必修4第3章(第1课时)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)

必修 4 第 3 章(第 1 课时)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)

王新敞



题:3 1.1
王新敞
奎屯 新疆

两角差的余弦公式
王新敞
奎屯 新疆

教学目的: 掌握推导两角差的余弦公式的方法,会初步运用解决具体问题 教学重点:公式推导及运用 教学难点:推导公式方法,找出含有 cos(?-? ),cos ? ,cos ? 的等量关系 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 正弦线、余弦线:设任意角 α 的终边与单位圆相交于点 P(x,y),过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 M,则有
王新敞
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sin ? ?

y x ? MP , cos ? ? ? OM r r

向线段 MP 叫做角α 的正弦线,有向线段 OM 叫做角α 的余弦线. 二、讲解新课: 1.探究 cos(?-? ) ? cos ?-cos ? 反例: cos( - ) ? cos

?

?

?
3

3

6

-cos

?
6

问题: cos(?-? ),cos ? ,cos ? 的关系? 解决思路:探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的 三角函数线
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2.在单位园内,作锐角α 、β ,且α >β ,α 的终 边与单位园相交于点 P1, 作∠POP1=β , 则∠xOP=α -β . 过 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,则α -β 的余弦线就是 OM,即 OM=cos(α -β ). 作 PA⊥OP1,垂足为 A,则 OA=cosβ ,AP=sinβ . 作 PC⊥AB,垂足为 C,则 CP=APsinα =sinα sinβ , OB=OAcosα =cosα cosβ . 由于 OM=OB+BM= OB+CP= cosα cosβ + sinα sinβ 即

y
P1 A ? ? C B M

P

o

x

cos(?-? ) ? cos ? cos ?+sin ? sin ?
3.用向量法探究如下:
A

y

如图, OA ? (cos ? ,sin ? ), OB ? (cos ? ,sin ? ),

??? ?

??? ?

θ=? -?

B ?

??? ? ??? ? OA? OB ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
又因为 OA? OB ?| OA |? | OB | cos? ? cos(? ? ? ) 所以 4.特征
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o

?

x

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

必修 4 第 3 章(第 1 课时)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)

王新敞

①熟悉公式的结构和特点; ②此公式对任意?、?都适用 ③公式记号 C(? ?? ) 三、讲解范例: 例 1 计算① cos15? ② cos

? 3? ? 3? cos +sin sin 10 10 5 5
2? 6 4

解:①cos15? =cos(60??45?)=cos60?cos45?+sin60?sin45? =

1 2 3 2 ? ? ? ? 2 2 2 2

? 3? ? 3? ? 3? ? ? cos +sin sin = cos( )=cos ( ? ) = cos 10 10 10 10 5 5 5 10 12 3 例 2 已知 sin?= ,cos?= 求 cos(???)的值 5 13 12 3 解:∵sin?= >0,cos?= >0 5 13
②cos
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∴?可能在一、二象限,?在一、四象限 若?、?均在第一象限, 则 cos?=

5 4 ,sin?= 5 13 5 4 ,sin?=? 5 13 5 4 ,sin?= 5 13 5 4 ,sin?=? 5 13

cos(???)=

4 12 3 5 63 ? ? ? ? 5 13 5 13 65 4 12 3 5 33 ? ? ? (? ) ? 5 13 5 13 65 4 12 3 5 33 ? ? ?? 5 13 5 13 65 4 12 3 5 63 ? ? (? ) ? ? 5 13 5 13 65

若?在第一象限,?在四象限, 则 cos?= cos(???)=

若?在第二象限,?在一象限, 则 cos?=? cos(???)= (? ) ?

若?在第二象限,?在四象限, 则 cos?=? cos(???)= (? ) ?

四、课堂练习: 五、小结 两角差的余弦公式的推导方法. 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:

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