2019版高考数学一轮复习专题五圆锥曲线的综合及应用问题第2课时配套课件理


第2课时 题型 1 圆锥曲线中的定点问题 作为高考的一个热点,从考纲的要求以及全国各省高考命 题的趋势来看,圆锥曲线背景下的定点与定值问题要引起我们 的高度重视,特别是和向量、不等式的结合.关于定点与定值问 题,一般来说从两个方面来解决:(1)从特殊入手,求出定点或 定值,再证明这个点或值与变量无关;(2)直接推理、计算,并 在计算的过程中消去变量,从而得到定点或定值. x2 y2 例 1:(2017 年新课标Ⅰ)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0), 四点 ? P1(1,1),P2(0,1),P3?-1, ? ? 3? 3? ?,P4?1, ?中恰有三点在椭 2? 2? ? 圆 C 上. (1)求 C 的方程; (2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点. (1)解:由于 P3,P4 两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过 P3,P4 两点. 1 1 1 3 又由a2+b2>a2+4b2知,C 不经过点 P1, 所以点 P2 在 C 上. ?1 ?b2=1, 因此? ? 12+ 3 2=1, ?a 4b 2 ? ?a =4, 解得? 2 ? ?b =1. x2 2 故 C 的方程为 4 +y =1. (2)证明:设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2, 如果直线 l 与 x 轴垂直, 设 l: x=t, 由题设知 t≠0 且|t|<2, 可得 A,B ? 的坐标分别为? ?t, ? 2? ? 4-t2? 4 - t ? ? ? , t ,- ? ?, 2 ? 2 ? ? ? 4-t2-2 4-t2+2 则 k1+k2= - =-1,得 t=2,不符合 2t 2t 题设. x2 2 从而设 l:y=kx+m(m≠1),将 y=kx+m 代入 4 +y =1, 得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 由题设可知 Δ=16(4k2-m2+1)>0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4m2-4 8km 则 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 . 4k +1 4k +1 y 1 - 1 y 2 -1 而 k1+k2= x + x 1 2 kx1+m-1 kx2+m-1 = + x1 x2 2kx1x2+?m-1??x1+x2? = . x1 x2 由题设 k1+k2=-1, 故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 4m2-4 -8km 即(2k+1)· 2 +(m-1)· 2 =0. 4k +1 4k +1 m+1 由 m≠1,解得 k=- 2 . 当且仅当 m>-1 时,Δ>0. m+1 m+1 于是 l:y=- 2 x+m,即 y+1=- 2 (x-2), 所以直线 l 过定点(2,-1). 【互动探究】 1.(2017 年新课标Ⅱ)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: x2 2 →= + y = 1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N ,点 P 满足 NP 2 →. 2NM (1)求点 P 的轨迹方程; →· → =1.证明:过点 P (2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且OP PQ 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. (1)解:设 P(x,y),M(x0,y0), → =(x-x0,y),NM → =(0,y0). 则 N(x0,0),NP 2 → → 由NP= 2NM,得 x0=x,y0= 2 y. x2 y2 因为

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