2015届高考数学(人教通用,理科)必考题型过关练:函数与导数第7练


第7练

基本初等函数问题

[内容精要] 基本初等函数就是最基本的函数,在后面所学的函数都是由它们转变延伸而来, 我们在本讲所要复习的基本初等函数是指指数函数、对数函数、幂函数,我们要研究的是它 们及它们所复合后的函数的性质及有关运算等知识.

题型一 指数函数的图象和性质 例 1 已知函数 f(x)=2|2x 是________. 破题切入点 判断函数 t=|2x-m|的单调区间,结合函数 y=2t 的单调性,得 m 的不等式,求 解即可. 答案 (-∞,4] m m 解析 令 t=|2x-m|,则 t=|2x-m|在区间[ ,+∞)上单调递增,在区间(-∞, ]上单调递 2 2 减.而 y=2t 为 R 上的增函数,所以要使函数 f(x)=2|2x
-m | -m|

(m 为常数),若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则 m 的取值范围

m 在[2,+∞)上单调递增,则有 ≤2, 2

即 m≤4,所以 m 的取值范围是(-∞,4].故填(-∞,4]. 题型二 对数函数的图象和性质 例 2 函数 y=2log4(1-x)的图象大致是( )

破题切入点 求出函数 y=2log4(1-x)的定义域并判断函数的单调性,即可得出结论. 答案 C 解析 函数 y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除 A、B;又函数 y=2log4(1-x)在定义 域内单调递减,排除 D.选 C. 题型三 幂函数的图象和性质 例 3 已知周期函数 f(x)的定义域为 R,周期为 2,且当-1<x≤1 时,f(x)=1-x2.若直线 y= -x+a 与曲线 y=f(x)恰有 2 个交点,则实数 a 的所有可能取值构成的集合为( 3 5 A.{a|a=2k+ 或 2k+ ,k∈Z} 4 4 1 3 B.{a|a=2k- 或 2k+ ,k∈Z} 4 4 5 C.{a|a=2k+1 或 2k+ ,k∈Z} 4 D.{a|a=2k+1,k∈Z} 破题切入点 画出函数 f(x)的草图,看选项,对参数 a 取特殊值,验证是否满足题设条件, 不满足则排除,即可得正确选项. 答案 C 解析 画出函数 f(x)的草图,当 a=1 时,如图所示, )

直线 y=-x+1 与曲线 y=f(x)恰有 2 个交点,故排除 A、B; 5 5 当 a= 时,直线 y=-x+ 与曲线 y=f(x)恰有 2 个交点,如图所示,根据函数的周期性,选 4 4 C. 总结提高 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高中数学重要的基本初等函数,考查形式主要 是选择题和填空题,也有可能以解答题中某一小问的形式出现.考查重点主要有三个:一是 考查指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质,二是考查指数式与对数式的运算,三是考 查交汇性问题. (2)解决好本部分问题需要注意以下三点: ①理清定义:掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念,并注意指数函数与幂函数的区别.

②心中有图:掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质,并能灵活运用函数图象和性 质解题. ③把握交汇:把握指数函数、对数函数、幂函数与其他知识交汇的特点,在综合应用中强化 对这三种函数的理解.

1.若函数 y=ax+b-1 (a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有( A.0<a<1 且 b>0 C.0<a<1 且 b<0 答案 C B.a>1 且 b>0 D.a>1 且 b<0

)

解析 (1)当 0<a<1 时,不论上下怎样平移,图象必过第二象限;当 a>1 时,不论上下怎样平 移,图象必过第一象限. ∵y=ax+b-1 的图象经过第二、三、四象限, ∴只可能 0<a<1. (2)如图,这个图可理解为 y=ax (0<a<1)的图象向下平移大于 1 个单位长 度.
?b-1<0, ? ∴? 解得 b<0. ? ?|b-1|>1,

由(1)、(2)可知 0<a<1 且 b<0. 2.(2013· 课标全国Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a C.a>c>b 答案 D 解析 因为 a=log36=1+log32=1+ 1 log72=1+ ,显然 a>b>c. log27 3. (2014· 福建)若函数 y=logax(a>0, 且 a≠1)的图象如图所示, 则下列函数图象正确的是( ) 1 1 ,b=log510=1+log52=1+ ,c=log714=1+ log23 log25 B.b>c>a D.a>b>c )

答案 B 1 - 解析 由题意 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象过(3,1)点,可解得 a=3.选项 A 中, y=3 x=( )x, 3 显然图象错误;选项 B 中,y=x3,由幂函数图象可知正确;选项 C 中,y=(-x)3=-x3,显 然与所画图象不符;选项 D 中,y=log3(-x)的图象与 y=log3x 的图象关于 y 轴对称.显然不 符.故选 B. 4.设 a>0,b>0(
a b

)

A.若 2 +2a=2 +3b,则 a>b B.若 2a+2a=2b+3b,则 a<b C.若 2a-2a=2b-3b,则 a>b D.若 2a-2a=2b-3b,则 a<b 答案 A 解析 对于 x>0 时有 2x+2x<2x+3x 恒成立, 而要使 2a+2a=2b+3b 成立,则必须有 a>b. 5.“lg x,lg y,lg z 成等差数列”是“y2=xz 成立”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 lg x,lg y,lg z 成等差数列,可以得出 2lg y=lg x+lg z,根据对数函数的基本运算 可得,y2=xz,但反之,若 y2=xz,并不能保证 x,y,z 均为正数,所以不能得出 lg x,lg y, lg z 成等差数列.故选 A. 6.已知 x,y 为正实数,则( A.2lg x B.2lg(x
+lg

)

)

y

=2lg x+2lg y

+y)

=2lg x· 2lg y

lg y C.2lg x· =2lg x+2lg y

D.2lg(xy)=2lg x· 2lg y 答案 D 解析 2lg(xy)=2lg x
+lg

y

=2lg x· 2lg y.

7.已知 0<a<1,则函数 f(x)=ax-|logax|的零点个数为________. 答案 2 解析 分别画出函数 y=ax(0<a<1)与 y=|logax|(0<a<1)的图象,如图所 示,图象有两个交点. 1?|1-x| 8.若函数 y=? ?2? +m 的图象与 x 轴有公共点,则实数 m 的取值范 围是________. 答案 [-1,0) 解析 由题得,

? ?? ?2? 函数 y=? 1? ?? ?2?

1

1-x

+m,x≤1 .

x-1

+m,x>1 1
1-x

? ?? ?2? 首先作出函数 y=? 1? ?? ?2?

,x≤1 的图象,如图所示. ,x>1 1
1-x

x-1

? ?? ?2? 由图象可知要使函数 y=? 1? ?? ?2?

+m,x≤1 的图象与 x 轴有公共点,则 m∈[-1,0). +m,x>1

x-1

1?x 9.已知函数 f(x)=? ?5? -log3x,若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0,则 f(x1)与 0 的大 小关系为________. 答案 f(x1)>0 1 解析 当 x>0 时,f(x)=( )x-log3x 是减函数, 5 又 x0 是方程 f(x)=0 的根,即 f(x0)=0. ∴当 0<x1<x0 时,f(x1)>f(x0)=0. * 10.定义两个实数间的一种新运算“*”:x*y=ln(ex+ey),x,y∈R.当 x*x=y 时,x= y.对 任意实数 a,b,c,给出如下命题: ①a*b=b*a; ②(a*b)+c=(a+c)*(b+c);

③(a*b)-c=(a-c)*(b-c); ④(a*b)*c=a*(b*c); a+b * ⑤ a*b≥ . 2 其中正确的命题有________.(写出所有正确的命题序号) 答案 ①②③④⑤ 解析 因为 a*b=ln(ea+eb),b*a=ln(eb+ea), 所以 a*b=b*a,即①对; 因为(a*b)+c=ln(ea+eb)+c=ln[(ea+eb)ec] =ln(ea c+eb c)=(a+c)*(b+c),所以②对;
+ +

只需令②中的 c 为-c,即有结论(a*b)-c=(a-c)*(b-c),所以③对; 因为(a*b)*c=[ln(ea+eb)]*c=ln[eln(ea+eb)+ec] =ln(ea+eb+ec), a*(b*c)=a*[ln(eb+ec)]=ln[ea+eln(eb+ec)] =ln(ea+eb+ec), 所以(a*b)*c=a*(b*c),即④对; * 设 a*b=x,则 x*x=a*b, 所以 ln(ex+ex)=ln(ea+eb), 所以 2×ex=ea+eb, ea+eb ea+eb 2 ea· eb a+b * 所以 x=ln ,即 a*b=ln ≥ln = ,故⑤对. 2 2 2 2 故正确的命题是①②③④⑤. 11.设函数 f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的零点; (2)若对任意 b∈R,函数 f(x)恒有两个不同零点,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=1,b=-2 时,f(x)=x2-2x-3, 令 f(x)=0,得 x=3 或 x=-1. 所以,函数 f(x)的零点为 3 和-1. (2)依题意,方程 ax2+bx+b-1=0 有两个不同实根. 所以,b2-4a(b-1)>0 恒成立, 即对于任意 b∈R,b2-4ab+4a>0 恒成立, 所以有(-4a)2-4(4a)<0?a2-a<0,所以 0<a<1. 因此实数 a 的取值范围是(0,1). 12.设函数 f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n 为正整数,a,b 为常数.曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的

切线方程为 x+y=1. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的最大值. 解 (1)因为 f(1)=b,由点(1,b)在 x+y=1 上, 可得 1+b=1,即 b=0. 因为 f′(x)=anxn 1-a(n+1)xn,所以 f′(1)=-a.


又因为切线 x+y=1 的斜率为-1, 所以-a=-1,即 a=1.故 a=1,b=0. (2)由(1)知,f(x)=xn(1-x)=xn-xn 1,


n - f′(x)=(n+1)xn 1?n+1-x?. ? ? n 令 f′(x)=0,解得 x= , n+1 n 在?0,n+1?上,f′(x)>0,

?

?

故 f(x)单调递增; n 而在?n+1,+∞?上,f′(x)<0,

?

?

故 f(x)单调递减. 故 f(x)在(0,+∞)上的最大值为
n n n ?1- n ?= n + . f?n+1?=?n+1?n· ? ? ? ? ? n+1? ?n+1?n 1


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