概率论与数理统计PPT课件第三章随机向量及其独立性小结-文档资料_图文

第三章 随机向量及其独立性
基本概念要清楚 随机向量,联合分布函数, 联合分布律,联合概率密度函数, 边缘分布函数,边缘分布律,边缘概率密度, 随机变量的独立性 随机向量函数的分布,极大极小值的分布

一 二维随机向量的联合分布函数
对于随机向量(X,Y),称 记 F ( x, y) ? P{( X ? x) ? (Y ? y)}? P( X ? x,Y ? y)
为(X,Y)的联合概率分布函数, 简称联合分布(joint distribution).

分布函数的性质

F(x, y) ? P{X ? x,Y ? y}

(1) F ( x, y) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任意

固定的 y, 当 x2 ? x1 时 F ( x2 , y) ? F ( x1, y),
对于任意固定的x,当y2 ? y1时F( x, y2 ) ? F( x, y1 ).
(2) 0 ? F ( x, y) ? 1, 且

对于任意固定的 y, F(??, y) ? lim F(x, y) ? 0 x???
对于任意固定的 x, F( x,??) ? lim F( x, y) ? 0 y???

F(??,??) ? lim F( x, y) ? 1 x??? y???

(3) 对于x 和y,F(x, y)都是右连续的,即对 任意的实数x0和y0,均有

lim
x ? x0?

F(x,

y)=F(x0

,

y)

lim F(
y ? y0?

x,

y

)=F(x,

y0

)

(4) 对于任意( x1, y1 ),( x2 , y2 ), x1 ? x2 , y1 ? y2 ,

有 F ( x2 , y2 ) ? F ( x2 , y1 ) ? F ( x1, y1 ) ? F ( x1, y2 ) ? 0.

二维随机向量的边缘分布函数
FX (x)=P{X ? x} = P{X? x, Y<+?}=F(x,+ ?) FY (y) =P{Y? y} = P{X<+?, Y? y}=F(+?, y) 分别称X的分布函数FX ( x),Y的分布函数FY ( y) 为( X ,Y )关于X和关于Y的边缘分布函数
(marginal distribution function).

两个随机变量相互独立 如果对任何实数x,y,事件{X ? x}与{Y ? y}独立. 则称随机变量X,Y独立. 对任何x,y
P(X ? x,Y ? y) ? P(X ? x)P(Y ? y)
? F(x, y) ? FX (x)FY ( y)

多个随机变量的独立性
设X1, X2 ,?, Xn,?是随机变量. (1)若对于所有的x1, x2 ,?, xn 有
P( X1 ? x1 , X 2 ? x2 ,?, X n ? xn ) ? P( X1 ? x1 )P( X 2 ? x2 )? P( X n ? xn )
则称 X1, X2 ,?, Xn 是相互独立的. 如果对任何n, X1, X 2 ,?, X n 相互独立,就称随机 变量序列{ X j } ? { X1 , X 2 ,?, X n ,?}相互独立.
此时称{Xj}是独立序列(independent sequence).

定理1 设X1, X2 ,?, Xn相互独立. (1)对于数集A1, A2, , An ,事件
{ X1 ? A1},{ X2 ? A2 },?,{ Xn ? An }
相互独立.
(2)对于一元函数g1(x), g2 (x), , gn (x),随机变量 Y1 ? g1( X1),Y2 ? g2 ( X 2 ), ,Yn ? gn ( X n )相互独立.
(3)对于k元函数?(x1, x2, , xk ),随机变量 ?( X1, X 2, , X k ), X k?1, X k?2, , X n相互独立.

n 维随机向量 (1) 定义 称X = (X1, X2, …, Xn) 是n维随机向量,
也简称随机向量,其中X1, X2, …, Xn都是 随机变量. (2)设X = (X1, X2, …, Xn ) 是随机向量, 称n元函数
F( x1, x2 ,?, xn ) ? P{X1 ? x1, X2 ? x2 ,?, Xn ? xn }
其中 x1, x2 ,?, xn 为任意实数.
为X =(X1, X2, …, Xn )的联合分布函数, 简称联 合分布.

(3)设FXi (xi )为 n 维随机向量 ( X1, X 2, , X n ) 关于 Xi 的边缘分布函数,i ? 1, 2, , n.
则 X1 , X 2 ,?, X n 相互独立的充分必要条件是 F ( x1 , x2 ,?, xn ) ? FX1 ( x1 )FX2 ( x2 )?FXn ( xn )

二 二维离散型随机向量及其分布
定义 若二维随机变量(X,Y)全部可能取到 的不相同的值是有限对或可列无穷多对, 则 称(X,Y)为二维离散型随机变量.

联合分布律
设二维离散型随机向量( X ,Y )的所有可能取
的值为( xi , y j ), i ? 1,2,?, j ? 1,2,?.
记P{ X ? xi ,Y ? y j } ? pij , i ? 1,2,?, j ? 1,2,?.
称上式为随机向量 ( X,Y ) 的分布律,或随机 变量X和Y的联合分布律.
性质 (1) pi j ? 0, i, j ? 1,2,?
? (2) pi j ? 1
i, j

二维随机向量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为

X Y
y1 y2 ?
yj ?

x1

x2 ? xi

?

p11 p21 ? pi1 ?

p12 p22 ? pi 2 ?

??

?

p1 j p2 j ? pij ?

??

?

边缘分布律
设离散型随机向量( X ,Y )的联合分布律为 P{ X ? xi ,Y ? y j } ? pij , i, j ? 1,2,?.
?
? 记 pi ? pij ? P{ X ? xi }, i ? 1,2,?, j ?1
?
? p j ? pij ? P{Y ? y j }, j ? 1,2,?, i ?1
分别称 pi (i ? 1,2,?) 和 p j ( j ? 1,2,?) 为 ( X ,Y ) 关于 X 和关于Y 的边缘分布律.

X Y

x1 x2 ? xi ?

y1

p11 p21 ? pi1 ?

y2

p12 p22 ? pi 2 ?

?

??

?

yj

p1 j p2 j ? pij ?

?

??

?

?

?

? ? P{ X ? xi } ? pij , i ? 1,2,?; P{Y ? y j } ? pij , j ? 1,2,?.

j ?1

i ?1

二维离散型随机向量的独立性 若离散型随机向量 ( X,Y )的联合分布律为
P{ X ? xi ,Y ? yj } ? P{ X ? xi } P{Y ? yj }
X 和Y 相互独立
? P{X ? xi ,Y ? y j} ? P{X ? xi}P{Y ? y j} 对任意的实数xi , y j. 两个离散型随机变量相互独立时,它们 的联合分布律等于两个边缘分布律的乘积 .

三 连续型随机向量及其联合密度

定义 设 (X ,Y ) 是随机向量,如果有R2上的非负

可积函数 f (x, y), 使对R2上的所有长方形子集

y

D ? {(x, y) | a ? x ? b, c ? y ? d}

(x, y)



o

x

P((X ,Y ) ? D) ? ??D f (x, y)dxdy

则称 (X ,Y ) 是连续型随机变量, 称 f (x, y)是 (X ,Y )

的联合概率密度, 或联合密度 (joint density).

性质 (1)对R 2上的所有子区域B, 有
P(( X ,Y )? B) ? ??B f ( x, y)dxdy
?? (2) f ( x, y)dxdy ? P(( X ,Y ) ? R2 ) ? 1. R2

边缘密度 设 f ( x, y)是随机向量( X ,Y )的概率密度,
称X ,Y各自的概率密度为f ( x, y)或( X ,Y )的 边缘密度(m arg inal density).

?

? fX (x) ?

f (x, y)dy
??

?

? fY ( y) ?

(x, y)dx
??

联合分布与联合密度

定理 设( X ,Y )有连续的分布函数F (x, y), 定义

f

( x,

y)

?

? ? ?

?2F (x, ?x?y

y)

,当该混合偏导数存在

?? 0,

其他

定理 设X ,Y分别具有概率密度fX (x), fY ( y). 则X ,Y独立的充分必要条件是随机向量( X ,Y ) 有联合密度f (x, y)
f (x, y) ? fX (x) fY ( y) 几乎处处成立.

两个常用的二维随机向量

1.二维均匀分布

设D为平面上的区域, 面积 m(D)?(0,?),

若 (X,Y)的联合密度为

f

(

x,

y)

?

?? ?

D的1面积,( x,

y)

?

D

?? 0 ,

其它

则称(X,Y)在D上服从均匀分布.

2.二维正态分布
设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为

f (x, y) ?

1

2?σ1σ2 1 ? ρ2

?

? exp?
?

?1 2(1 ? ρ

2

)

?( ??

x

? μ1 )2 σ12

?



(x

?

μ1 )( y σ1 σ2

?

μ2

)

?

(

y

? μ2 σ 22

)2

? ??

? ? ? x ? ??, ? ? ? y ? ??,

其中 μ1, μ2 , σ1, σ2 , ρ 都是常数,且 σ1 ? 0, σ2 ? 0,?1 ? ρ ? 1.
称(X ,Y )服从二维正态分布.

记做( X ,Y ) ~ N (?1,?2;?12,? 22;? ).

结论 1

二元正态分布的边缘分 布是一元正态分布.

? ? 即若? X, Y ?~ N

?1,

?2,

?12,

?

2,
2

?

,

则有

? ? ? ? X ~ N ?1, ?12 ,

Y~N

?2,

?

2 2

结论 2

上述的两个边缘分布中的参数与二元正态
分布中的常数 ? 无关.

结论3

结论2表明:如果

? ? ? ? X1, Y1

~N

?1,

?2,

?12,

?

2,
2

?1

? ? ?

X


2

Y2

?

~

N

?1,

?2,

?12,

?

2,
2

?

2

(其中?1 ? ?2 ),

则 ? X1, Y1?



?

X


2

Y2

?

的分布不相同,

但是 X1 与 X2 的分布相同,Y1 与Y2 的分布相同.
这表明,一般来讲,不能由边缘分布求出联合分布.

结论4若二维随机变量 (X , Y ) 服从正态分布
N (?1, ?2 ,?12,,? 22,? ). 则 X 与Y 相互独立的
充分必要条件是? = 0

n维连续型随机向量
定义 设X ? ( X1, X 2, , X n )是随机向量,如果有 Rn上的非负可积函数f (x1, x2, , xn ), 使得对Rn的 任何子立方体
D ? {(x1, x2, , xn ) | ai ? xi ? bi , i ? 1, 2 , n} 有

?? ? P(X ? D) ?

D f (x1, x2, , xn ) dx1dx2 dxn

就称X 是连续型随机变量,并称f (x1, x2, , xn )是X

的联合概率密度,简称联合密度或概率密度.

对R n的任何子集B, 有
?? ? P( X ? B) ? ? B f ( x1, x2 ,?, xn ) dx1dx2 ?dxn
?? ?? Rn f ( x1, x2 ,?, xn ) dx1dx2 ?dxn ? 1

定理

设对每个i(1

?

i

?

n),随机变量X


i

概率密度f Xi (xi ).则X1, X 2 ,

,

X

相互独立的
n

充分必要条件是随机向量X ? ( X1, X 2 , , X n )

有联合密度

f X1 (x1) f X2 (x2 )

f Xn (xn ), (x1, x2 , , xn ) ? Rn.

四 两个随机变量函数的分布
(1) 离散型随机向量(X,Y)的函数的分布

2 连续型随机向量函数的概率分布
(1).已知(X,Y)~ f(x,y),求Z = ?(X,Y)的概率分布. FZ (z) ? P{Z ? z} ? P{?( X ,Y ) ? z}
? ?? f ( x, y)dxdy ?( x, y)?z
若Z为连续型随机变量,则在f(z)的连续点处
fZ (z) ? FZ '(z)

两个随机变量和的概率密度的一般公式

?
? fZ (z) ? ?? f ( x, z ? x)dx

?

? fZ (z) ?

f (z ? y, y)dy
??

若X和Y独立, (X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为

fX(x) , fY(y) , 则

?
? fZ (z) ? ?? f X ( x) fY (z ? x)dx

?
? fZ (z) ? ?? f X (z ? y) fY ( y)dy

如果随机变量 X 与Y 相互独立,且

? ? X

~

N

?


1

?

2 1

Z ? X ?Y,

? ? Y

~

N

?


2

?

2 2

? ? 则

Z~N

?

1?

?


2

?12

?

?

2 2

如果随机变量

X1,

X


2

, X n 相互独立,且

? ? Xi

~

N

?


i

?

2 i

?i ? 1, 2, ?, n?

令: Z ? X1 ? X2 ? ? Xn

? ? 则 Z ~ N ?1 ? ?2 ?

?

?n,

?12

?

?

2 2

?

?

?

2 n

五 极大极小值的分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量,
它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y), 求 M=max(X,Y) 及 N=min(X,Y)的分布函数.
FM(z) = FX(z) FY(z)
FN(z) = 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

推广
设 X1, X2,?, Xn 是 n 个相互独立的随机变 量,它们的分布函数分别为 FXi ( xi ) ( i ? 1,2,?,n) 则M ? max(X1, X2 ,?, Xn )及N ? min( X1, X2 ,?, Xn ) 的分布函数分别为
Fmax (z) ? FX1 (z) ? FX2 (z)?FXn (z),
Fmin (z) ? 1 ? [1 ? FX1 (z)][1 ? FX2 (z)]?[1 ? FXn (z)].



X1,

X2

,?,

X

相互独立且具有相同的分布
n

函数F ( x) ,则

Fmax(z) ? [F (z)]n ,

Fmin (z) ? 1 ? [1 ? F (z)]n .

例1 设随机变量X与Y相互独立,X服从泊松分布

P(1),Y服从泊松分布 P(2) ,则P(X+Y=2)= 解: 因为
X P(1), Y P(2)



X ? Y P(3),

故P( X ? Y ? 2) ? 32 e?3 ? 9 e?3

2!

2

例2 设随机变量X与Y相互独立,且具有相同的

概率密度

? x2
f (x) ? ae 2 , (?? ? x ? ?)

求P( X 2 ? Y 2 ? 4)

解: 先求a
可得

? 因为 ? f (x)dx ? 1 ?? a? 1 2?

由X 与Y相互独立可得,X 与Y的联合概率密度为

1 ?1(x2 ? y2 ) f (x, y) ? e 2
2?

因此

? P( X 2 ? Y 2 ? 4) ?

1 ?1(x2 ? y2 )

e2

dxdy

2? x2 ? y2 ?4

? 1-e?2


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