高中数学 第二章 变化率与导数 2.3 计算导数课件4 北师大版选修22_图文

1.2 导数的计算(2)

复习

导函数的定义

f ?(x) ? y? ? lim ?y ? lim f (x ? ?x) ? f (x)

?x ?x?0

?x?0

?x

今后我们可以直接使用的 基本初等函数的导数公式表

公式1.若f (x) ? c,则f '(x) ? 0;

公式2.若f (x) ? xn ,则f '(x) ? nxn?1;

公式3.若f (x) ? sin x, 则f '(x) ? cos x;

公式4.若f (x) ? cos x,则f '(x) ? ? sin x;

公式5.若f (x) ? a x ,则f '(x) ? a x ln a(a ? 0);

公式6.若f (x) ? ex ,则f '(x) ? ex ;

公式7.若f

(x)

?

log a

x, 则f

'( x)

?

1 x ln a

(a

?

0, 且a

? 1);

公式8.若f (x) ? ln x,则f '(x) ? 1 ; x

导数运算法则
1. ? f ( x ) ? g ( x )?? ? f ?( x ) ? g ?( x )

2 . ? f ( x ) ? g ( x )?? ? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x )

2?. ?c f (x)?? ? c f ?(x)

3.

? ? ?

f g

(x) (x)

?? ? ?

?

f

?( x)

g

(x) ? f (
? g (x)?2

x)g

?( x)

(

g

(

x)

?

0)

新课
练习 设 f (x) ? (a ? x)2 ,计算 f '(x) .
解 f'(x) ? ?a2 ? 2ax ? ?x2 ? ? 2a ? 2x

练习

f (x) ? x3 ? 4cosx ?sin ? , 求

f ?(x) 及

? f( )

2

2

解 f ?(x) ? 3x2 ? 4sin x

f ?(? ) ? 3 ? 2 ? 4
24

练习 求函数 y ? 2x ln x 的导数。
y ' ? 2x ? ln 2 ? ln x ? 2x x

练习

求函数 y

?

x ? 3 的导数 x2 ? 3

y'?

?

x2 ? 6x ? (x 2 ? 3)2

3

例1 已知 f(x) 的导数 f?(x)=3x2-2x+4, 且 f(0)=2, 求 f(x). 解: ∵f?(x)=3x2-2x+4,
∴可设 f(x)=x3-x2+4x+c ∵f(0)=2, ∴c=2. ∴f(x)=x3-x2+4x+2

例2、如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3
平行, 求切点坐标与切线方程.
解: ∵切线与直线 y=4x+3 平行, ∴切线斜率为 4. 又切线在 x0 处斜率为 y? | x=x0 =(x3+x-10)? | x=x0 =3x02+1. ∴3x02+1=4. ∴x0=?1. 当 x0=1 时, y0=-8; 当 x0=-1 时, y0=-12. ∴切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12).
切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.

例 已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与

曲线 C 相切于点 (x0, y0)(x0?0), 求直线 l 的方程及切点坐标. 解: 由直线 l 过点(x0, y0),其斜率 k= xy00,

∵点 (x0, y0) 在曲线 C 上, ∴y0=x03-3x02+2x0.



y0 x0

=x02-3x0+2.

又 y?=3x2-6x+2,

∴在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y?|x=x0.

∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.

整理得 2x02-3x0=0.

这时

y0=-

3 8

,

k=-

1 4

.

解得

x0=

3 2

(∵x0?0).

∴直线 l 的方程为

y=-

1 4

x,

切点坐标是 (

3 2

,

-

3 8

).

例 已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式.

解: ∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0),

∴a=-8. ∴f(x)=2x3-8x. ∴f?(x)=6x2-8.
∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),

∴4b+c=0.

又g?(x)=2bx, f?(2)=g?(2),
∴b=4. ∴c=-16. ∴g(x)=4x2-16.

16 ? 4b

综上所述, f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.


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