2015-2016高中数学人教A版选修2-2课件 1.1 变化率与导数 第1课时《变化率问题》_图文

目标导航 1.了解函数的平均变化率的概念,会根据具体函数求出函数的平均 变化率. 2.理解瞬时速度的含义,了解并感受当Δt→0,用平均速度来逼近t0 时刻的瞬时速度的思想. 3.理解导数的概念,能利用导数的定义求某些函数的导数. 1 新知识· 预习探究 知识点一 平均变化率 f?x2?-f?x1? 1.已知函数 y=f(x),我们把式子 称为函数 y=f(x)从 x1 x2-x1 到 x2 的平均变化率.习惯上用 Δx 表示 x2-x1,即 Δx=x2-x1,可把 Δx 看作是相对于 x1 的一个“增量”,可用 x1+Δx 代替 x2;类似地,Δy Δy =f(x2)-f(x1).于是,平均变化率可以表示为 . Δx 2.求函数平均变化率通常用“两步法”:一是作差,二是作商, Δy 即先求出 Δy=f(x2)-f(x1)和 Δx=x2-x1, 再对所求得的差作商, 即得 Δx f?x2?-f?x1? = . x2-x1 【练习1】 若函数f(x)=x2-1,图象上点P(2,3)及其邻近一点 Δy Q(2+Δx,3+Δy),则 =( ) Δx A.4 B.4Δx C.4+Δx D.Δx 解析:∵Δy=(2+Δx)2-1-(22-1)=4Δx+(Δx)2, 2 Δy 4Δx+?Δx? ∴ = =4+Δx. Δx Δx 答案:C 知识点二 平均速度 1.设物体运动路程与时间的关系是s=f(t),在t0到t0+Δt这段时间 f?t0+Δt?-f?t0? Δs 内,物体运动的平均速度是 v = = Δt . Δt Δs 2.在匀速直线运动中,比值 Δt 是恒定的.在非匀速直线运动 Δs 中,比值 Δt 不是恒定的.要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物 Δs 体在每一时刻运动的快慢程度.注意结合物理学中的 Δt . 【练习2】 某物体的运动规律是s=s(t),则该物体在t到t+Δt这 段时间内的平均速度是( ) Δs s?t+Δt?-s?t? s?Δt? A. v = Δt = B. v = Δt Δt s?t+Δt?-s?Δt? s?t? C. v = t D. v = Δt 解析:由平均速度的定义可知,物体在t到t+Δt这段时间内的平 Δs 均速度是其位移改变量与时间改变量的比.所以 v = = Δt s?t+Δt?-s?t? .故选A. Δt 答案:A 2 新视点· 名师博客 1.要准确了解平均变化率的概念 (1)Δx,Δy是一个整体符号,而不是Δ与x,y相乘. (2)x1,x2是定义域内不同的两点,因此Δx≠0,但Δx可正也可 负;Δy=f(x2)-f(x1)是相应Δx=x2-x1的改变量,Δy的值可正可负,也 可为零,因此,平均变化率可正可负,也可为零. (3)注意自变量与函数值的对应关系,公式中若Δx=x2-x1,则Δy =f(x2)-f(x1);若Δx=x1-x2,则Δy=f(x1)-f(x2). (4)在平均变化率中,当x1取定值后,Δx取不同的数值时,函数的 平均变化率不一定相同;当Δx取定值后,x1取不同的数值时,函数的 平均变化率也不一定相同. 2.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线y=f(x)上任意不同的两点, Δy f?x2?-f?x1? f?x1+Δx?-f?x1? 函数y=f(x)的平均变化率 = = 为割线AB的 Δx Δx x2-x1 斜率.如下图所示. 3 新课堂· 互动探究 考点一 求函数的平均变化率 例1 求函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率, 并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值. 解析:函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为 f?x0+Δx?-f?x0? [3?x0+Δx?2+2]-?3x2 0+2? = Δx ?x0+Δx?-x0 6x0· Δx+3?Δx?2 = =6x0+3Δx. Δx 当x0=2,Δx=0.1时, 函数y=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2+3×0.1=12.3. 点评:求平均变化率的步骤: 通常用“两步”法,一作差,二作商,即: ①先求出Δx=x2-x1,再计算Δy=f(x2)-f(x1); ②对所求得的差作商,即得 Δy f?x2?-f?x1? f?x1+Δx?-f?x1? . Δx= x2-x1 = Δx 3 新课堂· 互动探究 考点一 求函数的平均变化率 例1 求函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率, 并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值. 解析:函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为 f?x0+Δx?-f?x0? [3?x0+Δx?2+2]-?3x2 0+2? = Δx ?x0+Δx?-x0 6x0· Δx+3?Δx?2 = =6x0+3Δx. Δx 当x0=2,Δx=0.1时, 函数y=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2+3×0.1=12.3. 点评:求平均变化率的步骤: 通常用“两步”法,一作差,二作商,即: ①先求出Δx=x2-x1,再计算Δy=f(x2)-f(x1); ②对所求得的差作商,即得 Δy f?x2?-f?x1? f?x1+Δx?-f?x1? . Δx= x2-x1 = Δx 变式探究1 求y=f(x)=2x2+1在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化 1 率,并求当x0=1,Δx= 时平均变化率的值. 2 解析:函数f(x)=2x2+1在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为: f?x0+Δx?-f?x0? [2?x0+Δx?2+1]-?2x2 0+1? = Δx Δx =4x0+2Δx. 1 1 当x0=1,Δx= 时,平均变化率为4×1+2× =5. 2 2 考点二 求平均速度 例2 已知某物体的运动方程为s=t2+2t(s的单位:m,t的单位: s).求

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