高中数学二轮复习利用导数研究函数的单调性教案含答案 (江苏专用)

第 17 课 [最新考纲] 内容 利用导数研究函数的单调性 要求 A B √ C 利用导数研究函数的单调性 函数的导数与单调性的关系 函数 y=f(x)在某个区间内可导,则 (1)若 f′(x)>0,则 f(x)在这个区间内单调递增; (2)若 f′(x)<0,则 f(x)在这个区间内单调递减; (3)若 f′(x)=0,则 f(x)在这个区间内是常数函数. 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 若 函 数 f(x) 在 区 间 (a , b) 上 单 调 递 增 , 那 么 在 区 间 (a , b) 上 一 定 有 f′(x)>0.( ) (2)如果函数在某个区间内恒有 f′(x)=0,则函数 f(x)在此区间上没有单调 性.( ) ) (3)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充要条件.( [答案] (1)× (2)√ (3)× 2.(教材改编)如图 171 所示是函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象,则下列判断 中正确的是________.(填序号) 图 171 ①函数 f(x)在区间(-3,0)上是减函数; ②函数 f(x)在区间(1,3)上是减函数; ③函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数; ④函数 f(x)在区间(3,4)上是增函数. ① [当 x∈(-3,0)时,f′(x)<0,则 f(x)在(-3,0)上是减函数.其他判断均 不正确.] 1 3.函数 y=2x2-ln x 的单调递减区间为________. (0,1] 1 1 ?x-1??x+1? [函数 y=2x2-ln x 的定义域为(0,+∞),y′=x- x= , x 令 y′≤0,则可得 0<x≤1.] 4.已知函数 y=xf′(x)的图象如图 172 所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函 数).则下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( ) 图 172 ① ③ ② ③ ④ [由 y=f′(x)的图象可知,当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,当 x∈(1,+∞)时, f′(x)>0,当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0. 从而 f(x)在(0,1)及(-1,0)上单调递减, 在(-∞, -1)及(1, +∞)上单调递增. ] 5.(2017· 泰州模拟)若函数 f(x)=mx2+ln x-2x 在定义域内是增函数,则实 数 m 的取值范围是________. ?1 ? ?2,+∞? ? ? [函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 1 又 f′(x)=2mx+ x -2,由题意可知 f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立, 1 即 2mx+ x-2≥0 在(0,+∞)上恒成立. 1 1 ∴m≥x -2x2在(0,+∞)上恒成立. 1 1 1?1 ? 1 1 又 g(x)= x-2x2=-2? x-1?2+2≤2. ? ? 1 ∴m≥2.] 判断或证明函数的单调性 已知函数 f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).试讨论 f(x)的单调性. 【导学号:62172094】 [解] f′(x)=3x2+2ax,令 f′(x)=0, 2a 解得 x1=0,x2=- 3 . 当 a=0 时,因为 f′(x)=3x2≥0,所以函数 f(x) 在(-∞,+∞)上单调递增; 2a? ? ? 2a ? 当 a>0 时, x∈?-∞,- 3 ?∪(0, +∞)时, f′(x)>0, x∈?- 3 ,0?时, f′(x) ? ? ? ? <0, 2a? ? ? 2a ? 所以函数 f(x)在?-∞,- 3 ?,(0,+∞)上单调递增,在?- 3 ,0?上单调递 ? ? ? ? 减; 2a? ? 2a ? ? 当 a<0 时, x∈(-∞, 0)∪?- 3 ,+∞?时, f′(x)>0, x∈?0,- 3 ?时, f′(x) ? ? ? ? <0, 2a? ? 2a ? ? 所以函数 f(x)在(-∞,0),?- 3 ,+∞?上单调递增,在?0,- 3 ?上单调递 ? ? ? ? 减. [规律方法] 用导数证明函数 f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (1)一求.求 f′(x); (2)二定.确认 f′(x)在(a,b)内的符号; (3)三结论.作出结论:f′(x)>0 时为增函数;f′(x)<0 时为减函数. 易错警示:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集 的影响进行分类讨论. [变式训练 1] 1 e (2016· 四川高考节选)设函数 f(x)=ax2-a-ln x,g(x)= x-ex, 其中 a∈R,e=2.718?为自然对数的底数.讨论 f(x)的单调性. 2 1 2ax -1 [解] 由题意得 f′(x)=2ax- x= x (x>0). 当 a≤0 时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减. 当 a>0 时,由 f′(x)=0 有 x= 1 , 2a 1 ? ? ?时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈?0, 2a? ? ? 1 ? ,+∞?时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 当 x∈? ? 2a ? 求函数的单调区间 (2016· 天津高考节选)设函数 f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中 a,b∈R. 求 f(x)的单调区间. [解] 由 f(x)=x3-ax-b,可得 f′(x)=3x2-a. 下面分两种情况讨论: ①当 a≤0 时,有 f′(x)=3x2-a≥0 恒成立, 所以 f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). 3a 3a ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,解得 x= 3 或 x=- 3 . 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 错误! 3a - 3 0 极大值 ? 3a 3a? ?- ? , 3 3 ? ? - 单调递减 3a 3 0 极小值 ? 3a

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