第一章习题课求极限的方法_图文

第一章 习 题 课

函数与极限

一 基本要求
(一)函数 1.理解函数的概念,明确函数定义中的两个 要素(对应关系和定义域),会求定义域. 2.了解函数性质(有界性,单调性,奇偶性,周 期性). 3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反 函数和隐函数概念,并会将复合函数拆成 基本初等函数.

4.掌握基本初等函数的性质及图形. (二)极限 1.理解极限的概念,明确变量的极限是描述 变量的某种变化趋势的. 2.了解极限的性质(唯一性,有界性和保号性) 及极限存在的两个准则(夹逼、单调有界). 3.掌握极限的四则运算法则和两个重要极 限,并会利用它们求极限. 4.了解无穷小与无穷大的概念和性质,会用 等价无穷小求极限.

(三)连续 1.理解函数在一点和在区间上连续的概念, 明确连续定义的三个要素. 2.了解间断点的概念,会判断间断点的类型. 3.了解初等函数的连续性和闭区间上连续 函数的最大值和最小值定理和介值定理, 并会一些简单的应用.



要点提示

(一)求极限的方法:
1.利用极限的四则运算法则(有时需要先对函数作 变量代换,恒等变形,如通分或有理化等); 2.利用两个重要极限: sin x 1 x lim ? 1, lim(1 ? ) ? e x ?0 x ?? x x 3.利用极限存在的两个准则(夹逼准则,单调有

界准则);

4.利用无穷小的性质 (1)无穷小与无穷大的关系; (2)无穷小与有界量的乘积仍是无穷小; (3)等价无穷小代换; 常用的等价无穷小: 当 x ? 0 时,

x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x
x 1 ? cos x ~ 2 x ln ?1 ? x ? ~ e ? 1 ~ x
2

5.利用函数的连续性:
lim f ?? ? x ?? ? f ? lim ? ? x ?? ? x? x ? x ? x0 0 ? ?

6.对于分段函数,在分段点利用左右极限来 确定极限是否存在.

(二)连续性的等价定义

函数 f ? x ? 在x0 处连续:
1. l i m ?y ? 0; 2. l i m f ? x ? ? f ? x0 ?;
x ? x0 ?x ? 0

3.? ? ? 形式:?? ? 0, ?? ? 0,当 x ? x0 ? ? 时 ,

恒有 f ? x ? ? f ? x ? ? ? . 0

(三)间断点及其分类

满足以下三条之一 x0 为 f ? x ?的间断点: (1)在x0处没有定义; lim (2) x ? x f ? x ? 不存在;

? 3?

按照在间断点处有无左右极限来分类: 第一类包括跳跃和可去间断点; 第二类包括无穷和振荡间断点等.

x ? x0

lim f ? x ? ? f ? x0 ? .
0

三 问题与思考
1. lim xn ? a ? lim xn ? a, 是否正确? n ?? n ?? 答:不正确.例如 n n lim ?? 1? ? 1, 而 ?? 1? 发散. n?? 数列 ?xn ? 与?xn ?的敛散性的关系如下: (1)若 lim xn ? a 则 lim xn ? a . n ?? n ?? (2)若 xn ?恒正或恒负,则?xn ?与 ?xn ? 同敛散. ? (3)若 lim xn ? 0则 lim xn ? 0 (以后常用).

?

?

n ??

n ??

xn ?1 lim xn ?1 lim xn ? a,则 lim ? n ?? ? 1 对吗? 2. 若 n?? n ?? x lim xn n n ?? 答:不对. 在用商的极限法则时,分母的极限不能为零, 故当 a ? 0 时,结论正确. 当 a ? 0 时,可能存在(未必是1 ),也可能不存
n ?1 ? ?? 1?n ? 1 ? ?? 1? ? 0, 在.例如 ?xn ? ? ? ?, lim n ?? n ? n ?

xn?1 n 1 ? ?? 1? 但 lim ? lim . n?? x n?? n ? 1 1 ? ?? 1?n n

n ?1

不存在.

xn?1 1 n ?1 ?1 ? ?xn ? ? ? ?, lim ? 0, lim ? lim ? 1. n?? x n?? n ? n ? n?? n n
3.无穷大量与无界函数有什么区别和联系? 答:无穷大量是指在自变量的某一变化过程 中,对应的函数值的一种变化趋势,即当自变 量变化到某一阶段后,绝对值无限增大.而无 界函数是以否定有界函数来定义的,只要求 有一个自变量使 f ?x1 ? ? K ? 0满足即可.

又如

f ?x ?是当x ? x0 ?? ? 时的无穷大,则 f ?x ? 无界. 反之不然.例如 f ?x ? ? x cosx在 ?? ?,???无界,

而当 x ? ??时, f ?x ? 不是无穷大. M ?M ? 0, 取x1 ? 2k? ? ?? ?,???, k ? N , k ? , 2? f ?x1 ? ? 2k? cos 2k? ? 2k? ? M . 故无界. 若取

x ? 2k? ?

?

2

,k ? N,

?? ? ?? ? f ?x ? ? ? 2k? ? ? cos? 2k? ? ? ? 0 ? M , 2? ? 2? ? ? f ?x ? 当 x ? ? 时, 不是无穷大.

四 典型题目
1 ? a ? a 2 ? ? ? a n ?1 1.求 lim , 2 2 n ?1其中 | a |? 1,| b |? 1 n ?? 1 ? b ? b ? ? ? b

x ?1 2.lim x ?1 x ?1
3



3.lim( x ? 1 ? x ? 1)
2 2 x ??

2.解令6 x ? t,则当x ? 0时,t ? 0,
t 2 ?1 (t ? 1)(t ? 1) t ?1 2 故 原式 ? lim 3 ? lim ? lim 2 ? 2 t ?1 t ? 1 t ?1 (t ? 1)(t ? t ? 1) t ?1 t ? t ? 1 3

1 ? an 1? a ? 1? b 1.解 原式 ? lim n ?? 1 ? b 2 n 1? a 1? b

3.解 原式 ? lim ? lim

( x ? 1 ? x ? 1)( x ? 1 ? x ? 1)
2 2 2 2

x ??

x ?1 ? x ?1
2 2

1 x2 ? 1 ? x2 ? 1

x ??

=0

小结:当利用极限的四则运算法则时,要注意是否 满足条件。因此,往往需要先作某些恒等式的变形 或化简,比如使用某些求和公式,求积公式,公式

的约分或通分,分子分母有理化,三角函数的恒等
变形以及适当的变量代换等。 请注意利用求有理分式函数的极限公式
? a0 ?b ,n ? m m m ?1 ? 0 a0 x ? a1 x ? ? ? am ? lim ? ?0, n ? m (*) x ?? b x n ? b x n ?1 ? ? ? b 0 1 n ? ?, n ? m ? ? ?

4.lim tan 3x ? sin( ? x) ? 6 x?
6

?

? x?c? 5.lim ? ? x ?? x ? c ? ?

x

4.解令t ?

?
6

? x, x ?

?
6

? t 当x ?

?
6

时, ? 0,则 t

3t 1 sin t 1 原式 ? lim cot 3t sin t ? lim cos 3t ? t ?0 t ?0 sin 3t 3 t 3
x ?c ? ? 2c 2c ? ? ??1 ? 2c ? ? =e2 c 5.解1.原式= lim ?1 ? ? lim ? ? ? ? x ?? x ?? ? ? x?c ? ? x?c ? ? ? x c x c c ?c (1 ? ) lim(1 ? ) ec x ?? x ? x 解2.原式= lim ? ? c ? e2c x x ?? c x c ? c ?( ? c ) e (1 ? ) lim(1 ? ) x ?? x x x ? c 2 cx ? 2c x ?c
.

2 cx x ?c

请注意使用重要极限时,左边的实际涵义,即

sin? lim ?1 ( ? 为无穷小); ? 1 ? lim(1 ? ) ? e ( ? 为无穷大) ?


lim(1 ? ? )? ? e

1

(? 为无穷小).

x arctan 2 6.lim 2 x ?0 x sin x 2

4

1 1 7.lim( x sin ? sin x) x ?0 x x

1 1 6.解 原式 ? lim x sin ? lim sin x ? 0 ? 1 ? 1 x ?0 x x ?0 x
其中第二个极限是第一个重要极限,而第一个极限利用
无穷小的性质,无穷小量乘以有界函数仍是无穷小.
时,

x x arctan ? sin 7.解当x ? 0时, x ? x , 2 2 4 4
2 2

4

4

x x arctan 2 ? lim 2 ? 1 ? lim 2 x ?0 x sin x 2 x ?0 x 2 x 2 2

注:利用“无穷小乘以有界量仍是无穷小量”求极限 是常用的方法,

利用等价无穷小代换求极限也是常用的方法,

注意掌握一些等价无穷小公式。


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