第三章三角函数、解三角形第1课时课后达标检测

[基础达标] 一、选择题 1.将表的分针拨快 10 分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) π π A. B. 3 6 π π C.- D.- 3 6 解析:选 C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角.故 A、B 不正确,又因为 π 1 1 拨快 10 分钟,故应转过的角为圆周的 .即为- ×2π=- . 6 6 3 2.给出下列四个命题: 3π 4π ①- 是第二象限角;② 是第三象限角; 4 3 ③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角. 其中正确的命题有( ) A.1 个 B .2 个 C.3 个 D.4 个 3π 4π π 4π 解析: 选 C.- 是第三象限角, 故①错误. =π+ , 从而 是第三象限角, 正确. - 4 3 3 3 400°=-360°-40°,从而③正确.-315°=-360°+45°,从而④正确. 3.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ =( ) 4 3 A. B.- 5 5 9 7 C. D.- 5 5 cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 解析:选 B.由题意知 tan θ=2,∴cos 2θ= 2 2 = 2 =- . 5 cos θ+sin θ 1+tan θ 2 4. (2014· 河南开封模拟)已知 α 是第二象限角, P(x, 5)为其终边上一点, 且 cos α = 4 x,则 x=( ) A. 3 B.± 3 C.- 2 D.- 3 x 2 解析:选 D.依题意得 cos α= 2 = x<0,由此解得 x=- 3. 4 x +5 7π sin cos π 10 5. 给出下列各函数值: ①sin(-1 000°); ②cos(-2 200°); ③tan(-10); ④ , 17π tan 9 其中符号为负的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 解析:选 C.sin(-1 000°)=sin 80°>0;cos(-2 200°) =cos(-40°)=cos 40°>0;tan(-10)=tan(3π-10)<0; 7π 7π sin cos π -sin 10 10 7π 17π = ,sin >0,tan <0,∴原式>0. 10 9 17π 17π tan tan 9 9

二、填空题 6.若 α 是第三象限角,则 180°-α 是第________象限角. 解析: ∵α 是第三象限角, ∴k· 360°+180°<α<k· 360°+270°, ∴-k· 360°-270° <-α<-k· 360°-180°, -(k+1)· 360°+270°<180°-α<-(k+1)· 360°+360°,其中 k∈Z,所以 180°- α 是第四象限角. 答案:四 7.(2014· 广东广州模拟)若三角形的两个内角 α,β 满足 sin α cos β <0,则此三角形 为________. 解析:∵sin αcos β<0,且 α,β是三角形的两个内角. ∴sin α>0,cos β<0,∴β为钝角.故三角形为钝角三角形. 答案:钝角三角形 8.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 4 A,点 A 的纵坐标为 ,则 cos α =________. 5 4 解析:因为 A 点纵坐标 yA= ,且 A 点在第二象限,又因为圆 O 为单 5 3 3 位圆,所以 A 点横坐标 xA=- ,由三角函数的定义可得 cos α=- . 5 5 3 答案:- 5 三、解答题 π 9.已知 α= . 3 (1)写出所有与 α 终边相同的角; (2)写出在(-4π ,2π )内与 α 终边相同的角; β (3)若角 β 与 α 终边相同,则 是第几象限角? 2 解:(1)所有与 α 终边相同的角可表示为 π {θ|θ= +2kπ,k∈Z}. 3 π (2)由(1),令-4π< +2kπ<2π(k∈Z), 3 1 1 则有-2- <k<1- . 6 6 又∵k∈Z,∴取 k=-2,-1,0. 11π 5π π 故在(-4π,2π)内与 α 终边相同的角是- 、- 、 . 3 3 3 π (3)由(1)有 β= +2kπ(k∈Z), 3 β π 则 = +kπ(k∈Z), 2 6 ∴ 是第一、三象限角. 2 10.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解:

β

设圆的半径为 r cm, 弧长为 l cm,

1 ? ? ?2lr=1, ?r=1, 则? 解得? ?l=2. ? ?l+2r=4, ? l ∴圆心角 α= =2. r 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1· sin 1=sin 1(cm), ∴AB=2sin 1(cm). [能力提升] 一、选择题 1.(2014· 福州模拟)已知点 P(sin α -cos α ,tan α )在第一象限,则在[0,2π ]内,α 的取值范围是( ) π 3 π 5π π π 5π A.? , ?∪?π , ? B.? , ?∪?π , ? 4 ? ? 4 ? 4 ? ?2 ?4 2? ? π 3π 5π 3π ? π π 3π C.? , ?∪? D.? , ?∪? ,π ? , 4 ? ? 4 2 ? ?2 ?4 2? ? 4 ? ? sin α - cos α > 0 , ? 解析:选 B.由已知得? α∈[0,2π], ?tan α>0, ? π 5π <α< , 4 4 ∴ π 3π 0<α< 或π<α< . 2 2 π π 5 π 故 α∈? , ?∪?π, ?. 4 ? ?4 2? ? 2π 2π ? 2.已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为?sin ) ? 3 ,cos 3 ?,则角 α 的最小正值为( 5π 2π A. B. 6 3 5π 11π C. D. 3 6 2π 3 解析:选 D.由题意知点 P 在第四象限,根据三角函数的定义得 cos α=sin = , 3 2 π 11π 故 α=- +2kπ(k∈Z),所以 α 的最小正值为 . 6 6 二、填空题 α α α 3.设角 α 是第三象限角,且?sin ?=-sin ,则角 是第________象限角. 2 2 2? ? 3π π α 3π 解析: 由 α 是第三象限角, 知 2kπ+π<α<2kπ+ (k∈Z), kπ+ < <kπ+ 2 2 2 4

? ? ?

(k∈Z),知

2 2 2? ? 四象限角. 答案:四 4.在直角坐标系中,O 是原点,A 点坐标为( 3,-1),将 OA 绕 O 逆时针旋转 450° 到 B 点,则 B 点的坐标为________. 解析:设 B(x,y),依题意知 OA=OB=2,∠BOx=60°, 且 B 点在第一象限,所以 x=2cos 60°=1,y=2sin 60°= 3,即 B(1, 3). 答案:(1, 3) 三、解答题 5.已知扇形 AOB 的周长为 8.

α

是第二或第四象限角,再由?sin

α?

=-sin

α

知 sin

α

≤0,所以 只能是第 2 2

α

(1)若这个扇形的面积为 3,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 解:设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α, 2r+l=8, ? ? (1)由题意可得?1 ? ?2lr=3, ? ?r=3 ? ?r=1, 解得? 或? ? ?l=2 ? ?l=6, l 2 l ∴α= = 或 α= =6. r 3 r 1 1 1 l+2r?2 1 ?8?2 l (2)∵2r+l=8,∴S 扇= lr= l·2r≤ ? = × =4,当且仅当 2r=l,即 α= = 2 4 4? 2 ? 4 ?2? r 2 时,扇形面积取得最大值 4. ∴r=2,∴弦长 AB=2sin 1×2=4sin 1. 6.(选做题)已知角 α 终边上一点 P,P 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离之比为 3∶4,且 sin α <0,求 cos α +2tan α 的值. |y| 3 解:设 P(x,y),则根据题意,可得 = . |x| 4 又∵sin α<0, ∴α的终边只可能在第三、第四象限. ①若点 P 位于第三象限,可设 P(-4k,-3k)(k>0), 则 r= x2+y2=5k, x 4 y 3 从而 cos α= =- ,tan α= = , r 5 x 4 7 ∴cos α+2tan α= . 10 ②若点 P 位于第四象限,可设 P(4k,-3k)(k>0), 则 r= x2+y2=5k, x 4 y 3 从而 cos α= = ,tan α= =- , r 5 x 4 7 ∴cos α+2tan α=- . 10 7 综上所述,若点 P 位于第三象限,则 cos α+2tan α= ; 10 7 若点 P 位于第四象限,则 cos α+2tan α=- . 10


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