2012北京市一模理:集合、简易逻辑与函数

2012 北京市高三一模数学理分类汇编 1: 集合、简易逻辑与函数
【2012 北京市丰台区一模理】 1.已知集合 A ? {x | x ? 1}, B ? {a} ,若 A ? B ? ? ,则 a 的取值范围是(
2



A. (??, ?1) ? (1, ??) B. ? ??, ?1? ? ?1, ?? ? C. (-1,1) 【答案】B 【2012 房山区一模理】 1. ( 已 知 ) (A) 1 【答案】C 【2012 北京市海淀区一模理】 (1)已知集合 A = (A) - 1 (B) 2 (C) 1或2 (D) 集 合 D.[-1,1]

M ? ?a, 0? , N ? x 2 x 2 ? 5 x ? 0, x ? Z , 如果M ? N ? ?, 则a等于

?

?

5 2

{x x > 1}, B = {x x < m},且 A ? B =
(B) 0 (C)1

R ,那么 m 的值可以是
(D) 2

【答案】D 【2012 年北京市西城区高三一模理】 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x |

1 ? 1} ,则 ?U A ? ( x



(A) (0,1) (B) (0,1] (C) (??,0] ? (1, ??) (D) (??,0) ? [1, ??) 【答案】C 【解析】 A ? {x

1 ? 1} ? {x 0 ? x ? 1} ,所以 CU A ? {x x ? 0或x ? 1} ,选 C. x

【2012 北京市门头沟区一模理】已知全集 U ? R ,集合 A ? x x ? 3 x ? 4 ? 0 ,
2

?

?

B ? ? x x ? ?2或x ? 3? ,则集合 A? U B 等于
(A) x ?2 ? x ? 4 (C) x ?1 ? x ? 3 【答案】C 【2012 北京市石景山区一模理】

?

?

(B) x ?2 ? x ? ?1 (D) x 3 ? x ? 4

?

?

?

?

?

?

-1-

1.设集合 M ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? {x | log 1 x ? 0} ,则 M ? N 等于(
2



2

A. (?1,1) 【答案】B

B. (1,3)

C. (0,1)

D. (?1,0)

【解析】 M ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ? {x | ?1 ? x ? 3} , N ? {x | log 1 x ? 0} ? {x | x ? 1} ,
2

2

所以

M ? N ? {x 1 ? x ? 3}

,答案选 B.

【2012 北京市石景山区一模理】14.集合

U ? ?( x, y ) | x ? R, y ? R?, M ? ?( x, y ) | x ? y ? a?, P ? ?( x, y) | y ? f ( x)?,
现给出下列函数:① y ? a ,② y = loga x ,③ y ? sin( x ? a) ,④ y ? cos ax ,
x

若 0 ? a ? 1 时,恒有 P ? CU M ? P, 则所有满足条件的函数 f (x) 的编号是 【答案】①②④ 【解析】由 P ? CU M ? P, 可知



M ? P ? ? ,画出相应的图象可知,①②④满足条件。
??1,x ? M , 对于两个集合 M,N,定义集合 ?1, x ? M .

【2012 北京市海淀区一模理】 (20)(本小题满分 14 分) 对 于 集 合 M , 定 义 函 数 f M ( x) ? ?

M ?N ? {x f M (x ) f N x ? ? 1} ? ( ) . 已知 A = {2, 4,6,8,10} , B = {1, 2, 4,8,16} .
(Ⅰ)写出 f A (1) 和 f B (1) 的值,并用列举法写出集合 A?B ; (Ⅱ) Card(M)表示有限集合 M 所含元素的个数, Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的最小值; 用 求 (Ⅲ)有多少个集合对(P,Q) ,满足 P, Q ? A ? B ,且 ( P?A)?(Q?B) ? A?B ? 【答案】解: (Ⅰ) f A (1)=1 , f B (1)= - 1 , A?B ? {1,6,10,16} . ?????3 分 ( Ⅱ ) 根 据 题 意 可 知 : 对 于 集 合 C, X , ① 若 a ? C 且 a ? X , 则

C a r d ( ? X } a ( ? C { ?) C a ? ( r (d ? C{? X }

C ? r d )C 1X a ( ? ; ② ) a?. (C ?



a? C d1 C



a? X





a )r

X

所以 要使 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的值最小,2,4,8 一定属于集合 X ;1,6,10,16 是否属于 X 不影响 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的值;集合 X 不能含有 A ? B 之外的元素.

-2-

所以 当 X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时, Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 取到 最小值 4. (Ⅲ)因为 A?B ? {x f A ( x) ? f B ( x) ? ?1} , 所以 A?B ? B?A . 由定义可知: f A?B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) . 所以 对任意元素 x , f ( A?B ) ?C ( x) ? f A?B ( x) ? fC ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? f C ( x) , ???????????????8 分

f A? ( B?C ) ( x) ? f A ( x) ? f B?C ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? fC ( x) .
所以 f ( A?B ) ?C ( x) ? f A? ( B?C ) ( x) . 所以 ( A?B)?C ? A?( B?C ) . 由 ( P?A)?(Q?B) ? A?B 知: ( P?Q)?( A?B) ? A?B . 所以 ( P?Q)?( A?B)?( A?B) ? ( A?B)?( A?B) . 所以 P?Q?? ? ? . 所以 P?Q ? ? ,即 P = Q . 因为 P, Q ? A ? B , 所以 满足题意的集合对(P,Q)的个数为 27 ? 128 . 【2012 北京市丰台区一模理】 7. 已知 a ? b , 函数 f ( x) ? sin x, g ( x) ? cos x. 命题 p : f (a) ? f (b) ? 0 , 命题 q : g ( x)在(a, b) 内有最值,则命题 p 是命题 q 成立的 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A 【2012 北京市东城区一模理】 (2)若集合 A ? {0 , m } , B ? {1 , 2} ,则“ m ? 1 ”是“ A ? B ? {0 , 1 , 2} ”的
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】A 【2012 北京市东城区一模理】

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

-3-

(9)命题“ ?x0 ? (0, ), tan x0 ? sin x0 ”的否定是 【答案】 ?x ? (0, ), tan x ? sin x 【2012 北京市丰台区一模理】

? 2

.

? 2

8.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,若
3

函数 g ( x) ? f ( x) ? log a | x | 至少有 6 个零点,则 a ( A. a ? 5或a ? )

1 5

C. a ? [ , ] ? [5, 7] 【答案】D 【2012 北京市海淀区一模理】

1 1 7 5

1 5 1 1 D. a ? [ , ] ? [5, 7] 7 5

B. a ? (0, ) ? ?5, ?? ?

?? x 2 ? ax, x ? 1, (7)已知函数 f ( x) ? ? 若 ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实 x ? 1, ?ax ? 1,
数 a 的取值范围是 (A) a < 2 (C) - 2 < a < 2 【答案】A 【2012 年北京市西城区高三一模理】 6.若 a ? log 2 3 , b ? log3 2 , c ? log 4 6 ,则下列结论正确的是( (A) b ? a ? c (B) a ? b ? c (C) c ? b ? a (D) b ? c ? a 【答案】D 【解析】 0 ? log 3 2 ? 1 , log 2 3 ? log 4 9 ? log 4 6 ? 1 所以 b ? c ? a ,选 D。 【2012 年北京市西城区高三一模理】 ) (B) a > 2 (D) a > 2 或 a < - 2

?x 2 , 0 ? x ? c, ? 13. 已知函数 f ( x) ? ? 其中 c ? 0 .那么 f ( x) 的零点是_____;若 f ( x) 2 ? x ? x, ? 2 ? x ? 0, ?
1

的值域是 [ ?

1 , 2] ,则 c 的取值范围是_____. 4

【答案】 ?1 和 0 , (0, 4] 【解析】当 0 ? x ? c 时,由 x 2 ? 0 得, x ? 0 。当 ? 2 ? x ? 0 时,由 x 2 ? x ? 0 ,得 x ? ?1 ,
1

-4-

所以函数零点为 ?1 和 0 。当 0 ? x ? c 时, f ( x) ? x 2 ,所以 0 ? f ( x) ?

c ,当 ? 2 ? x ? 0 , 1 1 1 1 所以此时 ? ? f ( x) ? 2 。 f ( x) 的值域是 [ ? , 2] , 若 则有, f ( x) ? x 2 ? x ? ( x ? ) 2 ? , 2 4 4 4 c ? 2 ,即 0 ? c ? 4 ,即 c 的取值范围是 (0,4] 。 1 1 【2012 北京市门头沟区一模理】14.给出定义:若 m ? ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 2 2
叫离实数 x 最近的整数,记作 ? x ? ? m ,已知 f ( x ) ? ? x ? ? x ,下列四个命题: ①函数 f ( x) 的定义域为 R ,值域为 ? 0, ? ; 2 ③函数 f ( x) 是周期函数,最小正周期为 1; 其中正确的命题是 .

1

? 1? ? ?

②函数 f ( x) 是 R 上的增函数; ④函数 f ( x) 是偶函数,

【答案】①③④ 【2012 北京市朝阳区一模理】 6.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x? R , 都有 f ( x ? 2) ? f ( x ) .当

0 ? x ? 1时, f ( x) ? x 2 .若直线 y ? x ? a 与函数 y ? f ( x) 的图象在 [0, 2] 内恰有两个不
同的公共点,则实数 a 的值是 A. 0 B. 0 或 ?

1 2

C. ?

1 1 或? 4 2

D. 0 或 ?

1 4

【答案】D 【2012 北京市朝阳区一模理】 . 某工厂生产的 A 种产品进入某商场销售,商场为吸引厂家第一年免收管理费,因此第一 年 A 种产品定价为每件 70 元,年销售量为 11.8 万件. 从第二年开始,商场对 A 种产品 征收销售额的 x% 的管理费(即销售 100 元要征收 x 元),于是该产品定价每件比第一年 增加了

70 ? x% 元,预计年销售量减少 x 万件,要使第二年商场在 A 种产品经营中收取的 1 ? x%
C. 8.8 D. 10

管理费不少于 14 万元,则 x 的取值范围是 A. 2 B. 6.5 【答案】D 【2012 北京市朝阳区一模理】

? 1 x 3 x ? 2, ?( ) ? , 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 有两个不同的零点,则实 4 ? log 2 x, 0 ? x ? 2. ?
数 k 的取值范围是 【答案】 ( ,1) 【2012 北京市东城区一模理】 .

3 4

-5-

(8)已知函数 f ( x) ? ?

? 2? x ? 1, ? f ( x ? 1),

x ? 0, x ? 0.

若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的实数根,

则实数 a 的取值范围是 (A) ? ??,1? 【答案】A 【2012 北京市石景山区一模理】 (B) ? ?? ,1? (C) ? 0 ,1? (D) ? 0 , ? ? ?

1 ? ? x ? a, x ? , ? ? 2 的最小值为 ,则实数 的取值范围是 12.设函数 f ( x) ? ? a ?1 1 ? log x, x ? 2 ? ? 2
【答案】 a ? ?



1 2

【解析】因为当 x ?

1 1 时, log 2 x ? ?1 ,所以要使函数的最小值 ? 1 ,则必须有当 x ? 时, 2 2 1 f ( x) ? ? x ? a ? ?1 , 又 函 数 f ( x) ? ? x ? a 单 调 递 减 , 所 以 f ( x) ? ? ? a 所 以 由 2 1 1 ? ? a ? ?1 得 a ? ? 。 2 2

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