北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(解析)

北京各区二模理科数学分类汇编 解析
(2015届西城二模)10.双曲线C : 的离心率为 ;渐近线的方程为 .

答案:

6 2 ,y ?? x 2 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点A a 2 b2


(2015届西城二模)19.(本小题满分14 分)设F1、F2分别为椭圆E: 椭圆E 的左顶点,点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB|=2.

⑴ 若椭圆 E 的离心率为

6 2

,求椭圆 E 的方程;⑵ 设 P 为椭圆 E 上一点,且在第一象限内,直线

与 y 轴相交

于点 Q ,若以 PQ 为直径的圆经过点 F1,证明:|OP|>则 19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:设 c ? 由题意,得 a 2 解得 a ?

2

a 2 ? b2 ,
c 6 , ? a 3
……………… 2 分 ……………… 4 分 ……………… 5 分

? b2 ? 4 ,且

3 ,b ?1,c ? 2 .

所以椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3

(Ⅱ)解:由题意,得 a 2 ? b2 ? 4 ,所以椭圆 E 的方程为 则F 1 (?c,0) , F2 (c, 0) , c ? 由题意,知 x0

x2 y2 ? ?1, a2 4 ? a2

a2 ? b2 ? 2a2 ? 4 . 设 P( x0 , y0 ) ,

? c ,则直线 F1 P 的斜率 k F1P ?

y0 , x0 ? c

……………… 6 分

直线 F2 P 的斜率 k F P
2

?

y0 , x0 ? c
y? y0 ( x ? c) , x0 ? c

所以直线 F2 P 的方程为

当 x ? 0 时,

y?

? y0c ? y0c ), ,即点 Q(0, x0 ? c x0 ? c ? y0 c ? x0
, ……………… 8 分

所以直线 F1Q 的斜率为 k F Q
1

因为以 PQ 为直径的圆经过点 F , 1 所以 PF 1

? FQ 1 .

所以 k F P ? kF Q
1 1

?

y0 y ? 0 ? ?1 , x0 ? c c ? x0
1 ○

……………… 10 分

化简,得

2 2 y0 ? x0 ? (2a2 ? 4) ,

又因为 P 为椭 圆 E 上一点,且在第一象限内,
2 2 x0 y0 ? ? 1 , x0 ? 0 , y0 ? 0 , a2 4 ? a2

所以

2 ○

由 1

○○

2 ,解得 x0

?

a2 2



1 y0 ? 2 ? a 2 , 2

……………… 12 分

所以 | OP |

2

2 2 ? x0 ? y0 ?

1 2 (a ? 2) 2 ? 2 , 2

……………… 13 分

因为 a 2 ? b2 ? 4 ? 2a 2 ,所以 a 2 所以 | OP |?

? 2,
……………… 14 分

2.

(2015 届海淀二模)

答案: ( (2015 届海淀二模)

2, ??)

(19)(共 14 分)

?2a ? 4, ? 解:(Ⅰ)依题意得 ?c ? b, 解得: a ? 2 , b ? c ? 2 . ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?

………………3 分

x2 y 2 ? ? 1. 所以圆 O 的方程为 x ? y ? 2 ,椭圆 C 的方程为 4 2
2 2

………………5 分

(Ⅱ)解法一:如图所示,设 P( x0 , y0 ) (

y0 ? 0 ), Q( xQ , y0 ) ,则

2 2 ? x0 y0 2 2 ? ? 1, ? ? ? x0 ? 4 ? 2 y0 , 2 即? ?4 2 2 xQ ? 2 ? y0 . ? x 2 ? y 2 ? 2, ? ? 0 ? Q

y N P Q A M O B x

………………7 分

又由

AP : y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) 得 M (0, ). x0 ? 2 x0 ? 2

由 BP :

y?

y0 2 y0 ( x ? 2) 得 N (0, ? ). x0 ? 2 x0 ? 2
………………10 分

所以

uuur 2 y0 xy QM ? ( ? xQ , ? y0 ) ? (? xQ , ? 0 0 ) , x0 ? 2 x0 ? 2

uuu r 2 y0 xy QN ? ( ? xQ , ? ? y0 ) ? (? xQ , ? 0 0 ) . x0 ? 2 x0 ? 2
所以
2 2 uuur uuu r x2 y 2 (4 ? 2 y0 ) y0 2 2 QM ? QN ? xQ ? 20 0 ? 2 ? y0 ? ? 0. 2 x0 ? 4 ?2 y0

所以

QM ? QN ,即 ?MQN ? 90? .

………………14 分

(Ⅱ)解法二:如图所示,设 P( x0 , y0 ) ,

AP : y ? k ( x ? 2) ( k ? 0 ).

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 得 2 ? y ? k ( x ? 2) ?

(2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 4 ? 0 .
所以

y N P Q A M O B x

8k 2 ? 4 2 ? 4k 2 ?2 x0 ? 2 ,即 x0 ? . 2k ? 1 2k 2 ? 1
y0 ?

所以

2 ? 4k 4k 4k , 2 ). ,即 P ( 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1
2

所以 直线 BP 的斜率为

4k 2k 2 ? 1 ? ? 1 2 ? 4k 2 2k ?2 2 2k ? 1

.

所以 令x

BP : y ? ?

1 ( x ? 2) . 2k

1 ? 0 得: M (0, 2k ) , N (0, ) . ………………10 分 k uuur uuu r 1 设 Q( xQ , y0 ) ,则 QM ? ( ? xQ , 2k ? y0 ) , QN ? ( ? xQ , ? y0 ) . k
所以

uuur uuu r 1 2k 2 ? 1 2 2 2 QM ? QN ? xQ ? (2k ? y0 )( ? y0 ) ? xQ ? y0 ? 2 ? ? y0 . k k
2 2 xQ ? y0 ? 2, y0 ?

因为

所以 所以

uuur uuu r QM ? QN ? 0 .

4k , 2k 2 ? 1

QM ? QN ,即 ?MQN ? 90? .

………………14 分

(2015 届东城二模)

x2 y 2 2 (12) 若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 截抛物线 y ? 4 x 的准线所得线段长为 b , 则a ? a b
(2015 届东城二模) (19)(本小题共 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 上的点到两个焦点的距离之和为 4 .(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 于点 M ,与

. 答案:

2 5 5

3 2

,且椭圆 C

A 为椭圆 C 的左顶点,过点 A 的直线 l 与椭圆交

y 轴交于点 N

,过原点与 l 平行的直线与椭圆交于点 P .证明: |

AM | ? | AN |? 2 | OP |2 .

(19)(共 13 分)

x2 y 2 解:(Ⅰ)设椭圆 C 的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b

?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? 3 ?c 由题意知 ? ? 解得 a ? 2 , b ? 1 . , 2 ?a ?2a ? 4, ?
所以椭圆 C 的标准方程为 (Ⅱ)设直线

x2 ? y 2 ? 1.……………………………5 分 4

AM

的方程为:

y ? k ( x ? 2) ,则 N (0, 2k ) .



? y ? k ( x ? 2), 2 2 2 2 得 (1+4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 (*). ? 2 2 ? x ? 4 y ? 4,
A(?2,0) , M ( x1 , y1 ) ,则 ?2 , x1 是方程(*)的两个根,



所以 x1

?

2 ? 8k 2 1 ? 4k 2



所以 M (

2 ? 8k 2 4k , ). 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2 ? 8k 2 ? 2 ? 8k 2 2 4k 2 16 ? 16k 2 4 1 ? k 2 ) ? ( ) ? ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 (1 ? 4k 2 )2 1 ? 4k 2
. .

| AM |? (

| AN |? 4 ? 4k 2 ? 2 1 ? k 2
| AM || AN |?

4 1 ? k 2 ? 2 1 ? k 2 8(1 ? k 2 ) . ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
y ? kx .

设直线 OP 的方程为:



? y ? kx, 2 2 得 (1 ? 4k ) x ? 4 ? 0 . ? 2 2 ? x ? 4 y ? 4,
2

设 P( x0 , y0 ) ,则 x0

?

4 1 ? 4k 2



y0 2 ?

4k 2 1 ? 4k 2




所以 | OP | 所以 |

2

?

4 ? 4k 2 8 ? 8k 2 2 2 | OP | ? , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

AM | ? | AN |? 2 | OP |2 .

……………13 分

(2015 届丰台二模)19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的焦距为 2 ,其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点. a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

? 4 与 x 轴交于点 N, PM ? l 于点 M ( M , N 不重合),试问在 x 轴上 是否存在定点 T ,使得 ?PTN 的平分线过 PM 中点,如果存在,求定点 T 的坐标;如果不存在,说明理由.
(Ⅱ)动点 P 在椭圆 C 上,直线 l : x (2015 届昌平二模) 19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,右焦点 F ( 2,0) ,点 D( 2,1) 在椭圆上. a 2 b2

(I)求椭圆 C 的标准方程; (II) 已知直线 l

: y ? kx 与椭圆 C 交于 A, B 两点, P 为椭圆 C 上异于 A, B 的动点.
?? 1 ; 2
与椭圆 C 相交

(i)若直线 PA, PB 的斜率都存在,证明: k PA ? k PB (ii) 若 k ? 0 ,直线 PA, PB 分别与直线 x 于点 Q (异于点 B ), 求证:

? 3 相交于点 M , N ,直线 BM
三点共线.

A ,Q , N

解:(Ⅰ)依题意,椭圆的焦点为 F 1 (?

2,0), F2 ( 2,0) ,则 | DF1 | ? | DF2 |? 2a ,

解得

?

a?2 2 2 2 ,所以 b ? a ? c ? 2 . c? 2

故椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

……………5 分

(Ⅱ)(i)证明:设 P( x0 , y0 ), A( x1 , y1 ), B(? x1 , ? y1 ) ,则
2 2 x0 ? x12 y0 ? y12 ? ? 0. 两式作差得 4 2

2 x2 y 2 x0 y2 ? 0 ? 1, 1 ? 1 ? 1. 4 2 4 2

因为直线 PA, PB 的斜率都存在,所以 x0

2

? x12 ? 0 .

所以

2 y0 ? y12 y ?y y ?y 1 1 ? ? ,即 0 1 ? 0 1 ? ? . 2 2 x0 ? x1 x0 ? x1 2 2 x0 ? x1

所以,当 PA, PB 的斜率都存在时, k PA ? k PB (ii) 证明: k ? 0 时,

??

1 2

.

……………9 分

P( x0 , y0 ), A(?2,0), B(2,0) .
1 , 2n

设 PA 的斜率为 n ,则 PB 的斜率为 ? 直线 PA : 直线 PB :

y ? n( x ? 2) , M (3,5n) ,

y??

1 1 ( x ? 2) , N (3, ? ) , 2n 2n 1 ( x ? 2) , 10n

所以直线 BM

: y ? 5n( x ? 2) ,直线 AN : y ? ?

联立,可得交点 Q(

2(50n 2 ? 1) ?20n , ). 50n 2 ? 1 50n 2 ? 1

因为 [

2(50n2 ? 1) 2 ?20n 2 ] ? 2( ) ? 4, 2 50n ? 1 50n 2 ? 1

2(50n 2 ? 1) ?20n x2 y 2 , ) 在椭圆 ? ? 1 上. 所以点 Q( 4 2 50n 2 ? 1 50n 2 ? 1
即直线 MB 与直线 NA 的交点 Q 在椭圆上,即

A ,Q , N

三点共线.

……………14 分


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