2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试题(全国卷3word解析版)

2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试题(全国 卷 3)
注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 1.设集合 S= S ? ?x | ( x ? 2)( x ? 3) ? 0?, T ? ?x | x ? 0? ,则 S I T= (A)[2,3] (C)[3,+ ? ) 【答案】D 【解析】 试题分析:由 ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 解得 x ? 3 或 x ? 2 ,所以 S ? {x | x ? 2或x ? 3} ,所以 (B) (- ? ,2] U [3,+ ? ) (D) (0,2] U [3,+ ? )

S ? T ? {x | 0 ? x ? 2或x ? 3} ,故选 D.
考点:1、不等式的解法;2、集合的交集运算. 2.若 z ? 1 ? 2i ,则 (A)1 【答案】C 【解析】 试题分析:

4i ? z z ?1
(B) -1 (C)i (D)-i

4i 4i ? ? i ,故选 C. z z ? 1 (1 ? 2i )(1 ? 2i ) ? 1

考点:1、复数的运算;2、共轭复数. 3.已知向量 BA ? ( , (A)30 【答案】A 【解析】
0

uuv

uuu v 3 1 1 3 ) , BC ? ( , ), 则 ? ABC= 2 2 2 2
(B) 45
0

(C)60

0

(D)120

0

1 3 3 1 ??? ? ??? ? ? ? ? BA ? BC 2 2 ? 3 ,所以 ? ??? ? ?2 2 试 题 分 析 : 由 题 意 , 得 cos ?ABC ? ??? 1? 1 2 | BA || BC |
?ABC ? 30? ,故选 A. 考点:向量夹角公式. 4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最 0 低气温的雷达图。图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 C,B 点表示四月的平均最 0 低气温约为 5 C。下面叙述不正确的是

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(A)各月的平均最低气温都在 0 C 以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 0 (D)平均气温高于 20 C 的月份有 5 个 【答案】D 【解析】 试题分析:由图可知 0?C 均在虚线框内,所以各月的平均最低气温都在 0℃以上,A 正 确;由图可在七月的平均温差大于 7.5?C ,而一月的平均温差小于 7.5?C ,所以七月的 平均温差比一月的平均温差大,B 正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约 在 5?C ,基本相同,C 正确;由图可知平均最高气温高于 20℃的月份有 3 个或 2 个, 所以不正确.故选 D. 考点:1、平均数;2、统计图 5.若 tan ? ? (A)

0

64 25

3 2 ,则 cos ? ? 2sin 2? ? 4 48 (B) 25

(C) 1

(D)

16 25

【答案】A 【解析】 试题分析:由 tan ? ?

3 3 4 3 4 ,得 sin ? ? , cos ? ? 或 sin ? ? ? , cos ? ? ? ,所以 4 5 5 5 5 16 12 64 cos 2 ? ? 2sin 2? ? ? 4? ? ,故选 A. 25 25 25
4 2 1

考点:1、同角三角函数间的基本关系;2、倍角公式. 6.已知 a ? 2 3 , b ? 4 5 , c ? 253 ,则 (A) b ? a ? c 【答案】A 【解析】 (B) a ? b ? c (C) b ? c ? a (D) c ? a ? b

试题分析:因为 a ? 2 ? 4 ? 4 ? b , c ? 25 ? 5 ? 4 ? a ,所以 b ? a ? c ,故选 A. 考点:幂函数的图象与性质. 7.执行下图的程序框图,如果输入的 a ? 4,b ? 6 ,那么输出的 n ?

4 3

2 3

2 5

1 3

2 3

2 3

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(A)3 【答案】B 【解析】

(B)4

(C)5

(D)6

试 题 分 析 : 第 一 次 循 环 , 得 a ? 2, b ? 4, a ? 6, s ? 6, n ? 1 ; 第 二 次 循 环 , 得

a ? ?2, b ? 6, a ? 4, s ? 10 , n ? 2 ;第三次循环,得 a ? 2, b ? 4, a ? 6, s ? 16, n ? 3 ;
第四次循环, 得 a ? ?2, b ? 6, a ? 4, s ? 20 ? 16, n ? 4 , 退出循环, 输出 n ? 4 , 故选 B. 考点:程序框图. 8.在 △ABC 中, B =
3 10 10 【答案】C

π 1 ,BC 边上的高等于 BC ,则 cos A = 4 3

(A)

(B)

10 10

(C) -

10 10

(D) -

3 10 10

【解析】 ?3 试 题 分 析 : 设 BC 边 上 的 高 线 为 AD , 则 B C

A , D 所 以

AC ? AD2 ? DC2 ? 5AD , AB ? 2 AD . 由 余 弦 定 理 , 知
cos A ? AB2 ? AC 2 ? BC 2 2 AD2 ? 5 AD2 ? 9 AD2 10 ,故选 C. ? ?? 2 AB ? AC 10 2 ? 2 AD ? 5 AD

考点:余弦定理. 9.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多 面体的表面积为

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(A) 18 ? 36 5

(B) 54 ? 18 5

(C)90

(D)81

【答案】B 【解析】 试题分析:由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱,所以该几何体的表面积

S ? 2 ? 3? 6 ? 2 ? 3? 3 ? 2 ? 3? 3 5 ? 54 ? 18 5 ,故选 B.
考点:空间几何体的三视图及表面积. 10.在封闭的直三棱柱 ABC ? A1B1C1 内有一个体积为 V 的球,若 AB ? BC , AB ? 6 ,

BC ? 8 , AA1 ? 3 ,则 V 的最大值是
(A)4π 【答案】B 【解析】 试题分析:要使球的体积 V 最大,必须球的半径 R 最大.由题意知球的与直三棱柱的 上下底面都相切时, 球的半径取得最大值 (B)

9? 2

(C)6π

(D)

32? 3

3 4 4 3 3 9 3 , 此时球的体积为 ? R ? ? ( ) ? ? , 2 3 3 2 2

故选 B. 考点:1、三棱柱的内切球;2、球的体积.

x2 y 2 11.已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,A,B 分别为 C a b
的左,右顶点.P 为 C 上一点,且 PF ? x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

【答案】A 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? k ( x ? a) , 分 别 令

x ? ?c 与 x ? 0 得 点

1 | OE | | OB | 2 ?? CBM ? ,得 ,即 | FM |? k ( a? c) , | OE |? ka , 由 ?O B E | FM | | BC |

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ka a c 1 1 ,整理,得 ? ,所以椭圆离心率为 e ? ,故选 A. ? a 3 3 2k (a ? c) a ? c
考点:椭圆方程与几何性质. 12.定义“规范 01 数列”{an}如下:{an}共有 2m 项,其中 m 项为 0,m 项为 1,且对任 意 k ? 2 m ,a1 , a2 ,?, ak 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4, 则不同的 “规范 01 数列” 共有 (A)18 个 【答案】C 【解析】 (B)16 个 (C)14 个 (D)12 个

试题分析:由题意,得必有 a1 ? 0 , a8 ? 1 ,则具体的排法列表如下: 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1

0

考点:计数原理的应用.

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释)

?x ? y ?1 ? 0 ? 13.若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 则 z ? x ? y 的最大值为_____________. ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
【答案】

3 2

【解析】 试题分析:作出不等式组满足的平面区域,如图所示,由图知,当目标函数 z ? x ? y 经 过点 A(1, ) 时取得最大值,即 zmax ? 1 ?

1 2

1 3 ? . 2 2

考点:简单的线性规划问题. 14. 函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像可由函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像至少向右平移 _____________个单位长度得到. 【答案】 【解析】 试

?? 3
分 析 : 因 为

? y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) , 3 ? ? ?? y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) = 2sin[( x ? ) ? ] , 所 以 函 数 3 3 3 ?? 个 y ? sin x ? 3 cos x 的图像可由函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像至少向右平移 3


单位长度得到. 考点:1、三角函数图象的平移变换;2、两角和与差的正弦函数. 15 .已知 f ? x ? 为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ln(? x ) ? 3x ,则曲线 y ? f ? x ? 在点

(1, ? 3)处的切线方程是_______________。
【答案】 y ? ?2 x ? 1 【解析】

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试题分析:当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? ln x ? 3x .又因为 f ( x ) 为偶函数,所以

f ( x) ? f (? x) ? ln x ? 3x ,所以 f ?( x) ?

1 ? 3 ,则切线斜率为 f ?(1) ? ?2 ,所以切线 x

方程为 y ? 3 ? ?2( x ? 1) ,即 y ? ?2 x ? 1 . 考点:1、函数的奇偶性与解析式;2、导数的几何意义. 16.已知直线 l : mx ? y ? 3m ? 3 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 12 交于 A, B 两点,过 A, B 分别 做 l 的垂线与 x 轴交于 C , D 两点,若 AB ? 2 3 ,则 | CD |? __________________. 【答案】4 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 | AB |? 2 3 , 且 圆 的 半 径 为 2 3 , 所 以 圆 心 (0, 0) 到 直 线

mx ? y ? 3m ? 3 ? 0 的 距 离 为

R2 ? (

| AB | 2 | 3m ? 3 | ) ?3 ,则由 ?3 ,解得 2 m2 ? 1

m??

3 3 ,代入直线 l 的方程,得 y ? x ? 2 3 ,所以直线 l 的倾斜角为 30 ? ,由 3 3
| AB | ? 4. cos 30?

平面几何知识知在梯形 ABDC 中, | CD |? 考点:直线与圆的位置关系. 评卷人 得分

三、解答题(题型注释) 17.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 1 ? ? an ,其中 ? ? 0 . (Ⅰ)证明 {an } 是等比数列,并求其通项公式;

31 ,求 ? . 32 1 ? n ?1 ( ) ; 【答案】 (Ⅰ) an ? (Ⅱ) ? ? ?1 . 1? ? ? ?1
(Ⅱ)若 S5 ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)首先利用公式 an ? ?

n ?1 ? S1 ,得到数列 {an } 的递推公式,然 ? Sn ? Sn?1 n ? 2

后通过变换结合等比数列的定义可证; (Ⅱ)利用(Ⅰ)前 n 项和 Sn 化为 ? 的表达式, 结合 S5 的值,建立方程可求得 ? 的值. 试题解析: (Ⅰ)由题意得 a1 ? S1 ? 1 ? ?a1 ,故 ? ? 1 , a1 ?

1 , a1 ? 0 . 1? ?

由 Sn ? 1 ? ?an , 即 an ?1 (? ? 1) ? ?an .由 a1 ? 0 , Sn ?1 ? 1 ? ?an ?1 得 an ?1 ? ?an ?1 ? ?an ,
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? ? 0 得 an ? 0 ,所以
因此 {an } 是首项为

an ?1 ? . ? an ? ?1

1 ? 1 ? n ?1 ( ) . ,公比为 的等比数列,于是 an ? 1? ? ? ?1 1? ? ? ?1 ? 5 1 ? n 31 ? 5 31 ) , ) ? ) ? (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得 Sn ? 1 ? ( 由 S5 ? 得1 ? ( , 即( , 32 ? ?1 32 ? ?1 32 ? ?1 解得 ? ? ?1 .
考点: 1、 数列通项 an 与前 n 项和为 Sn 关系; 2、 等比数列的定义与通项及前 n 项和为 Sn . 18.下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图

(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (Ⅱ)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01) ,预测 2016 年我国生活垃圾无害 化处理量。 参考数据:

? yi ? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1 i ?1

7

7

?( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 , 7 ≈2.646.

参考公式:相关系数 r ?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (t ? t ) ? (y
2 i ?1 i i ?1

n

n


2

i

? y)

回归方程 y ? a ? bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

?

?

?

? b?

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

n

? ? ? , a=y ? bt .

? t )2

【答案】 (Ⅰ)理由见解析; (Ⅱ)1.82 亿吨. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据相关系数 r 公式求出相关数据后,然后代入公式即可求得 r 的值, 最后根据其值大小回答即可; (Ⅱ)利用最小二乘法的原理提供的回归方程,准确求得 相关数据即可建立 y 关于 t 的回归方程,然后作预测. 试题解析: (Ⅰ)由折线图这数据和附注中参考数据得

t ? 4 , ? (ti ? t ) 2 ? 28 ,
i ?1

7

? ( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 ,

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? (t
i ?1

7

i

? t )( yi ? y) ?

?t y ? t? y
i ?1 i i i ?1

7

7

i

? 40.17 ? 4 ? 9.32 ? 2.89 ,

2.89 ? 0.99 . 0.55 ? 2 ? 2.646 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关相当高,从而可以用线性回 归模型拟合 y 与 t 的关系. r? 9.32 ?? ? 1.331 及(Ⅰ)得 b (Ⅱ)由 y ? 7

? (t
i ?1

7

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

7

?

? t )2

2.89 ? 0.103 , 28

?t ? 1.331? 0.103? 4 ? 0.92 . ? ? y ?b a
? ? 0.92 ? 0.10t . 所以, y 关于 t 的回归方程为: y

? ? 0.92 ? 0.10? 9 ? 1.82 . 将 2016 年对应的 t ? 9 代入回归方程得: y
所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. 考点:线性相关与线性回归方程的求法与应用. 19. 如图, 四棱锥 P ? ABC 中,PA ? 地面 ABCD ,AD ? BC ,AB ? AD ? AC ? 3 ,

PA ? BC ? 4 , M 为线段 AD 上一点, AM ? 2 MD , N 为 PC 的中点.

(Ⅰ)证明 MN ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值. 【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)

8 5 . 25

【解析】 试题分析: (Ⅰ)取 PB 的中点 T ,然后结合条件中的数据证明四边形 AMNT 为平行四 边形,从而得到 MN ? AT ,由此结合线面平行的判断定理可证; (Ⅱ)以 A 为坐标原 点,以 AD, AP 所在直线分别为 y, z 轴建立空间直角坐标系,然后通过求直线 AN 的方 向向量与平面 PMN 法向量的夹角来处理 AN 与平面 PMN 所成角. 试题解析: (Ⅰ)由已知得 AM ?

2 AD ? 2 ,取 BP 的中点 T ,连接 AT , TN ,由 N 为 3

PC 中点知 TN // BC , TN ?

1 BC ? 2 . 2
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又 AD // BC , 故 TN 平行且等于 AM , 四边形 AMNT 为平行四边形, 于是 MN // AT . 因为 AT ? 平面 PAB , MN ? 平面 PAB ,所以 MN // 平面 PAB . (Ⅱ)取 BC 的中点 E ,连结 AE ,由 AB ? AC 得 AE ? BC ,从而 AE ? AD ,且

AE ? AB2 ? BE2 ? AB2 ? (

BC 2 ) ? 5. 2

以 A 为坐标原点,AE 的方向为 x 轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz , 由题意知,

P(0,0,4) , M (0,2,0) , C( 5,2,0) , N (

5 ,1,2) , 2

PM ? (0,2,?4) , PN ? (

5 5 ,1,?2) , AN ? ( ,1,2) . 2 2

?2 x ? 4 z ? 0 ? ?n ? PM ? 0 ? 设 n ? ( x, y, z) 为平面 PMN 的法向量,则 ? ,即 ? 5 ,可取 x ? y ? 2 z ? 0 ? n ? PN ? 0 ? ? ? 2
n ? (0,2,1) ,
于是 | cos ? n, AN ?|?

| n ? AN | 8 5 . ? | n || AN | 25

考点:1、空间直线与平面间的平行与垂直关系;2、棱锥的体积. 20. 已知抛物线 C :y ? 2 x 的焦点为 F , 平行于 x 轴的两条直线 l1 , l2 分别交 C 于 A,B
2

两点,交 C 的准线于 P,Q 两点. (Ⅰ)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR ? FQ ; (Ⅱ)若 ?PQF 的面积是 ?ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程. 【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) y ? x ?1 .
2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)设出与 x 轴垂直的两条直线,然后得出 A, B, P, Q, R 的坐标,然后通

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过证明直线 AR 与直线 FQ 的斜率相等即可证明结果了; (Ⅱ)设直线 l 与 x 轴的交点坐 标 D( x1 ,0) ,利用面积可求得 x1 ,设出 AB 的中点 E( x, y) ,根据 AB 与 x 轴是否垂直 分两种情况结合 k AB ? kDE 求解, 试题解析:由题设 F ( ,0) .设 l1 : y ? a, l2 : y ? b ,则 ab ? 0 ,且

1 2

A(

a2 b2 1 1 1 a?b ,0), B( , b), P(? , a), Q(? , b), R(? , ). 2 2 2 2 2 2

记过 A, B 两点的直线为 l ,则 l 的方程为 2 x ? (a ? b) y ? ab ? 0 . (Ⅰ)由于 F 在线段 AB 上,故 1 ? ab ? 0 . 记 AR 的斜率为 k1 , FQ 的斜率为 k2 ,则

k1 ?

a ?b a ?b 1 ? ab ? 2 ? ? ? ?b ? k 2 . 2 1? a a ? ab a a

所以 AR ∥ FQ . (Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 D( x1 ,0) , 则 S ?ABF ?

a ?b 1 1 1 . b ? a FD ? b ? a x1 ? , S ?PQF ? 2 2 2 2 1 1 a ?b ,所以 x1 ? 0 (舍去) , x1 ? 1 . b ? a x1 ? ? 2 2 2

由题设可得

设满足条件的 AB 的中点为 E ( x, y ) . 当 AB 与 x 轴不垂直时,由 k AB ? k DE 可得 而

2 y ? ( x ? 1) . a ? b x ?1

a?b ? y ,所以 y 2 ? x ? 1( x ? 1) . 2
2

当 AB 与 x 轴垂直时, E 与 D 重合.所以,所求轨迹方程为 y ? x ?1 . 考点:1、抛物线定义与几何性质;2、直线与抛物线位置关系;3、轨迹求法. 21.设函数 f ( x) ? a cos 2 x ? (a ? 1)(cos x ? 1) ,其中 a ? 0 ,记 | f ( x )| 的最大值为 A . (Ⅰ)求 f ?( x ) ; (Ⅱ)求 A ; (Ⅲ)证明 | f ?( x) |? 2 A .

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1 ? ? 2 ? 3a, 0 ? a ? 5 ? 2 ? a ? 6a ? 1 1 ' 【答案】 (Ⅰ) f ( x) ? ?2a sin 2x ? (a ?1)sin x ; (Ⅱ) A ? ? , ? a ?1; 8 a 5 ? 3a ? 2, a ? 1 ? ? ?
(Ⅲ)见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)直接可求 f ?( x ) ; (Ⅱ)分 a ? 1, 0 ? a ? 1 两种情况,结合三角函数的

1 1 , ? a ? 1 两种情况求 5 5 1 1 解; (Ⅲ)首先由(Ⅰ)得到 | f ?( x) |? 2a ? | a ?1| ,然后分 a ? 1 , 0 ? a ? , ? a ? 1 5 5
有界性求出 A , 但须注意当 0 ? a ? 1 时还须进一步分为 0 ? a ? 三种情况证明 试题解析: (Ⅰ) f ' ( x) ? ?2a sin 2x ? (a ?1)sin x . (Ⅱ)当 a ? 1 时,

| f ' ( x) |?| a sin 2x ? (a ?1)(cos x ? 1) | ? a ? 2(a ? 1) ? 3a ? 2 ? f (0)
因此, A ? 3a ? 2 . 当 0 ? a ? 1 时,将 f ( x ) 变形为 f ( x) ? 2a cos2 x ? (a ?1)cos x ?1 . 令 g (t ) ? 2at 2 ? (a ?1)t ?1 , 则 A 是 | g (t ) | 在 [?1,1] 上 的 最 大 值 , g (? 1)? a ,

g (1) ? 3a ? 2 , 且 当 t ?

1? a 时 , g (t ) 取 得 极 小 值 , 极 小 值 为 4a

1? a (a ? 1)2 a 2 ? 6a ? 1 g( )?? ?1 ? ? . 4a 8a 8a
1? a 1 1 ? 1 ,解得 a ? ? (舍去) ,a ? . 4a 3 5 1 (ⅰ)当 0 ? a ? 时, g (t ) 在 (?1,1) 内无极值点, | g (?1) |? a , | g (1) |? 2 ? 3a , 5
令 ?1 ?

| g (?1) |?| g (1) | ,所以 A ? 2 ? 3a .
(ⅱ)当

1 1? a ? a ? 1 时,由 g (?1) ? g (1) ? 2(1 ? a) ? 0 ,知 g (?1) ? g (1) ? g ( ). 5 4a

又| g(

1? a a 2 ? 6a ? 1 1? a (1 ? a)(1 ? 7a) ) | ? | g (?1) |? ? 0 ,所以 A ?| g ( ) |? . 4a 8a 4a 8a

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1 ? ? 2 ? 3a, 0 ? a ? 5 ? 2 ? a ? 6a ? 1 1 综上, A ? ? , ? a ?1. 8 a 5 ? 3a ? 2, a ? 1 ? ? ?
(Ⅲ)由(Ⅰ)得 | f ' ( x) |?| ?2a sin 2 x ? (a ?1)sin x |? 2a? | a ?1| .

1 时, | f ' ( x) |? 1 ? a ? 2 ? 4a ? 2(2 ? 3a) ? 2 A . 5 1 a 1 3 ? ? 1 ,所以 | f ' ( x) |? 1 ? a ? 2 A . 当 ? a ? 1 时, A ? ? 5 8 8a 4
当0 ? a ? 当 a ? 1 时, | f ' ( x) |? 3a ?1 ? 6a ? 4 ? 2 A ,所以 | f ' ( x) |? 2 A . 考点:1、三角恒等变换;2、导数的计算;3、三角函数的有界性. 22.选修 4-1:几何证明选讲
AB 的中点为 P ,弦 PC,PD 分别交 AB 于 E,F 两点. 如图,⊙O 中 ?

(Ⅰ)若 ?PFB ? 2?PCD ,求 ?PCD 的大小; (Ⅱ)若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G ,证明 OG ? CD . 【答案】 (Ⅰ) 60 ? ; (Ⅱ)见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据条件可证明∠PFB 与∠PCD 是互补的,然后结合∠PFB=2∠PCD 与 三角形内角和定理,不难求得 ?PCD 的大小; (Ⅱ)由(Ⅰ)的证明可知 C , E , F , D 四 点共圆,然后根据用线段的垂直平分线知 G 为四边形 CEFD 的外接圆圆心,则可知 G 在线段 CD 的垂直平分线上,由此可证明结果. 试 题 解 析 : ( Ⅰ ) 连 结

PB, BC





?B

? F ?P D ? B?B A , P ?P D? C ?P D ? C?B B . C

D

因为 AP ? BP ,所以 ?PBA ? ?PCB ,又 ?BPD ? ?BCD ,所以 ?BFD ? ?PCD .
? 又 ?PFD ? ?BFD ? 180 , ?PFB ? 2?PCD , 所 以 3?PCD ? 180 ,

?

因 此

?PCD ? 60? .
(Ⅱ)因为 ?PCD ? ?BFD ,所以 ?PCD ? ?EFD ? 180 ,由此知 C , D, F , E 四点
?

共圆,其圆心既在 CE 的垂直平分线上,又在 DF 的垂直平分线上,故 G 就是过

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C , D, F , E 四点的圆的圆心,所以 G 在 CD 的垂直平分线上,因此 OG ? CD .

考点:1、圆周角定理;2、三角形内角和定理;3、垂直平分线定理;4、四点共圆. 23.选修 4-4:坐标系与参数方程

? ? x ? 3 cos ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (? 为参数) ,以坐标原点为极 ? ? y ? sin ?
点,以 , 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 x 轴的正半轴为极轴,

? sin(? ? ) ? 2 2 .
(Ⅰ)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 【答案】 (Ⅰ)C1 的普通方程为

? 4

x2 ? y 2 ? 1,C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 ; (Ⅱ) 3

3 1 ( , ). 2 2
【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线 C1 的参数方程普通方 程,利用公式 ? cos ? ? x 与 ? sin ? ? y 代入曲线 C2 的极坐标方程即可; (Ⅱ)利用参 数方程表示出点 P 的坐标, 然后利用点到直线的距离公式建立 | PQ |? d (? ) 的三角函数 表达式,然后求出最值与相应的点 P 坐标即可. 试题解析: (Ⅰ) C1 的普通方程为

x2 ? y 2 ? 1, C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 . 3

(Ⅱ)由题意,可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,因为 C2 是直线,所以 | PQ | 的最小值, 即 为

P



C2







d (? )











| d (? ? )

3 ? ?c 2

o?? s ?

s

i n ? 4 | ? 2 ? | ? s. i n 3

(

)

2

|

当且仅当 ? ? 2k? ?

?
6

(k ? Z ) 时, d (? ) 取得最小值,最小值为 2 ,此时 P 的直角坐
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标为 ( , ) . 考点:1、椭圆的参数方程;2、直线的极坐标方程. 24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ?a (Ⅰ)当 a=2 时,求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)设函数 g ( x) ?| 2 x ? 1|, 当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ? 3 ,求 a 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ) {x | ?1 ? x ? 3} ; (Ⅱ) [2, ??) . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用等价不等式 | h( x) |? a ? ?a ? h( x) ? a ,进而通过解不等式可求 得; (Ⅱ)根据条件可首先将问题转化求解 f ? x ? ? g ? x ? 的最小值,此最值可利用三角 形不等式求得,再根据恒成立的意义建立简单的关于 a 的不等式求解即可. 试题解析: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| 2 x ? 2 | ?2 . 解不等式 | 2 x ? 2 | ?2 ? 6 ,得 ?1 ? x ? 3 . 因此, f ( x) ? 6 的解集为 {x | ?1 ? x ? 3} . (Ⅱ)当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? a | ?a? |1 ? 2 x |

3 1 2 2

?| 2 x ? a ? 1 ? 2 x | ?a ?|1 ? a | ?a ,
当x?

1 时等号成立, 2


所以当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ? 3 等价于 |1 ? a | ?a ? 3 . 当 a ? 1 时,①等价于 1 ? a ? a ? 3 ,无解. 当 a ? 1 时,①等价于 a ? 1 ? a ? 3 ,解得 a ? 2 . 所以 a 的取值范围是 [2, ??) .

考点:1、绝对值不等式的解法;2、三角形绝对值不等式的应用.

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