第一章-极限与连续-习题课_图文

基本初等函数
复合函数

函数 的定义

初等函数 反函数 隐函数

双曲函数与 反双曲函数

反函数与直接 函数之间关系

函数 的性质
单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性

1、函数的定义
定义 设 x 和 y 是两个变量,D 是一个给定的数 集.如果对于每个数x ? D,变量 y 按照一定法 则总有确定的数值和它对应,则称 y 是 x 的函数, 记作 y ? f ( x).
数集 D 叫做这个函数的定义域,x 叫做自变量, y 叫做因变量.
函数值全体组成的数集 W ? { y y ? f ( x), x ? D} 称为函数的值域.

函数的分类

有 有理整函数(多项式函数) 理

代 数

函 数 有理分函数(分式函数)

初 等

函 数



无理函数

函数



超越函数

非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)

2、函数的性质

(1) 单值性与多值性:
若对于每一个x ? D ,仅有一个值y ? f ( x) 与之对 应,则称 f ( x)为单值函数,否则就是多值函数.

y

y

( x ? 1)2 ? y2 ? 1

y ? ex

o

x

o

x

(2) 函数的奇偶性:

设D关于原点对称, 对于?x ? D,有

f (? x) ? f ( x) 称f ( x)为偶函数;

f (?x) ? ? f (x)
y

称f ( x)为奇函数;
y

y? x

y ? x3

o

x

偶函数

o

x

奇函数

(3) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D,区间I ? D,如果对于区间I上
任意两点 x1及 x2,当 x1 ? x2时,恒有:
(1) f (x1) ? f (x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的; 或(2) f (x1) ? f (x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的;
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
y y ? x2 当 x ? 0 时为减函数;
当 x ? 0 时为增函数;

o

x

(4) 函数的有界性:
若X ? D, ?M ? 0,?x ? X ,有 f ( x) ? M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.

y
y? 1 x

在(??,0)及(0,??)上无界; 在(??,?1]及[1,??)上有界.

?1 o 1

x

(5) 函数的周期性:

设函数 f(x) 的定义域为D,如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x ? D,有 ( x ? l) ? D.且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.(通 常说周期函数的周期是指其最小正周期).

T ?1

y

y ? x ? [x]

1

o

1

x

3、基本初等函数
1)幂函数 y ? x? (?是常数)
2)指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 3)对数函数 y ? loga x (a ? 0,a ? 1) 4)三角函数 y ? sin x; y ? cos x;
y ? tan x; y ? cot x; 5)反三角函数 y ? arcsin x; y ? arccos x;
y ? arctan x; y ? arccotx

4、复合函数
设函数 y ? f (u) 的定义域D f ,而函数u ? ?( x) 的 值 域 为 Z?, 若 Df ? Z? ? ?, 则 称 函 数 y ? f [?( x)]为x 的复合函数.
5、初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.

数列极限

函数极限

lim
n??

xn

?

a

lim f ( x) ? A
x??

lim f ( x) ? A
x? x0

无穷大

两者的

lim f ( x) ? ? 关系

极限存在的 充要条件

左右极限 无穷小的比较

无穷小
lim f ( x) ? 0

判定极限 存在的准则

两个重要 极限

等价无穷小 及其性质

无穷小 的性质

唯一性

求极限的常用方法

极限的性质

1、极限的定义

定义 如果对于任意给定的正数? (不论它多么

小),总存在正数 N ,使得对于n ? N 时的一切xn ,不

等式 xn ? a ? ? 都成立,那末就称常数a 是数列xn

的极限,或者称数列xn 收敛于a ,记为

lim
n??

xn

?

a,或 xn

?

a

(n ? ?).

"? ? N"定义

? ? ? 0,?N ? 0,使n ? N时,恒有 xn ? a ? ? .

定义 2 如果对于任意给定的正数? (不论它多么小), 总存在正数? ,使得对于适合不等式0 ? x ? x0 ? ? 的 一切x ,对应的函数值 f ( x) 都满足不等式
f (x) ? A ? ?,

那末常数 A就叫函数 f ( x) 当 x ? x0 时的极限,记作

lim f ( x) ? A 或
x? x0

f ( x) ? A(当x ? x0 )

"? ? ?"定义 ?? ? 0, ?? ? 0,使当0 ? x ? x0 ? ?时, 恒有 f (x) ? A ? ?.

左极限 ?? ? 0, ?? ? 0,使当x0 ? ? ? x ? x0时, 恒有 f (x) ? A ? ?.

记作 lim f ( x) ? A 或 x? x0 ?0

f ( x0 ? 0) ? A.

(

x

?

x

? 0

)

右极限 ?? ? 0, ?? ? 0,使当x0 ? x ? x0 ? ?时,

恒有 f (x) ? A ? ?.

记作 lim f ( x) ? A 或 x? x0 ?0

f ( x0 ? 0) ? A.

( x? x0? )

定理 : lim x? x0

f (x) ?

A?

f (x0

? 0) ?

f (x0

? 0) ?

A.

2、无穷小与无穷大

无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.

记作 lim f ( x) ? 0 (或 lim f ( x) ? 0).

x? x0

x??

无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.

记作 lim f ( x) ? ? (或 lim f ( x) ? ?).

x? x0

x??

无穷小与无穷大的关系

在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.

无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

3、极限的性质
定理 设 lim f ( x) ? A, lim g( x) ? B,则 (1) lim[ f ( x) ? g( x)] ? A ? B; (2) lim[ f ( x) ? g( x)] ? A ? B; (3) lim f ( x) ? A , 其中B ? 0. g(x) B
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] ? c lim f ( x).
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n ? [lim f ( x)]n .

4、求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.

5、判定极限存在的准则

准则Ⅰ′ 如果当 x ? U 0 ( x0 , r )(或 x ? M )时,有 (1) g( x) ? f ( x) ? h( x),

(2) lim g( x) ? A, lim h( x) ? A,

x? x0 ( x??)

x? x0 ( x??)

那末 lim f ( x)存在,且等于A. (夹逼准则) x? x0 ( x??)

准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.

6、两个重要极限

(1) lim sin x ? 1 x?0 x

lim sin? ? 1; 某过程 ?

(2) lim(1 ? 1 )x ? e

x??

x

1
lim(1 ? x) x ? e
x?0

1
lim (1 ? ? )? ? e.
某过程

7、无穷小的比较
定义:设?,?是同一过程中的两个无穷小,且? ? 0.
(1) 如果lim ? ? 0,就说?是比?高阶的无穷小, ?
记作 ? ? o(?);
(2) 如果 lim ? ? C(C ? 0), 就说?与?是同阶的无穷小; ?
特殊地 如果lim ? ? 1,则称?与?是等价的无穷小; ?
记作 ? ~ ?;

(3)





lim

? ?k

? C(C

? 0, k

? 0),就说?是?是k阶的

无穷小.

8、等价无穷小的性质

定理(等价无穷小替换定理)

设 ? ~ ??,? ~ ??且 lim ?? 存在,则 lim ? ? lim ?? .

??

?

??

9、极限的唯一性

定理 若lim f ( x)存在,则极限唯一.

连续定义

lim ?y ? 0
?x ? 0

lim
x? x0

f (x) ?

f (x0 )

左右连续

连续的 充要条件

在区间[a,b] 上连续

连续函数的 运算性质

非初等函数 的连续性

初等函数 的连续性

间断点定义

第一类 可跳 去跃 间间 断断 点点

第二类 无振 穷荡 间间 断断 点点

连续函数 的性质

1、连续的定义

定义 1 设函数 f ( x)在点x 0 的某一邻域内有定义, 如果当自变量的增量?x 趋向于零时,对应的函数

的增量?y 也趋向于零,即

lim ?y ? 0
?x ? 0



lim [
?x ? 0

f

(

x0

? ?x) ?

f ( x0 )] ? 0

那末就称函数 f ( x)在点x 0 连续,x 0 称为 f ( x)的连

续点.

定义2

lim
x? x0

f (x) ?

f ( x0 ).

2、单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 ? 0) ? f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处左连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 ? 0) ? f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
3、连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续 ? 是函数f ( x)在 x0 处 既左连续又右连续.

4、间断点的定义

函数f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件: (1) f ( x)在点x0处有定义;

(2) lim f ( x)存在; x? x0

(3) lim x? x0

f (x) ?

f ( x0 ).

如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称

函数f ( x)在点x0处不连续(或间断),并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).

5、间断点的分类

(1) 跳跃间断点 如果f ( x)在点x0处左,右极限都

存在, 但f ( x0

? 0) ?

f (x0

?

0),



称点x


0

函数

f ( x)的跳跃间断点.

(2)可去间断点 如果f ( x)在点x0处的极限存在,

但 lim x? x0

f (x) ?

A?

f ( x0 ),或f ( x)在点x0处无定

义则称点x0为函数f ( x)的可去间断点.

跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点: 函数在点x0处的左, 右极限都存在.



y

y



可去型

跳跃型









0 x0

x

0

x0

x

第二类间断点 如果f ( x)在点x0处的左, 右极限

至少



一个

不存

在,



称点x


0

函数f

(

x

)的

第二

类间断点.

y











0

x0

x



无穷型

y

0

x

振荡型

6、闭区间的连续性
如果函数在开区间(a, b)内连续,并且在左端点 x ? a处右连续, 在右端点x ? b处左连续,则称 函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续.
7、连续性的运算性质
定理 若函数f ( x), g( x)在点x0处连续,则 f (x)
f ( x) ? g( x), f ( x) ? g( x), g( x) (g( x0 ) ? 0) 在点x0处也连续.

8、初等函数的连续性

定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数.

定理2 若 lim ?( x) ? a,函数f (u)在点a连续,则有 x? x0

lim f [?( x)] ? f (a) ? f [ lim ?( x)].

x? x0

x? x0

定理3 设函数u ? ?( x)在点x ? x0连续,且?( x0 ) ? u0 , 而函数y ? f (u)在点u ? u0连续,则复合函数 y ? f [?( x)]在点x ? x0也连续.

定理4 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间.
9、闭区间上连续函数的性质
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.

定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界.
定理 3(零点定理) 设函数 f ( x)在闭区间 ?a, b?
上连续,且 f (a) 与 f (b)异号(即 f (a) ? f (b) ? 0),
那末在开区间?a, b?内至少有函数 f ( x)的一个零
点,即至少有一点? (a ? ? ? b),使 f (?) ? 0.

定理 4(介值定理) 设函数 f ( x)在闭区间 ?a, b? 上
连续,且在这区间的端点取不同的函数值 f (a) ? A 及 f (b) ? B ,
那末,对于A 与B 之间的任意一个数C ,在开区间
?a, b?内至少有一点? ,使得 f (?) ? c (a ? ? ? b).
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m之间的任何值.

二、典型例题

例1 求函数y ? log( x?1) (16 ? x2 )的定义域.

解 16 ? x 2 ? 0, x ? 1 ? 0, x ? 1 ? 1,

?x ?4

? ?

x

?

1

?? x ? 2

1 ? x ? 2及2 ? x ? 4,

即(1,2) ? (2,4).

例2 设f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2x,其中x ? 0, x ? 1. x
求f ( x).

解 利用函数表示法的无关特性

令 t ? x ?1, x

即x? 1 , 1? t

代入原方程得

f ( 1 ) ? f (t) ? 2 , 即f ( x) ? f ( 1 ) ? 2 ,

1? t

1? t

1? x 1? x

令 1 ? u ? 1, 即 x ? 1 , 代入上式得

1? x u

1? u

f ( 1 ) ? f (u ? 1) ? 2(u ? 1) ,即 f ( 1 ) ? f ( x ? 1) ? 2( x ? 1) ,

1? u

u

u

1? x

x

x

解联立方程组

? ?

f

(x)

?

f

( x ? 1) x

?

2x

?? ? ?

f

(x)

?

f

(1 1?

) x

?

2 1?

x

? ??

f

( 1

1 ?

x

)

?

f ( x ? 1) x

?

2( x ? 1) x

? f ( x) ? x ? 1 ? 1 ? 1. x 1? x

例3 当 x ? 1时,

求 lim(1 ? x)(1 ? x2 )(1 ? x4 )?(1 ? x2n ). n??
解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则

原式 ? lim (1 ? x)(1 ? x)(1 ? x2 )(1 ? x4 )?(1 ? x2n )

n??

1? x

? lim (1 ? x2 )(1 ? x2 )(1 ? x4 )?(1 ? x2n )

n??

1? x

(1 ? x 2n )(1 ? x 2n )

1 ? x 2n?1

? lim

? lim

n??

1? x

n?? 1 ? x

? 1 . (?当 x ? 1时, lim x2n?1 ? 0.)

1? x

n??

例4



lim(1

?

tan

x

)

1 x3

.

x?0 1 ? sin x

解 解法讨论

设 lim f ( x) ? 0, lim g( x) ? ?, 则

? e lim[1 ? f ( x)]g( x) ? elim g( x)ln[1? f ( x)]

lim g( x )[? f ( x )]

(?ln[1 ? f ( x)] ~ ? f ( x))

? e . ?lim g( x) f ( x)

原式

?

lim[1

?

(1

?

tan

x

?

1
1)]x3

x?0

1 ? sin x

?

lim[1

?

tan

x

?

sin

x

1
]x3

x?0

1 ? sin x

?lim tan x ? sin x?0 1 ? sin x

x

?

1 x3

?

sin x(1 ? cos x) lim x?0 (1 ? sin x)cos x

?

1 x3

?

lim
x?0

sin x

x

?

1

?

cos x2

x?

1

(1 ? sin x)cos

x

?

1? 2

1
?原式 ? e2 .

例5

设p(

x)是多项式,且 lim x??

p(

x) ? x2

x3

? 2,

lim p( x) ? 1,求p( x). x x?0



? lim x??

p( x) ? x2

x3

?

2,

?可设p( x) ? x3 ? 2x2 ? ax ? b(其中a, b为待定系数)

又?lim p( x) ? 1, x x?0
? p( x) ? x3 ? 2x2 ? ax ? b ~ x ( x ? 0)

从而得 b ? 0, a ? 1. 故 p( x) ? x3 ? 2x2 ? x

? x ?1, x ? 1

例6

讨论f

(x)

?

?

? ??cos

?x
2

,

x

?

的连续性. 1

解 将f ( x)改写成

?1 ? x, x ? ?1

f

(x)

?

???cos ?

?x 2

,

?1?

x

?

1

?? x ? 1, x ? 1

显然f ( x)在(??,?1),(?1,1),(1,??)内连续.

当x ? ?1时,

lim
x??1?

f (x) ?

lim (1 ?
x??1?

x) ?

2. ? lim x??1?

f (x) ?

lim
x??1?

f (x)

lim f ( x) ? lim cos ?x ? 0. 故f ( x)在x ? ?1间断.

x??1?

x??1?

2

当x ? 1时,

?x

lim f ( x) ? lim cos ? 0.

x?1?

x?1?

2

? lim f ( x) ? lim f ( x)

x?1?

x?1?

lim f ( x) ? lim( x ? 1) ? 0. 故f ( x)在x ? 1连续.

x?1?

x?1?

? f ( x)在(??,?1) ? (?1,??)连续.

例7 设f ( x)在闭区间[0,1]上连续,且f (0) ? f (1),

证明必有一点? ?[0,1]使得f (? ? 1) ? f (? ).

2

证明 令 F ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x),

2

则 F ( x)在[0, 1]上连续. 2

? F (0) ? f (1) ? f (0), 2

F (1) ? f (1) ? f (1),

2

2

讨论: 若F (0) ? 0, 则 ? ? 0, f (0 ? 1) ? f (0);
2

若F (1) ? 0, 则 ? ? 1 , f (1 ? 1) ? f (1);

2

2

22 2

若F (0) ? 0, F (1) ? 0, 则 2

F (0) ? F (1) ? ? [ f (1) ? f (0)]2 ? 0.

2

2

由零点定理知,

?? ? (0, 1),使F (? ) ? 0.
2

即 f (? ? 1) ? f (? )成立.
2
综上, 必有一点? ?[0, 1] ? [0,1],
2
使 f (? ? 1) ? f (? ) 成立.
2


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