高中数学湘教版选修1-1同步练习:2.4 圆锥曲线的应用 含答案

1.已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另 3 外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( A.2 3 B.6 C.4 3 D.12 ). x2 2 2.P 是双曲线 - =1 上一点,F1,F2 是双曲线的两个焦点,且|PF1|=17,则|PF2|的 64 36 值是( A.33 ). B.16 C.10 D.8 x2 y2 3.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,已知灯口直径 是 60 cm,灯深是 40 cm,则光源到反光镜顶点的距离是( A.11.25 cm C.20 cm B.5.625 cm D.10 cm 2 ). 4.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是 x =2y(0≤y≤20),在杯内放一个 玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径 r 的范围为( A.0<r≤1 C.0<r≤2 B.0<r<1 D.0<r<2 ). 5 .如图,南北方向的公路 l,A 地在公路的正东 2 km 处,B 地在 A 地东偏北 30°方向 2 3 km 处,河流沿岸 PQ(曲线)上任一点到公路 l 和到 A 地的距离相等,现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头 ,向 A,B 两地转运 货物,经测算从 M 到 A,M 到 B 修建公路的费用均为 a 万元 /km,那么修建这两条公路的总费用最低是( ). A.(2+ 3)a 万元 C.5a 万元 B.2( 3+1)a 万元 D.6a 万元 6.如图所 示,花坛水池中央有一喷泉,水管 O′P=1 m,水从喷头 P 喷出后呈抛物线 状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面 2 m,P 距抛物线的对 称轴 1 m,则水池的直径 至少应设计为__________m.(精确到 1 m) 7.如图,已知椭圆 x + 2y =98 及点 P(0, 5),则点 P 到椭圆的最大距离及最小距离的和 是__________. 2 2 参考答案 1.C (数形结合)由椭圆的定义知椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得 △ABC 的周长为 4a=4 3,所以选 C. 2.A 在双曲线 - =1 中,a=8,b=6,故 c=10. 64 36 由 P 是双曲线上一点 , 得||PF1|-|PF2||=16. ∴|PF2|=1,或|PF2|=33. 由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,得|PF2|=33. 3.B 建立如图所示的坐标系,设 y = 2px(p> 0),由题意,得点 A(40,30) 在抛物线 2 x2 y2 上,代入,得 p=11.25. 故 |OF| = 错误!未找到引用源。 5.625(cm). = 5.625(cm) , 故 光 源 到 反 光 镜 顶 点 的 距 离 即 为 4.A 设玻璃球的球心 O′(0,r),O(x,y)为抛物线上一点, 则|OO′|= x +(y-r) = 2y+y -2ry+r = [y-(r-1)] +2r-1. ∵y≥0,∴当 y=0 时,|OO′|为最小, 故 r-1≤0,∴0<r≤1. 5.C 建立如图所示的直角坐标系,连 接 AB ,分别过点 M , B , A 作直线 MM′⊥l, 2 2 2 2 2 BB′⊥l,AA′⊥l,垂足分别为 M′,B′,A′,过点 B 作 BB1⊥AA′,垂足为 B1. 由已知,可得 |AB1|=|AB|·cos 30° = =3(km). 错误!未找到引用源。 又|AA′|=2 km,可得|BB′|=3+2=5(km). 由抛物线的定义,可得|AM|=|MM′|. ∴修路费用为(|AM|+|MB|)a=(|MM′|+|MB|)a≥|BB′|a=5a(万元),故选 C. 6.5 如图所示,建立平面直角坐标系,设抛物线的方程为 x =-2py(p>0),依题意, 有 P′(1,-1)在此抛物线上,代入得 p= ,故得抛物线的方程为 x = 错误!未找到引用源。 -y. 2 2 又 B 在抛物线上,将 B(x,-2)代入抛物线的方程,得 x=错误!未找到引用源。, 即|AB|=错误!未找到引用源。,则水池的半径应为|AB|+1=错误!未找到引用源。+ 1. 因此所求水池的直径为 2(1+错误!未找到引用源。),约为 5 m,即 水池的直径至少应 设计为 5 m. 7.2(1+ 37) 解析一:∵0 +2×5 <98, 2 2 ∴点 P(0,5)在椭圆内部. 设以 P(0,5)为圆心和椭圆相切的圆的方程为 x2+(y-5)2=r2.① 把椭圆方程 x +2y =98 代入①,得 r =-(y+5) +148(-7≤y≤7). ∴当 y=-5 时,rmax =148,即 rmax=2 37, 当 y=7 时,r 2 min 2 2 2 2 2 =4,即 rmin=2.故点 P 到椭圆的最大距离为 2 37,最小距离为 2. ∴其和为 2(1+ 37). 解析二:设点 M(x,y)为椭圆上任一点,则 x +2y =98, 可得|PM|= x +(y-5) = 98-2y +(y-5) = -y -10y+123= -(y+5) +148. 又∵-7≤y≤7,∴y=-5 时,有|PM|max= 148=2 37, 2 2 2 2 2 2 2 2 y=7 时,有|PM|min= -(7+5)2+148=2. 故点 P 到椭圆的最大距离为 2 37,最小距离为 2.其和为 2(1+ 37).

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