3 x x 4800 ? 1808 ? 2 3x ? ? 1808 ? 240 ? 1568, ……………12 分 x 4800 1800 ? 45 . 当且仅当 3x ? ,即 x ? 40 时取等号, S 取得最大值.此时 y ? x x
所以当 x ? 40, y ? 45 时, S 取得最大值 …………………………14 分

方法二:设 S ? f ( x) ? 1808 ? (3 x ?

4800 ) ( x ? 0) ,……………10 分 x 4800 3(40 ? x)(40 ? x) f ?( x) ? 2 ? 3 ? ……………12 分 x x2 , 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 40 , 当 0 ? x ? 40 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 40 时, f ?( x) ? 0 . ∴ x ? 40 时, S 取得最大值.此时 y ? 45 当 所以当 x ? 40, y ? 45 时, S 取得最大值. …………………………14 分

x米

18. 设椭圆 M :

x2 y 2 直线 l : x ? ? ? 1 a ? 2 的右焦点为 F1 , a2 2

?

?

a2 a2 ? 2

与 x 轴交于点 A ,

若 OF ? 2 AF ? 0 (其中 O 为坐标原点) . 1 1 (1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的任意一条直径
2

????

????

?

( E 、 F 为直径的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值. (1)由题设知, A ?

?

? , 0 ? , F1 2 ? a ?2 ? a2

?

a2 ? 2,0 ,KKKsss555uuu………………………1 分

?

???? ???? ? a2 ? 2 ? a 2 ? 2 ? .……………………4 分 由 OF ? 2 AF ? 0 ,得 a ? 2 ? 2? 1 1 ? 2 ? ? a ?2 ?
解得 a ? 6 .
2

所以椭圆 M 的方程为 M :

x2 y2 ? ? 1 .………………………………………6 分 6 2
2

(2)方法 1:设圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的圆心为 N , 则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP

?

??

?
?
2

???? ??? ???? ??? ? ? ? ? NF ? NP ? NF ? NP

?

??

??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? NP ? NF ? NP ?1 .………………………………………………10 分
从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值. 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P?x0 , y0 ?

所以

x0 y 2 2 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 . 6 2
2 2 2 2

2

2

因为点 N ?0,2? ,所以 NP ? x0 ? ? y 0 ? 2? ? ?2? y 0 ? 1? ? 12 . 因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, NP 取得最大值 12.……………15 分
2

?

?

所以 PE ? PF 的最大值为 11.………………………………………………16 分 方法 2:设点 E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ), P( x0, y0 ) ,

因为 E , F 的中点坐标为 (0, 2) ,所以 ?

? x2 ? ? x1 , ……………………………6 分 ? y2 ? 4 ? y1.

所以 PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) …………………………7 分

??? ??? ? ?

? ( x1 ? x0 )(? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )(4 ? y1 ? y0 )
2 2 ? x0 ? x12 ? y0 ? y12 ? 4 y1 ? 4 y0 2 2 ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x12 ? y12 ? 4 y1 ) .…………………………………9 分 2 2 2 因为点 E 在圆 N 上,所以 x1 ? ( y1 ? 2)2 ? 1 ,即 x1 ? y1 ? 4 y1 ? ?3 .…………10 分
2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .…………………11 分 6 2

因为点 P 在椭圆 M 上,所以

2 所以 PE ? PF ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1)2 ? 11.……………………………12 分

??? ??? ? ?

因为 y0 ?[? 2 , 2] ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF

?

??? ??? ? ?

?

min

? 11 .………………14 分

方法 3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y ? kx ? 2 ,…………………6 分 由?

? y ? kx ? 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

,解得 x ? ?

1 k 2 ?1

.……………………………………7 分

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P?x0 , y0 ? ,

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .…………………………………8 分 6 2
所以 PE ? ?

2

2

??? ? ?

1
2

? k ?1

? x0 ,

? ? 2 ? y0 ? , k ?1 ? k
2

??? ? ? ? 1 k PF ? ? ? ? x0 , ? ? 2 ? y0 ? k 2 ?1 k 2 ?1 ? ?
………………9 分 所以

PE ? PF ? x0 ?
2

1 k2 2 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 2 ? x0 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 1 ? ?2( y 0 ? 1) 2 ? 11 2 k ?1 k ?1
………………………………10 分

. 因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.……………11 分

?

?

②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x ? 0 , 由?

?x ? 0
2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1

,解得 y ? 1 或 y ? 3 .新课标第一网

不妨设, E ? 0,3? , F ? 0,1? .…………………………………KKKsss555uuu…………………12 分 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P?x0 , y0 ? ,

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 . 6 2 ??? ? ??? ? 所以 PE ? ? ? x0 ,3 ? y0 ? , PF ? ? ? x0 ,1 ? y0 ? . ??? ??? ? ? 所以 PE ? PF ? x02 ? y02 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ?1)2 ?11.
因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.……………13 分

2

2

?

?

综上可知, PE ? PF 的最大值为 11.……………………………………………14 分

19.设函数 f ( x) ? x( x ? 1)2 . (1)求 f ( x ) 得极小值; (2)讨论函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 x ? x ? 2ax ln x 零点的个数,并说明理由?
2 x 2 (3) 设函数 g ( x) ? e ? 2 x ? 4 x ? t (t 为常数) 若使 3 ? f ( x) ? x ? m ? g ( x) 在 [0, ??) 上 ,

恒成立的实数 m 有且只有一个,求实数 t 的值. e ? 10 ) (
7 3

(1) f ( x ) 的极大值为 f ( ) ?

1 3

4 ; f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 0 .……………………3 分 27

(2)当 0 ? a ? e 时,函数零点的个数为 0 ; 当 a ? 0 或 a ? e 时,函数零点的个数为 1 ; 当 a ? e 时,函数零点的个数为 2 . (3) t ? 2 .

……………………11 分 ……………………16 分

20.已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 2011 ,公比 q ? ?

1 ,数列 {an } 前 n 项和记为 Sn ,前 n 2

项积记为 Tn .xkb1.com (1)证明: S2 ? Sn ? S1 ; (2)判断 Tn 与 Tn ?1 的大小,并求 n 为何值时, Tn 取得最大值; (3)证明:若数列 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列; 若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为 d1 , d2 ,?, dn , 则数列 {dn } 为等 比数列.

1 a2 [1 ? (? )n ?1 ] 1 1 2 (1)证: Sn ? S1 ? ? S1 ? a1 [1 ? (? )n ?1 ] ≤ S1 ,当 n = 1 时,等号成立 1 3 2 1 ? (? ) 2
………………2 分

1 a3 [1 ? (? )n ? 2 ] 1 1 2 Sn ? S2 ? ? S2 ? a1 [1 ? (? )n ? 2 ] ≥ S2 ,当 n = 2 时,等号成立 1 6 2 1 ? (? ) 2
∴S2≤Sn≤S1. (2)解:
| Tn ?1 | | a1 a2 ? an an ?1 | 2011 ? ?| an ?1 |? n | Tn | | a1 a2 ? an | 2

………………4 分

2011 2011 ? 1 ? 10 ,∴当 n≤10 时,|Tn + 1| > |Tn|,当 n≥11 时,|Tn + 1| < |Tn| 11 2 2 故|Tn| max = |T11| ………………7 分 又 T10 < 0, 11 < 0,T9 > 0,T12 > 0,∴Tn 的最大值是 T9 和 T12 中的较大者 ,T
∵ ∵
T12 1 ? a10 a11 a12 ? [2011(? )10 ]3 ? 1 ,∴T12 > T9 T9 2

因此当 n = 12 时,Tn 最大.

………………10 分

1 (3)证:∵ an ? 2011(? )n?1 ,∴| an |随 n 增大而减小,an 奇数项均正,偶数项均负 2
a a ① k 是奇数时,设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为 ak ?1 , k ? 2 , k ,则 当

a a 1 1 1 ak ?1 ? ak ? a1 (? )k ? a1 (? )k ?1 ? 1 , 2ak ?2 ? 2a1 (? )k ?1 ? 1 , k 2 2 2 2 2k
a a ∴ ak ?1 ? ak ? 2ak ? 2 ,因此 ak ?1 , k ? 2 , k 成等差数列,

3a 1 1 公差 dk ? ak ? 2 ? ak ?1 ? a1 [(? )k ?1 ? (? )k ] ? k ?11 2 2 2

………………12 分

a a ② k 是偶数时,设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为 ak , k ? 2 , k ?1 ,则 当

a a 1 1 1 ak ?1 ? ak ? a1 (? )k ? a1 (? )k ?1 ? ? 1 , 2ak ?2 ? 2a1 (? )k ?1 ? ? 1 , k 2 2 2 2 2k
a a ∴ ak ?1 ? ak ? 2ak ? 2 ,因此 ak , k ? 2 , k ?1 成等差数列,

3a 1 1 公差 dk ? ak ? 2 ? ak ? a1 [(? )k ?1 ? (? )k ?1 ] ? k ?11 2 2 2

………………14 分

综上可知, {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列 ,且

dk ?

3a1 2
k ?1



d n ?1 ? 2 ,∴数列{dn}为等比数列. dn

………………16 分


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