山西省孝义市2018届高三下学期名校最新高考模拟卷(一)数学(文)试题 Word版含答案

山西省孝义市 2018 届高三下学期名校最新高考模拟卷(一) 数学(理)试题
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4? ,若 A ? ?1,3? , B ? ?3? ,则 ? CU A? A. ?1, 2? B. ?1, 4? C. ?2,3?

?CU B ? 等于(
D. ?2, 4? )

)

2.若复数 z ? ?1 ? 2i ?? 2 ? i ? (其中 i 为虚数单位)在复平面中对应的点位于( A.第一象限 3.若双曲线 C : A.2 B.第二象限 C.第三象限 ) D. 2

D.第四象限

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0? 的焦距为 2 10 ,则实数 a 为( a2 6
B.4 C. 5

4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石, 验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 )

5.已知 f1 ? x ? ? x , f 2 ? x ? ? sin x , f3 ? x ? ? cos x , f 4 ? x ? ? lg x ? 1 ? x 2 ,从以上四个函数中 任意取两个相乘得到新函数,那么所得新函数为奇函数的概率为( A. ) D.

?

?

1 4

B.

1 3
)

C.

1 2

2 3

?? 1 ? 6.若 tan ? ? ? ? ? ? ,则 cos 2? 等于( 4 3 ? ?
A.

3 5

B.

1 2

C.

1 3

D. ?3

7.某几何体由上、下两部分组成,其三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成 的图形,则该几何体上部分与下部分的体积之比为( )

A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6

8.2017 年国庆期间,全国接待国内游客 7.05 亿人次,其中某 30 个景区日均实际接待人数与最

大接待人数比值依次记为 ai ? i ? 1, 2,...,30 ? ,若该比值超过 1,则称该景区“爆满”,否则称为 “不爆满”,则如图所示的程序框图的功能是( )

A.求 30 个景区的爆满率 C.求 30 个景区的爆满数

B.求 30 个景区的不爆满率 D.求 30 个景区的不爆满数

?? ? ? ? ? ? 9.已知函数 f ? x ? ? 2 cos ? 3x ? ? ? ? 3 ? ? ? ? , 若 ?x ? ? ? , ? ,f ? x ? 的图象恒在直线 y ? 3 的 2? ? ? 6 12 ?
上方,则 ? 的取值范围是(
?? ?? A. ? , ? ? 12 2 ?

)
? ?? C. ?0, ? ? 4? ? ? ?? D. ? ? , ? ? 6 3?

?? ? ? B. ? , ? ?6 3?

10.有编号依次为 1,2,3,4,5,6 的 6 名学生参加数学竞赛选拔赛,今有甲、乙、丙、丁 四位老师在猜谁将得第一名,甲猜不是 3 号就是 5 号;乙猜 6 号不可能;丙猜 2 号,3 号,4 号都不可能;丁猜是 1 号,2 号,4 号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜驿,则 猜对者是( A.甲 ) B.乙 C.丙 D.丁

11.设抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F ,准线为 l ,过 F 点的直线交抛物线 C 于 A , B 两点,过 点 A 作 l 的垂线,垂足为 E ,若 ∠AFE ? 75° ,则 AE 等于( A. 4 ? 2 3 12.已知函数 f ? x ? ? 是( A. ?1,3?
1 ?1 ? C. ? ln 2 ? 1, ln 3 ? 1? 3 ?2 ?

) D. 4 3 ? 8

B. 2 6 ? 2 2

C. 4 6 ? 2 3

ln x ? 2ax ,若有且仅有一个整数 k ,使得 f ? k ? ? 1 ,则实数 a 的取值范围 x

)
1 1 1? ?1 B. ? ln 2 ? , ln 3 ? ? 4 2 6 2? ? ?1 ? D. ? ? 1, e ? 1? ?e ?

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知 a ? ? 3, ?2m? , b ? ? m ? 1,2? , c ? ? ?2,1? ,若 a ? c ? b ,则实数 m ? ______________.

?

?

?x ? y ?1 ? 0 ? 14.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y ? 1 的最大值为______________. ?y ?1 ?

15.在边长为 2 的菱形 ABCD 中, BD ? 2 3 ,将菱形 ABCD 沿对角线 AC 对折,使 BD ? 6 , 则所得三棱锥 A ? BCD 的内切球的半径为______________.
∠ A ? 45° , 16.定义平面中没有角度大于 180° 的四边形为凸四边形, 在平面凸四边形 ABCD 中,
∠B ? 120° , AB ? 2 , AD ? 2 ,设 CD ? t ,则 t 的取值范围是______________.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知等差数列 ?an ? 的前 n n ? N * 项和为 Sn ,数列 ?bn ? 是等比数列, a1 ? 3 , b1 ? 1 ,
b2 ? S2 ? 10 , a5 ? 2b2 ? a3 .

?

?

(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;
?2 ? , n为奇数 (2)若 cn ? ? Sn ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . ?b , n为偶数 ? n

18.某餐厅通过查阅了最近 5 次食品交易会参会人数 x (万人)与餐厅所用原材料数量 y (袋), 得到如下统计表: 第一次 参会人数 x (万人) 原材料 y (袋) 13 32 第二次 9 23 第三次 8 18 第四次 10 24 第五次 12 28

(1) 根据所给 5 组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a .
?400t ? 20,0 ? t ? 36, t ? N (2) 已知购买原材料的费用 C (元)与数量 t (袋)的关系为 C ? ? , ?380t , t ? 36, t ? N

投入使用的每袋原材料相应的销售收入为 700 元,多余的原材料只能无偿返还,据悉本次交 易大会大约有 15 万人参加,根据(1)中求出的线性回归方程,预测餐厅应购买多少袋原材料, 才能获得最大利润,最大利润是多少?(注:利润 L ? 销售收入 ? 原材料费用).

参考公式: b ?

? ? x ? x ?? y ? y ? ? x y ? nx y
n n i ?1 i i

? ? xi ? x ?
i ?1

n

?

2

i ?1 n

i

i

? xi2 ? nx
i ?1

2

, a ? y ? bx .

参考数据: ? xi yi ? 1343 , ? xi2 ? 558 , ? yi2 ? 3237 .
i ?1 i ?1 i ?1

5

5

5

19.已知正方形 ABCD 的边长为 2,分别以 AB , BC 为一边在空间中作正三角形 PAB , PBC , 延长 CD 到点 E ,使 CE ? 2CD ,连接 AE , PE .

(1)证明: AE ? 平面 PAC ; (2)求点 B 到平面 PAE 的距离.

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,且点 F1 到椭圆 C 上任意一 a 2 b2 1 点的最大距离为 3,椭圆 C 的离心率为 . 2
20.已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在斜率为 ?1 的直线 l 与以线段 F1 F2 为直径的圆相交于 A 、B 两点, 与椭圆相交于 C 、

D ,且

CD AB

?

8 3 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 7

21.已知函数 f ? x ? ? e x sin x ? cos x , g ? x ? ? x cos x ? 2ex ,其中 e 是自然常数.
? ?? (1)判断函数 y ? f ? x ? 在 ? 0, ? 内零点的个数,并说明理由; ? 2? ? ?? ? ?? (2) ?x1 ? ? 0, ? , ?x2 ? ?0, ? ,使得不等式 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? m 成立,试求实数 m 的取值范围. 2 ? ? ? 2?

22.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C : x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ,直线 l : x ? y ? 4 ? 0 . (1)以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 和直线 l 的交点的极坐标;
? x ? at ? 1 (2)若点 D 为圆 C 和直线 l 交点的中点,且直线 CD 的参数方程为 ? ( t 为参数),求 a , ? y ? 2t ? b
b 的值.

23.设函数 f ? x ? ? x ?

3 1 1 ? a ,若不等式 f ? x ? ? 0 的解集为 M ,且 ? M , ? ? M . 2 2 2

(1)求实数 a 的最大值; (2)当 a ? N * 时,若不等式 x ? a ? x ? 3 ? b 有解,求实数 b 的取值范围.

名校最新高考参考答案 一、选择题 1-5:DDABC 二、填空题 13.7 三、解答题 17.解:(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,
?q ? 3 ? 3 ? d ? 10 ∵ a1 ? 3 , b1 ? 1 , b2 ? S2 ? 10 , a5 ? 2b2 ? a3 ,∴ ? , ?3 ? 4d ? 2q ? 3 ? 2d

6-10:ACBCC

11、12:DB

14.6

15. 15 ? 2 3

? 2 ? 16. ? , 3 ? 1? ? ? 2 ?

∴ d ? 2 , q ? 2 ,∴ an ? 2n ? 1 , bn ? 2n ?1 .
n ? 3 ? 2 n ? 1? 2

(2)由(1)知, Sn ?

1 ?1 , n为奇数 ? ? ? n ? n ? 2 ? ,∴ cn ? ? n n ? 2 , ?2n ?1 , n为偶数 ?

1 1 ? 1 ? 22n?1 1 ? 1 1 1 1 3 5 2 n ?1 ? ∴ Tn ? ?1 ? ? ? ? ... ? . ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 2n ? 1 ? 3 3 5

18.解:(1)由所给数据可得: x ?

13 ? 9 ? 8 ? 10 ? 12 32 ? 23 ? 18 ? 24 ? 28 ? 10.4 , y ? ? 25 , 5 5

b?

?x y
i ?1 5 i

5

i

? 5x y ? 5x
2

?x
i ?1

?

2 i

1343 ? 5 ? 10.4 ? 25 ? 2.5 , a ? y ? bx ? 25 ? 2.5 ?10.4 ? ?1 , 558 ? 5 ? 10.42

则 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 2.5x ? 1 . (2)由(1)中求出的线性回归方程知,当 x ? 15 时, y ? 36.5 ,即预计需要原材料 36.5 袋,
?400t ? 20,0 ? t ? 36, t ? N 因为 C ? ? ,所以当 t ? 36 时, ?380t , t ? 36, t ? N

利润 L ? 700t ? ? 400t ? 20? ? 300t ? 20 ,当 t ? 35 时, Lmax ? 300 ? 35 ? 20 ? 10480 ; 当 t ? 36 时,利润 L ? 700 ? 36.5 ? 380t ,当 t ? 36 时, Lmax ? 700 ? 36.5 ? 380 ? 36 ? 11870 . 综上所述,餐厅应该购买 36 袋原材料,才能使利润获得最大,最大利润为 11870 元. 19.解:(1)连接 BD 交 AC 于点 O ,并连接 OP ,则 OA ? OB ? OC ,又∵ PC ? PA ,

∴ PO ? AC ,又∵ △POB ≌△POC ,∴ ∠POB ? ∠POC ? 90° ,∴ PO ? BD , ∵ OB
OC ? O ,∴ PO ? 平面 ABCD ,∵ AE ? 平面 ABCD ,∴ PO ? AE ,

∵ AD ? CD , AD ? DE ? CD ,∴ ∠EAD ? ∠CAD ? 45° ,∴ ∠EAC ? 90° , 即 AE ? AC ,∵ PO
AC ? O ,∴ AE ? 平面 PAC .

(2)由题知, AB ∥DE ,且 AB ? DE ,可得四边形 ABDE 为平行四边形,∴ BD∥ AE , 又∵ BD ? 平面 PAE ,∴ BD ∥平面 PAE ,∵点 O ? BD ,∴点 B 到平面 PAE 的距离等于 O 点 到平面 PAE 的距离,取 AP 的中点为 F ,连接 OF ,则由(1)可得 OF ? AE . 在 Rt△ ABC 中, PO ? PB2 ? BO2 ? 22 ?

? 2?

2

? 2 ,则 PO ? AO ,∴ OF ? PA ,∴ OF ?

平面 PAE ,即 OF 为点 O 到平面 PAE 的距离.

1 在 Rt△POA 中, OF ? PA ? 1 ,得点 B 到平面 PAE 的距离为 1. 2
?a ? c ? 3 ? 20.解:(1)设 F1 , F2 的坐标分别为 ? ?c,0? , ? c,0 ? ,根据椭圆的几何性质可得 ? c 1 ,解得 ? ? ?a 2
a ? 2 , c ? 1 ,则 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

(2)假设存在斜率为 ?1 的直线 l ,那么可设为 y ? ? x ? m ,则由(1)知 F1 , F2 的坐标分别为

? ?1,0? , ?1,0? ,可得以线段 F1 F2 为直径的圆为 x2 ? y2 ? 1 ,圆心 ? 0,0 ? 到直线 l 的距离
d? m 2 ? 1 ,得 m ? 2 ,

AB ? 2 1 ? d 2 ? 2 1 ?

m2 ? 2 ? 2 ? m2 , 2

? x2 y 2 ?1 ? ? 联立 ? 4 得 7 x2 ? 8mx ? 4m2 ? 12 ? 0 ,设 C ? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ? , 3 ? y ? ?x ? m ?

则 ? ? ?8m? ? 4 ? 7 4m2 ? 12 ? 336 ? 48m2 ? 48 7 ? m2 ? 0 ,
2

?

?

?

?

得 m2 ? 7 , x1 ? x2 ?

8m 4m2 ? 12 , x1 x2 ? , 7 7
2

4m2 ? 12 336 ? 48m2 4 6 8 3 8 3 ? 8m ? CD ? 2 x1 ? x2 ? 2 ? ? ? 4 ? ? 2 ? ? ? 7 ? m2 ? AB ? ? 2? 2?m ? 7 7 49 7 7 7 ? ?

3 1 解得 m2 ? ? 2 ,得 m ? ? . 3 3

即存在符合条件的直线 l : y ? ? x ?

3 . 3

? ?? 21.解:(1)函数 y ? f ? x ? 在 ? 0, ? 上的零点的个数为 1,理由如下: ? 2?

因为 f ? x ? ? e x sin x ? cos x ,所以 f ' ? x ? ? ex sin x ? e x cos x ? sin x , 因为 0 ? x ?

?
2

? ?? ,所以 f ' ? x ? ? 0 ,所以函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增. ? 2?

? ? ?? ?? ? 因为 f ? 0 ? ? ?1 ? 0 , f ? ? ? e 2 ? 0 ,根据函数零点存在性定理得函数 y ? f ? x ? 在 ? 0, ? 上存 ? 2? ?2?

在 1 个零点. (2)因为不等式 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? m 等价于 f ? x1 ? ? m ? g ? x2 ? ,
? ?? ? ?? 所以 ?x1 ? ? 0, ? , ?x2 ? ?0, ? ,使得不等式 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? m 成立,等价于 2 ? ? ? 2?

f ? x1 ?min ? ? m ? g ? x2 ? ?min ,即 f ? x1 ?min ? m ? g ? x2 ?max ,
? ?? ? ?? 当 x ? ? 0, ? 时, f ' ? x ? ? ex sin x ? ex cos x ? sin x ? 0 ,故 f ? x ? 在区间 ?0, ? 上单调递增, ? 2? ? 2?

所以当 x ? 0 时, f ? x ? 取得最小值 ?1 ,又 g ' ? x ? ? cos x ? x sin x ? 2ex ,
? ?? ? ?? 0 ? cos x ? 1 , x sin x ? 0 , 2e x ? 2 , 当 x ? ? 0, ? 时, 所以 g ' ? x ? ? 0 , 故函数 g ? x ? 在区间 ?0, ? ? 2? ? 2?

上单调递减. 因此,当 x ? 0 时, g ? x ? 取得最大值 ? 2 ,所以 ?1 ? m ? ? 2 ,所以 m ? ? 2 ? 1 , 所以实数 m 的取值范围为 ??, ?1 ? 2 . 22.解:(1)由题可知,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,直线 l 的极坐标方程为

?

?

?

?

? cos ? ? ? sin ? ? 4 ,由
?? ? 2 2 ?? ? 4 ? ? ? 4sin ? ? ? ?? ? , 可得 或 可得圆 C 和直线 l 的交点的极坐标为 ? 4, ? 和 ? ? ? ? ? , ? cos ? ? ? sin ? ? 4 ?? ? 2? ? ?? ? ? ? 2 ? 4

?? ? 点 ? 2 2, ? . 4? ?
(2)由(1)知圆 C 和直线 l 的交点在平面直角坐标系中的坐标为 ? 0, 4 ? 和 ? 2, 2, ? , 那么点 D 的坐标

? x ? at ? 1 为 ?1,3? ,又点 C 的坐标为 ? 0, 2 ? ,所以直线 CD 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,把 ? (t 为 ? y ? 2t ? b ?a ? 2 ? 0 参数)代入 x ? y ? 2 ? 0 ,可得 ? a ? 2? t ? 3 ? b ? 0 ,则 ? ,即 a ? 2 , b ? 3 . ?3 ? b ? 0
?1? 23.解:(1)由题可知, f ? ? ? 0 , ?2?

?1 ? a ? 0 ? 1? f ? ? ? ? 0 ,可得不等式组 ? ,解得 1 ? a ? 2 ,故 ? 2? ?2 ? a ? 0

实数 a 的最大值为 2. (2)由(1)得 1 ? a ? 2 , 那么当 a ? N * 时,a ? 2 可得不等式 x ? a ? x ? 3 ? b 为 x ? 2 ? x ? 3 ? b , 根据绝对值不等式的性质可知 x ? 2 ? x ? 3 的最大值为,因此,若不等式 x ? a ? x ? 3 ? b 有 解,则 b ? 1 ,故实数 b 的取值范围为 ? ??,1? .


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