衡水中学2009-2010第二学期调研考试高一数学(文)试卷

衡水中学 2009-2010 学年度第二学期二调考试 高一年级数学试卷(文科)
学#科#网]

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正 确答案的序号填在答题卡上) 1. ( A.3 等 ) B.-3 C.2 D.-2 差 数 列
{an }





a3 ? 7 , a7 ? ? 5,







d

=

2.若一条斜线段的长度是它在平面内的射影长度的 2 倍,则该斜线与平面所成的角为 ( ) A. 6 0
0
[来源:学科网]

B. 4 5

0

C. 3 0

0

D. 1 2 0

0

3.M 是两异面直线所成角的集合,N 是线面角所成角的集合,P 是二面角的平面角的集合, 则 M、N、P 三者之间的关系为 A. M ? N ? P B. M ? N ? P C. M ? N ? P D. M ? N ? P ( )

4.如图,在正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中,E、F、G、H 分别为中点,则异面直线
E F 与 G H 所成的角等于(

) C. 9 0
' 0

A. 4 5

0

B. 6 0

0

D. 1 2 0
' '

0

5. 已 知 ? A B C 的 平 面 直 观 图 ? A B C 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形 , 则 ? A B C 的 面 积 为 ( ) A. 2 3 B. 3 C. 2 6 D. 4 6

6.若直线 a 不平行于平面 ? ,则下列结论成立的是 A. ? 内的所有直线都与直线 a 异面 C. ? 内的直线都与 a 相交 B. ? 内不存在与 a 平行的直线 D.直线 a 与平面 ? 有公共点





7.如图为一个几何体的三视图, 侧视图与正视图均为矩形, 俯视图为正三角形,尺寸如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A. 3 B. 4 3 C. 3 3 D. 6 3

8. ABCD 是正方形,P 是平面 ABCD 外一点,PD⊥AD,PD=AD=2, 二面角 P—AD—C 为 6 0 ,则 P 到 A B 的距离是
0





A. 2 2 9.函数 y ?
x ?5
2

B. 3 的最小值为
17 4

C. 2

D. 7 (
5 2 5 4



x ? 4
2

A.2

B.

C.

D.

10.给出下列命题, 正确的是 ①一条直线与另一条直线平行,它就和经过另一条直线的的任何平面平行 ②一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的所有直线平行 ③经过两条异面直线 a、b 外一点,必有一个平面与 a、b 都平行 ④经过两条异面直线中的一条,有且只有一个平面平行于另一条直线 A.③④ B.①④ C.④ D.①③④





11.设有直线 m、n 和平面 ? 、? ,则下列说法中正确的是 A.若 m // n , m ? ? , n ? ? ,则 ? // ? C.若 m // n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ?





B.若 m ? ? , m ? n , n ? ? ,则 ? // ? D.若 m // n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ?

n ?1 n 12. 已知等比数列 { a n } 前 n 项和 S n ? 3 ? a ,数列 { b n } 的通项公式为 b n ? a ,{ b n } 的前

n 项和为 ( A. ?
3 4 [1 ? ( ? 3 ) ]
n



B. ?

3 4

[1 ? ( ? 3 )

n ?1

]

C.

a (1 ? a )
n

1? a

D. ? n

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,共 20 分, 把答案填在答题纸的横线上)

13.一个正方体各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为 4 3 ? ,则该正方体的表面积 为__________. 1 4.已知 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 3 ? 9 的最小值为__________.
x y

0 15.在直棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中,底面为直角三角形, ? A C B ? 9 0 ,且 A C ? B C ? A A1 ,

则 B C 1 与面 A C C 1 A1 所成的角为_________. 16. 已知 { a n } 是等差数列, a 2 ? a 4 ? a 6 ? a 8 ? 1 6 , 求 S 9 ? _______. 三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在 答题纸的相应位置上) 17.(本小题 10 分)已知数列 { a n } , a 1 ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 4 , 求 { a n } 的通项公式.

[来源:学科网 ZXXK]

18. 如 图 , 在 四 棱 锥 O ? A B C D中 , 底 面 A B C D 四 边 长 为 1 的 菱 形 , ? A B C ?

?
3

,

O A ? 底 面 A B C D , O A ? 2 , M 为 O A 的中点, N 为 B C 的中点,求异面直线 OC 与 MN

所成角的余弦值.

O M A B N C D

19. (本小题共 12 分)正四棱柱 A B C D ? A 1 B 1C 1 D 1 中,底面边 长为 2 2 ,侧棱长为 4. (1)求证:平面 A B 1 C ? 平面 B D D 1 B 1 ; (2)求 D 1 到面 A B 1 C 的距离; C (3)求三棱锥 D 1 ? A C B 1 的体积 V. C1

B1 D1

A1

B D

A

20. (本小题 12 分)已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 1, n ? 2 时,

an a n ?1

?

2 ? 3an a n ?1 ? 2

.

(1)求证:数列 {

1 an

} 为等差数列; (2)求 {

3

n

} 的前 n 项和.

an

P 21. 本小题 12 分) 图在三棱锥 P ? A B C 中, A ? 底面 A B C , A ? P B , ? A B C ? 6 0 , ( 如 P
0

点 D、E 分别在棱 P B , P C 上,且 D E // B C . (1)求证: B C ? 平面 P A C ; (2)当 D 为 P B 的中点时,求 AD 与平面 P A C 所成的角的正弦值; (3)是否存在点 E 使得二面角 A ? D E ? P 为直二面角?说明理由.

[来源:学科网]

22.(本小题 12 分)在棱长为 a 的正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中,E、F 分别为棱 AB 和 BC 的 中点,EF 与 BD 交于点 G. (1)求二面角 B 1 ? E F ? B 的正切值; (2) 为棱 B B 1 上的一点, 当 M
B1 M MB

的值为多少时能使 D 1 M ? 平面 E F B 1 ?试给出证明。

参考答案:
BABBC DBDCC CA 13.24 14.6 15. 4 5
0

16.36

n ?1 17.构造等比数列易得 a n ? 5 ? 2 ? 4 .

18.解: 连结 A C , B D 交与点 E , 连结 M E , N E , ? NME 则

即为所求. M E ?

5 2

,N E ?

1 2



MN ?
学科网 ZXXK]

1 ?(
2

3 2

)

2

?

7 2

,由余弦定理知 c o s ? N M E ?

MN

2

? ME

2

? NE

2

2?MN ?ME

?

11 70

35 .

[来源:

19.(1)证明:? B D ? A C , B B 1 ? A C , B D ? B B 1 ? B ,? A C ? 平面 B D D 1 B 1 , 又因为 A C ? 平面 B 1 E F ,所以平面 A B 1 C ? 平面 B D D 1 B 1 ; ( 2 ) 连 结 AC 、 BD 交 与点 O , 连 结 B 1 O . 过 点 D 1 作 D 1 H ? B 1 O , 则 D 1 H 即 为 所 求. D 1 H ?
8 5 1 3 S ?AB C ? D1 H ?
1

5 . 1 1 ? ?4?2 3 2 5? 8 5 5 ? 32 3

(3) V ?

.

20. (1) 证明: 由已知

an a n ?1

?

2 ? 3an a n ?1 ? 2

. 整理可得 a n ? 1 ? a n ? 2 a n ? 1 a n ( n ? 2 ) , 同时除以 a n a n ? 1

可得

1 an

?

1 a n ?1

? 2 ,所以 {

1 an

} 为首项为

1 a1

? 1 ,公差为 2 的等差数列.

(2)解:由(1)可知,

1 an

? 1 ? 2 ( n ? 1) ? 2 n ? 1 ,所以

3

n

? ( 2 n ? 1)3 ,
n

an
n

S n ? 1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ( 2 n ? 1) ? 3
2 2 3


n ?1

3 S n ? 1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ( 2 n ? 1) ? 3


n ?1

①-②得

? 2 S n ? 3 ? 2 ? ( 3 ? 3 ? ? ? 3 ) ? ( 2 n ? 1) ? 3
2 3 n

? (2 ? 2 n) ? 3

n ?1

?6

n ?1 所以得 S n ? ( n ? 1) 3 ? 3

22. 解: (1)在底面 ABCD 中,? A C ? B D , E F // A C ,? B G ? E F , 连结 B 1 G . 又? B B 1 ? A B C D ,? B 1 G ? E F . 则 ? B 1 G B 是二面角 B 1 ? E F ? B 的平面角,
1 4 2 4

BG ?

BD ?

a , ta n ? B 1 G B ?

B1 B BG

? 2

2 .

(2)当

B1 M MB

? 1 时满足题意。

证 明 : D 1 A 1 ? 面 A B 1 , 知 D 1 M 在 面 A B 1 的 射 影 是 A 1 M , ? ? A1 M B ? ? B 1 E B ,
? A1 M ? B 1 E ,即 D 1 M ? B 1 E .因为 D D 1 ? 平面 A B C D ,所以 B D 为 D 1 M 在平面 A B C D

内射影,连结 AC,因为 E、F 为中点,所以 AC//EF,又因为 BD ? EF,所以 D 1 M ? E F 。又因为
B 1E ? EF ? E


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