2017-2018学年江苏省无锡市普通高中高三数学上期中基础性检测考试卷(含答案)

无锡市普通高中 2017 年秋季学期高三期中基础性检测考 试卷数学试题 一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. 已知集合 A ? ?0,1,2? ,集合 B ? ?1, ? ,且 B ? A ,则实数 x ? 2.若复数 z ? a ? i ( a 为正实数)的模为 2,则 a ? . ? 1? ? x? . 3.菲波那切数列(Fibonacci,sequence),又称黄金分割数列,因数学家列昂纳多斐波那契 (Leonadoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一 个数列:1,2,3,5,8,13,21,…,则该数列的第 10 项为 4.若函数 f ? x ? ? ? . . ? ?1 ? x, x ? 0 ,则 f ? 5? ? f x ? 3 , x ? 0 ? ? ? ? 2 5.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? 2 的单调递减区间为 ? ??,1? , 则实数 a 的值为 . ?x ? y ? 2 ? 6.若变量 x , y 满足 ? 2 x ? 3 y ? 6 ,且 x ? 2 y ? a 恒成立,则 a 的最大值为 ?x ? 0 ? 7.将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 ? ?? ? 0? 个单位长度,若所得图象过点 ? 的最小值是 8.已知函数 f ? x ? ? 2 x . ?? 1? , ? ,则 ? ? 3 2? . 1 1 ? ,则 f ? a ? 1? ? f ? a 2 ? 1? ? 0 的解为 2 ?1 2 2 . . 9.已知 sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x ? 0 ,则 cos 2 x ? 10.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a3 ? 0, a2 ? a4 ? ?2 ,则数列 ? 是 . 2?log2 x ? an ? 的前 10 项和 n ?1 ? ?2 ? 11.已知实数 x , y 满足 y ? 2 ,则 2 1 ? 的最小值为 x y . 12.如图所示,在平行四边形 ABCD 中, AP ? BD, P 为垂足,且 AP ? 1 ,则 AP ? AC ? . . 13.关于 x 的方程 2 x ? a ? ex 有 3 个不同的实数解, 则实数 a 的取值范围为 14.已知正项数列 ?an ? 的首项为 1,前 n 项和为 Sn ,对任意正整数 m, n ,当 n ? m 时, Sn ? Sm ? 2m ? Sn?m 总成立,若正整数 p, q 满足 p ? q ? 6 ,则 为 . 1 1 ? 的最小值 S p Sq 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.(本题满分 14 分) 已知 a ? ? ?3,1? , b ? ?1, ?2 ?, c ? ?1,1 ?. (1)求 a 与 b 的夹角的大小; (2)若 c // a ? kb ,求 k 的值. ? ? 16.(本题满分 14 分) 如图, 在四棱柱 ABCD ? A 底面 ABCD 1B 1C1D 1 中, 为等腰梯形, AD // BC, AD ? 2 AB ? 2BC , M 为边 AD 的中点, CB1 ? 底面 ABCD . (1)求证: C1M // 平面 A 1 ABB 1; (2)平面 B1BM ? 平面 ACB1 . 17.(本题满分 14 分) 在三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sin A ? 为钝角, b ? 5. 3 1 , tan ? A ? B ? ? ,角 C 5 3 (1)求 sin B 的值; (2)求边 c 的长. 18.(本题满分 16 分) 在一块杂草地上有一条小路 AB,现在小路的一边围出一个三角形(如图)区域,在三角 形 ABC 内种植花卉.已知 AB 长为 1 千米,设角 C ? ? , AC 边长为 BC 边长的 a ? a ? 1? 倍, 三角形 ABC 的面积为 S(千米 2). (1)试用 ? 和 a 表示 S ; (2)若恰好当 ? ? 60 时,S 取得最大值,求 a 的值. 19.(本题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? ? ?3an ? 3n, n为奇数, ? 记数列 ?an ? 的前 n 项和为 ? ??an ? n ? 1, n为偶数, Sn , bn ? a2n , n ? N ? . (1)求证:数列 ?bn ? 为等比数列,并求其通项 bn ; (2)求 Sn ; (3)问是否存在正整数 n ,使得 S2n?1 ? bn ? S2n 成立?说明理由. 20.(本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2ln x ? mx ?1? m ? R ? . (1)当 m ? 1 时,求 f ? x ? 的单调区间; 5 ? ?1 ? 2 (2)令 g ? x ? ? xf ? x ? ,区间 D ? ? e , e 2 ? , e 为自然对数的底数。 ? ? (ⅰ)若函数 g ? x ? 在区间 D 上有两个极值,求实数 m 的取值范围; (ⅱ)设函数 g ? x ? 在区间 D 上的两个极值分别为 g ? x1 ? 和 g ? x2 ? , 求证: x1 ? x2 ? e .

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