苏教版高中数学必修五教案(全册)-第一章 解三角形第三课时 正弦定理、余弦定理(一)

第三课时 正弦定理、余弦定理(一 教学目标: 进一步熟悉正、余 弦定理内容,能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化,判断 三角形的形状,证明三角形中的三角恒等式;通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁 作用来反映事物之间的内在联系;通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化 而内在实质的不变性. 教学重点: 利用正、余弦定理进行边角互换. 教学难点: 1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向; 2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求. 教学过程: Ⅰ.复习回顾 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定 理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容.正弦定理、余弦定理实 质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通 过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应 用. Ⅱ.讲授新课 [例 1]已知△ABC,BD 为 B 的平分线,求证:AB∶BC=AD∶DC 分析:前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而 B 的平分线 BD 将△ABC 分成了两个三角形:△ABD 与△CBD,故要证结论成立,可证 明它的等价形式:AB∶AD=BC∶DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的 AB AD 比等 于所对角的正弦值的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为 = , sin∠ADB sin∠ABD BC DC = ,再根据相等角正弦值相等,互补角正弦值也相等即可证明结论. sin∠BDC sin∠DBC 证明:在△ABD 内,利用正弦定理得: sin∠ADB AB AD AB = ,即 = AD sin∠ABD sin∠ADB sin∠ABD 在△BCD 内,利用正弦定理得: sin∠BDC BC DC BC = ,即 = . DC sin∠DBC sin∠BDC sin∠DBC ∵BD 是 B 的平分线.∴∠ABD=∠DBC, ∴sinABD=sinDBC. ∵∠ADB+∠BDC=180°,∴sinADB=sin(180°-∠BDC)=sinBDC ∴ sin∠ADB sin∠BDC AB BC AB AD = = = ,∴ = AD sin∠ABD sin∠DBC DC BC DC 评述: 此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的 正弦值相等这一特殊关系式的应用. [例 2]在△ABC 中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC 分析:此题所证结论包含关于△ABC 的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角 的关系通过正弦定理转化为边的关系,若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转化 为角的关系,一般 是通过正弦定理. 另外,此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式,如 sin2B=2sinB·cosB 等,以便 在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形. 证明一: (化为三角 函数) 2 a sin2B+b2sin2A =(2RsinA)2·2sinB·cosB+(2RsinB)2·2sinA·cosA =8R2sinA·sinB(sinAcosB+cosAsinB) =8R2sinAsinBsinC =2·2RsinA·2RsinB·sinC=2absinC 所以原式得证. 证明二: (化为边的式子) 左边=a2·2sinBcosB+b2·2sinA·cosA [来源:学_科_网 Z_X_X_K] 2 2 2 2 2 2 2b a +c -b 2a b +c -a =a2· · +b2· · k 2ac k 2bc = = ab (a2+c2-b2+b2+c2-a2) kc ab c ·2c2=2a b· =2absinC kc k 评述:由边向角转化,通常利用正弦定理的变形式:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 在转化为角的关系式后,要注意三角函数公式的运用,在此题用到了正弦二倍角公式 sin2A= 2sinA·cosA,正弦两角和公式 sin(A+B)=sinA·cosB+cosA·sinB;由角向边转化,要结 合正弦定理变形式以及余弦定理形式二. 三角形的有关证明问题,主要围绕三角形的边和角的三角函数展开,从某种意义上来看, 这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题. [例 3]已知 A、B、C 是△ABC 的三个内角,且满足(sinA+sinB)2-sin2C=3sinAsinB 求证:A+B=120° 分析:要证 A+B=120°,由于 A+B+C=180°,只要证明 C=60°,而已知条件为三 角函数关系,故应考虑向三角函数的转化,又在 0°~180°之间,余弦值所对应角唯一,故 w w w .x k b 1.c o m a2+b2-c2 1 可证明 cosC= ,而由余弦定理 cosC= ,所以应考虑把已知的角的关系式转化为 2 2ab 边的关系. 证明:由(sinA+sinB)2-sin2C=3sinA·sinB 可得 sin2A+sin2B-sin2C=sinA·sinB a b c 又∵sinA= ,sinB= ,sinC= , k k k ∴ a2 b2 c2 a b · 2 + 2 - 2 = k k k k k xkb1.com 整理得 a2+b2-c2=ab a2+b2-c2 1 ∴cosC= = 2ab 2 又 0°<C<180°,∴C=60° ∴A+B=180°-C=120° 评述: (1)有关三角形内角的证明,选择余弦值与正弦值 相比较,要省去取舍的麻烦. 但注意 在根据三角函数值求角时,应先确定角的范围; (2) 在将已知条件中角的关系转化为边的关系时, 运用了正弦定理的变形式: a=2RsinA, b=2RsinB,c=2RsinC,这一转化技巧,要求学生熟练掌握. [例 4]在△ABC 中,bcosA

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