高中数学第一章三角函数1.4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式浅议诱导公式的推广素材北师大版必修4

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浅议诱导公式的推广
对于绝对值大于 2π 的角的三角函数求值, 能否直接套一个公式得出结果?要想解决这 个问题,下面首先对诱导公式进行扩展,供同学们参考。 一、kπ ±α (k∈Z)的诱导公式 ⒈象限的参数式集合 设 α ∈(0,

? ),由图 1 易知, 2
y

奇π -α 偶π +α 偶π O x 奇π +α 偶 偶π -α π半 πα 第一象限的角的集合为: {β |β =2kπ +α ,k∈Z}={β |β =偶 π +α } 第二象限的角的集合为: {β |β =(2k+1)π -α ,k∈Z}={β |β =奇 π -α } 第三象限的角的集合为: {β |β =(2k+1)π +α ,k∈Z}={β |β =奇 π +α } 第四象限的角的集合为: {β |β =2kπ -α ,k∈Z}={β |β =偶 π -α } ⒉诱导公式的扩展 sin(偶 π +α )=sinα , cos(偶 π +α )=cosα , tan(偶 π +α )=tanα , sin(奇 π -α )=sinα , cos(奇 π -α )=-cosα , tan(奇 π -α )=-tanα , sin(奇 π +α )=-sinα ,cos(奇 π +α )=-cosα , tan(奇 π +α )=tanα , sin(偶 π -α )=-sinα ,cos(偶 π -α )=cosα , tan(偶 π -α )=-tanα 。 说明:①这一组公式可由诱导公式一二四轻松得出,其中正切诱导公式可由正、余弦公 式用商数关系得出。②将 α 当 锐角看,则由公式左边角的象限确定公式右边的符号,这就 . 叫“符号看象限”。 二、±半 π ±α 的诱导公式
1

奇π

⒈所在象限 设 α ∈(0,

? ),由图 2,则 2

? 2

y

? -α 是第一象限的角; 2 ? +α 是第二象限的角; 2
3? ? - -α (或 -α )是第三象限的角; 2 2
-

? +α 2
-

? -α 2

? O ? x -α - + α 2 偶 2
π -? ? 3 ? ( ) 2 2 半 πα

3? ? +α (或 +α )是第四象限的角。 2 2

⒉诱导公式的扩展 sin(

? ? ? -α )=cosα , cos( -α )=sinα ,tan( -α )=cotα , 2 2 2 ? ? ? +α )=cosα , cos( +α )=-sinα , tan( +α )=-cotα , 2 2 2
? ? ? -α )=-cosα ,cos(- -α )=-sinα , tan(- -α )=cotα , 2 2 2 ? ? ? +α )=-cosα ,cos(- +α )=sinα , tan(- +α )=-cotα 。 2 2 2

sin(

sin(-

sin(-

推导举例:sin(-

? ? ? -α )=sin[-π +( -α )]=-sin( -α )=-cosα , 2 2 2

cos(

? ? ? +α )=cos[π -( -α )]=-cos( -α )=-sinα , 2 2 2
3? ? ? +α )=tan[2π -( -α )]=-tan( -α )=-cotα 。 2 2 2

tan(

说明:对于任意角求三角函数值,可先用诱导公式一化为 0~2π 间的角,再用这组公式 求值。用公式时,α 当 锐角看。 . 从两套公式可看出, 对 kπ ±α (k∈Z)的三角函数值, 得 α 的同名函数值; 对±

?
2

±α

的三角函数值,得 α 的余名函数值。然后再加上一个把 α 当锐角看时原函数值的符号,概 括为“半变整不变,符号看象限”。 三、典题例示: 例 1 化简 sin(-

2007? )。 4

2

解法一:(常规方法)sin(-

2007? 2007? )=-sin( ) 5 5

=-sin(400π +

7? 2? 2? 2? )=-sin(π + )=-(-sin )=sin 5 5 5 5 2007? 2? 2? )=sin(-401π )=sin 5 5 5

解法二:(扩展方法 1) sin(-

点评:①常规方法是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
利用诱导公式 任意负角的 三角函数 利用诱导 公式一 0~2π 的角的 三角函数 利用诱导公式 二或四或五 锐角的 三角函数 三或一 任意正角的 三角函数

也就是“负化正,大化小,化到锐角就行”。 ②扩展方法是把角一步化到“整 π ±α ”形式,直接确定符号,其难点在于化简较常 规方法要难。一般地,当角的绝对值大于 2π 时用此法较快。 ③三角函数的化简需将结果化成锐角的三角函数,是特殊角的要求出函数值。 例 2 若 sinα 是方程 6x=2-

x 的根,求

cos(? ? 7? ) tan(6? ? ? ) 的值。 7? cos( ? ? ) cot(3? ? ? ) 2

分析:将 α 当锐角看,α -7π =-7π +α 是第三象限角,6π -α 是第四象限角,

7? ? =4π - 是第四象限角,3π -α 是第二象限角。 2 2
解:原式=

(? cos ? )(? tan ? ) =-tanα sin ? (? cot ? )
1 1 ,∴sinα = , 4 4

方程 6x=2- x 可变形为 6x+ x -2=0,解得 x=

α 是第一、二象限角,cosα =± 1 ? ( ) =±
2

1 4

15 15 ,tanα =± , 4 15

∴原式=-tanα =±

15 。 15

点评:将 α 当锐角看是确定象限,确定符号的关键。

3


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