2015-2016学年高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)学案 新人教A版必修4

第一章 1 .4 1.4.2

三角函数三角函数

三角函数的图象与性质

正弦函数、余弦函数的性质(二)

1.理解正弦函数、余弦函数的性质:奇偶性和单调性. 2.利用正弦函数、余弦函数的图象确定相应的奇偶性和单调性. 3.利用正弦函数、余弦函数的单调性与函数有关的单调区间.

基 础 梳 理 一、正弦函数和余弦函数的单调性 正弦函数和余弦函数都是周期函数, 而对于周期函数, 只要弄清楚它在一个周期内所具 有的性质,便可以推知它在整个定义域内所具有的性质.

? π π? ? π 3π ? 对于正弦函数,结合图象知函数在区间?- , ?上单调递增,在区间? , ?上单 2 ? ? 2 2? ?2
调递减. π ? π ? 根据函数的周期性,我们推知:正弦函数在每个闭区间?- +2kπ , +2kπ ?(k∈Z) 2 ? 2 ? 3π ?π ? 上都是增函数,其函数值从-1 增加到+1;在每个闭区间? +2kπ , +2kπ ?(k∈Z)上 2 ?2 ? 都是减函数,其函数值从+ 1 减小到-1.同样,余弦函数在 每个闭区间[-π +2kπ ,2k π ](k∈Z)上都是增函数, 其函数值从-1 增加到+1; 在每个闭区间[2kπ , π +2kπ ](k∈Z) 上都是减函数,其函数值从+1 减小到-1. 思考应用

1

1.正 弦函数、余弦函数是单调函数吗?能否说“正弦函数在第一象限是增函数”? 解析:正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数.“正弦函数在第一象限是增函 数”也是错误的,因为在第一象限,即使是终边相同的角,它们也可以相差 2π 的整数倍. 二、正弦函数和余弦函数的奇偶性 根据诱导公式 sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,可知正弦函数是奇函数,余弦 函数是偶函数.从正弦函数 y=sin x 的图象和余弦函数 y=cos x 的图象上也可以看出,正 弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数. 思考应用 2.从正、余弦函数的奇偶性可知正弦函数 y=sin x 的图象关于原点对称,余弦函数 y =cos x 的图象关于 y 轴对称,正、余弦函数的图象还有其他对称轴和对称中心吗? 解析: 利用正、余弦函数的周期性和图象可以得出:正弦曲线 y=sin x 既是中心对称 图形,又是 轴对称图形.其对称中 心坐标是(kπ ,0)(k∈Z),对称轴方程是 x=kπ + π 2

(k∈Z);同理,余弦曲线 y=cos x 既是中心对称图形,又是轴对称图形.其对称中心坐标 π ? ? 是?kπ + ,0?(k∈Z)对称轴方程是 x=kπ (k∈Z). 2 ? ?

自 测 自 评 1.函数:①y=x sin x;②y=sin x,x∈[0,2π ];③y=sin x,x∈[-π ,π ]; ④y=xcos x 中,奇函数的个数为(C) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2

解析:①③④是奇函数.故选 C. 2.使 y=sin x 和 y=cos x 均为减函数的一个区间是(B)

? π? A.?0, ? 2? ?

?π ? B.? ,π ? ?2 ?

3π ? ? ?3π ? C.?π , ? D.? ,π ? 2 ? ? ? 2 ?

解析:由 y=sin x,x∈[0,2π ]与 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象知:

2

y=sin x 和 y=cos x 的均为减函数的一个区间是:

?π ,π ?,故选 B. ?2 ? ? ?
3.函数 y=|sin x|的一个单调增区间(C)

? π π? A.?- , ? ? 4 4?
3π ? ? C.?π , ? 2 ? ?

?π 3π ? B.? , ? 4 ? ?4
D.?

?3π ,2π ? ? ? 2 ?

π? ? 4.有下列命题:①y=sin x 的递增区间是?2kπ ,2kπ + ? 2? ?

? π π? (k∈Z);②y=sin x 在第一象限是增函数;③y =sin x 在?- , ?上是增函数.其 ? 2 2?
中正确的个数是(A) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个

π π? ? 解析:①y=sin x 的递增区间是?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z).②函数的单调性是相 2 2? ? 对于某一区间来说的,与所在象限无关.③正确.故选 A.

基 础 提 升 1.下列命题正确的是(D) A.y=sin x 在[0,π ]内是单 调函数 B.在第二象限内,y=sin x 是减函数,y=cos x 也是减函数 C.y=cos x 的增区间是[0,π ] D.y=sin x 在区间?

?π ,π ?上是减函数 ? ?2 ?

? π? 2.已知函数 f(x)=sin?x- ?(x∈R),下面结论错误的是 (D) 2? ?
A.函数 f(x)的最小正周期为 2π

? π? B.函数 f(x)在区间?0, ?上是增函数 2? ?
C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数
3

? π? 解析:由函数的 f(x)=sin?x- ?=-cos x(x∈R)可以得到函数 f(x)是偶函数,选择 2? ?
D.

? π? 3.函数 y=sin?x+ ?在下列区间是增函数的是(B) 4? ? ? π π? A.?- , ? ? 2 2? ? 3π π ? B.?- , ? 4? ? 4
C.[-π ,0]

? π 3π ? D.?- , ? 4 ? ? 4
π π π 解析:由 2kπ - ≤x+ ≤2kπ + , 2 4 2 3π π? 3π π ? 得 2kπ - ≤x≤2kπ + (k∈Z), 函数的增区间为?2kπ - ,2kπ + ?.令 k=0, 4 4? 4 4 ? 得 B 正确.故选 B. π 4.若 α ,β 均为锐角且 α +β > ,则(A) 2 A.sin α >cos β C.sin α >sin β B.sin α <cos β D.cos α <c os β

π π ?π ? 解析:由题意 0< -β <α < ,∴sin? -β ?<sin α ,即 sin α >cos β .故选 2 2 2 ? ? A.

? ? π ?? 5.设函数 f(x)=?sin?x+ ??(x∈ R),则 f(x)(A) 3 ?? ? ?
A.在区间?

?2π ,7π ?上是增函数 ? 6 ? ? 3

π? ? B.在区间?-π ,- ?上是减函数 2? ?

?π π ? C.在区间? , ?上是增函数 ?8 4? ? π 5π ? D.在区间? , ?上是减函数 6 ? ?3 ? π? 解析:作函数 y=sin?x+ ?的图象,并将图象在 x 轴下方的部分对折到 x 轴的上方, 3? ?
观察图象可知答案选 A.

?3x 3π ? 6.判断函数 f(x)=sin? + ?的奇偶性. 2 ? ?4
4

分析:判断函数的奇偶性,首先要看定义域是否关于原点对称,再看 f(-x)与 f(x)的 关系. 3x ?3x 3π ? 解析:∵x∈R,f(x)=sin? + ?=-cos , 2 ? 4 ?4 3(-x) 3x ∴f(-x)=-cos =-cos =f(x), 4 4

?3x 3π ? ∴函数 f(x)=sin? + ?为偶函数. 2 ? ?4
巩 固 提 高

?π 2π ? 2 7.函数 y=3cos x-4cos x+1,x∈ ? , ?的最小值是(D) 3 ? ?3
1 15 A.- B. 3 4 1 C.0 D.- 4 2?2 1 ? ? π 2π ? 解析:y=3?cos x- ? - ,∵x∈? , ?, 3? 3 ? 3 ? ?3

? 1 1? ∴cos x∈?- , ?. ? 2 2?
2 1 1 ?1 2? 1 当 cos x= 时,y 取到最小值为 ymin=3×? - ? - =- .故选 D. 2 4 ?2 3? 3 8.函数 y=cos x 在区间[-π ,a]上为增函数,则 a 的取值范围是________. 解析:∵y=cos x 在 [-π ,0]上是增函数,在[0,π ]上是减函数,∴只有-π <a≤0 时,满足已知.故 a 的取值范围是(-π ,0]. 答案:(-π ,0] π? ? 9.求函数 y=3cos?2x+ ?+2 的单调区间. 3? ? π 解析:由 2kπ -π ≤2x+ ≤2kx(k∈Z)得 3

kπ - x≤x≤kπ - (k∈Z).
2π π? ? ∴函数的单调增区间是?kπ - ,kπ - ?(k∈Z). 3 6? ? π 由 2kπ ≤2x+ ≤2kπ +π (k∈Z)得 3 π π? ? ∴函数的单调减区间是?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 6 3? ?

2 3

π 6

5

3 1 10.若函数 f(x)=a-bsin x 的最大值为 ,最小值为- ,求函数 g(x)=-4asin bx 2 2 的最值和最小正周期. 3 ? ?a+b=2, 解析:当 b>0 时,由题意得? 1 ?a-b=-2, ? 1 解得 a= ,b=1. 2 ∴g(x)=-2sin x.此时函数 g(x)的最大值为 2, 最小值为-2,最小正周期为 2π . 3 ? ?a-b=2, 当 b<0 时,由题意得? 1 ? ?a+b=-2, 1 解得 a= ,b=-1. 2 ∴g(x)=2sin x.此时函数 g(x)最大值为 2,最小值为-2,最小正周期为 2π .

1.求 y=Asin(ω x+φ )的单调区间,首先把 x 的系数化为正的,再利用整体代换,将 ω x+φ 代入相应不等式中,求解相应变量的取值范围. 2.判断函数的奇偶性时,必须先检查函数的定义域是否关于原点的对称区间,再验证

f(-x)与 f(x)的关系,进而判断函数的奇偶性.

6


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