高中数学人教A版选修2-3教学案:1.1第二课时 两个计数原理的综合应用-含解析

数学 第二课时 两个计数原理的综合应用 选(抽)取与分配问题 [典例] 某外语组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7 人会英语,3 人会 日语,从中选出会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法? [解] 由题意 9 人中既会英语又会日语的“多面手”有 1 人.则可分三类: 第一类:“多面手”去参加英语时,选出只会日语的一人即可,有 2 种选法. 第二类:“多面手”去参加日语时,选出只会英语的一人即可,有 6 种选法. 第三类:“多面手”既不参加英语又不参加日语,则需从只会日语和只会英语中各选一 人,有 2×6=12(种)方法. 故共有 2+6+12=20(种)选法. 选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法 (1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法. (2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法: ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的就按分 步进行;若按对象特征抽取的,则按分类进行. ②间接法:去掉限制条件计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法 数即可. [活学活用] 1.甲、乙、丙 3 个班各有三好学生 3,5,2 名,现准备推选 2 名来自不同班的三好学生 去参加校三好学生代表大会,共有________种不同的推选方法. 解析:分为三类:第一类,甲班选一名,乙班选一名,根据分步乘法计数原理有 3×5 =15 种选法; 第二类,甲班选一名,丙班选一名,根据分步乘法计数原理有 3×2=6 种选法; 第三类,乙班选一名,丙班选一名,根据分步乘法计数原理有 5×2=10 种选法. 综合以上三类,根据分类加法计数原理,共有 15+6+10=31 种不同选法. 数学 答案:31 2.图书馆有 8 本不同的有关励志教育的书,任选 3 本分给 3 个同学,每人 1 本,有 ________种不同的分法. 解析:分三步进行:第一步,先分给第一个同学,从 8 本书中选一本,共有 8 种方法; 第二步,再分给第二个同学,从剩下的 7 本中任选 1 本,共有 7 种方法;第三步,分给第三 个同学,从剩下的 6 本中任选 1 本,共有 6 种方法.所以不同分法有 8×7×6=336 种. 答案:336 用计数原理解决组数问题 [典例] 用 0,1,2,3,4 五个数字, (1)可以排出多少个三位数字的电话号码? (2)可以排成多少个三位数? (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数? [解] (1)三位数字的电话号码,首位可以是 0,数字也可以重复,每个位置都有 5 种排 法,共有 5×5×5=53=125(种). (2)三位数的首位不能为 0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除 0 外共有 4 种 方法,第二、三位可以排 0,因此,共有 4×5×5=100(种). (3)被 2 整除的数即偶数,末位数字可取 0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是 0,则有 4×3=12(种)排法;一类是末位数字不是 0,则末位有 2 种排法,即 2 或 4,再排首 位,因 0 不能在首位,所以有 3 种排法,十位有 3 种排法,因此有 2×3×3=18(种)排法.因 而有 12+18=30(种)排法.即可以排成 30 个能被 2 整除的无重复数字的三位数. (1)常见的组数问题 组数问题的常见类型及解决原则 ①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”; ②在某一定范围内的数的问题; ③各位数字和为某一定值问题; ④各位数字之间满足某种关系问题等. 数学 (2)解决原则 ①明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位 置(末位或首位)由谁占领分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如 果正面分类较多,可采用间接法求解. ②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位. [活学活用] 1.从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数 的个数为( ) A.24 B.18 C.12 D.6 解析:选 B 由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶 奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析(3 种情况),之后十位(2 种情况), 最后百位(2 种情况),共 12 种;如果是第二种情况偶奇奇:个位(3 种情况),十位(2 种情况), 百位(不能是 0,一种情况),共 6 种.因此总共有 12+6=18 种情况.故选 B. 2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2 且 a3<a2,则称这样的三位数为凸数(如 120,342,275 等),那么所有凸数个数是多少? 解:分 8 类,当中间数为 2 时,百位只能选 1,个位可选 1、0,由分步乘法计数原理, 有 1×2=2 个; 当中间数为 3 时,百位可选 1,2,个位可选 0,1,2,由分步乘法计数原理,有 2×3=6 个; 同理可得: 当中间数为 4 时,有 3×4=12 个; 当中间数为 5 时,有 4×5=20 个; 当中间数为 6 时,有 5×6=30 个; 当中间数为 7 时,有 6×7=42 个; 当中间数为 8 时,有 7×8=56 个; 当中间数为 9 时,有 8×9=72 个. 故共有 2+6+12+20+30+42+56+72=240 个. 数学 用计数原理解决涂色(种植)问题 [典例] 如图所示,要给“优”、“化”、“指”、“导”四个区 域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相 邻区域必须涂不同的颜色,有多少种不同的涂色方法? [解] 优、化、指、导四个区域依次涂色,分四步. 第 1 步,涂“优”区域,有 3 种选择. 第 2 步,涂“化”区域,有 2 种选择. 第 3 步,涂“指”区域,由于它与“优”、“化”区域

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