2014-2015学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期第二次阶段考试数学(理)试题_图文

2014-2015 学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期第二次阶段考试 理科数学试题

答题时间:120 分钟 满分:150 分
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1、命题“存在 x0 ? R, 2 A.不存在 x0 ? R, 2 0 >0
x x0

? 0”的否定是.
B.存在 x0 ? R, 2
x0

?0
x

C.对任意的 x 0 ? R , 2

x0

?0

D.对任意的 x 0 ? R , 2 0 >0

2 、已知函数 y ? f ( x), x ? R ,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? f (n), n ? N * ,那么“函数 ,是“数列 ?an ? 为单调递增数列”的 y ? f ( x) 在 [1, ??) 单调递增” A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

3、 已知命题 p1 : 存在 x0 ? R , 使得 x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 成立;p2 : 对任意的 x ? ?1, 2? ,x 2 ? 1 ? 0. 以下命题为真命题的是 A. ?p1 ? ?p2 B. p1 ? ?p2 C. ?p1 ? p2 D. p1 ? p2

4、已知 ?an ? 为等差数列,a1 ? a3 ? a5 ? 105, a2 ? a4 ? a6 ? 99. 以 S n 表示 ?an ? 的前 n 项和, 则是 S n 达到最大值的 n 是 A. 21 5、双曲线 B. 20 C. 19 D. 18

x2 ? y 2 ? 1 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 点 P 在 双 曲 线 上 , 且 满 足 3

| PF1 | ? | PF2 |? 2 5 ,则 PF1 F2 的面积为
A.

1 2

B. 1

C.

3

D.

5

6、若 a ? 0 ? b ? ? a , c ? d ? 0 ,则下列命题成立的个数为 ① ad ? bc ;② A.1

a b ? ? 0 ;③ a ? c ? b ? d ;④ a (d ? c) ? b(d ? c) 。 d c
B.2 C.3 D.4

7、若数列 ?an ? 的通项公式 an ?

2n ? 5 , n ? N * ,数列 ?bn ? 满足 bn ? (an ? 1)(an ?1 ? 1) ,则 2n ? 7

?bn ? 的前 10 项和为

A. ?

12 5

B. ?

8 5
2

C. ?

7 12

D. ?

8 15

8、已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,直线 AB 经过抛物线的焦点为 F ,则 ?AOB 的可能值 为 A.

?
2

B.

2? 3

C.

3? 4

D.

5? 6

x2 y 2 9、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,若椭圆上存在一点 P , a b
满足线段 PF2 相切于以椭圆的短轴为直径的圆, 切点为线段 PF2 的中点, 则该椭圆的离心率 为 A.

5 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

5 9

?x ? y ?1 ? 0 9 y ? 18 x ? 2 ? 10、已知实数 x、y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 的最小值为 ? x ? 2 y ? 2 ? y ? ?1 ?
A.





13 2

B.

37 2

C.

1 2

D. 2

? an ? , 当an为偶数时, a1 ? m ,m 为正整数,an ?1 ? ? 2 11、已知数列 ?an ? 满足: 若 a6 ? 1 , ?3a ? 1,当a 为奇数时. n ? n
则 m 所有可能的取值为( A. ) C.

?4,5?

B.
2

?4,32?

?4,5,32?

D.

?5,32?

12、直线 l 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,且交抛物线于 A, B 两点,交其准线于 C 点, 已知 | AF |? 4, CB ? 3BF ,则 p ? A.2 B.

4 3

C.

8 3

D. 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13、已知向量 a ? (2,?1,3), b ? (?4,2, x) ,若 a / / b ,则 x ? ______. 14、 F1 , F2 分别是双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的两个焦点,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线,若这条直 m

线和双曲线的一个交点为 A,满足 | AF2 |?| F1 F2 | ,则 m 的值为_______________. 15 、设 S n 是正项数列 ?an ? 的前 n 项和,且 an 和 S n 满足 4 S n ? (an ? 1) 2 (n ? 1, 2,3

), 则

S n ? _________ .
16、已知实数 a , b , c 满足 a 2 ? b 2 ?

1 c ? 1 ,则 a ? b ? c 的最小值是 4

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17、(本小题满分 10 分) 如图 1, O 的直径 AB ? 4 , 点 C、D 为 为 BC 的中点,沿直径 AB 折起,使两个 圆所在平面互相垂直。 (1)求证: OF / / 面 ACD ; (2)求二面角 A ? CD ? B 的大小。

?CAB =45?,?DAB =60?, F O 上任意两点,


18、(本小题满分 12 分) 数列 {an } ( n ? N * )的前 n 项和 S n 满足 S n ? n 2 ? 2n ? 1 . (1)求 an ; (2)设 bn ? an ? 2n ( n ? N * )的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

19、(本小题满分 12 分) 抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴正半轴上,抛物线上一点的横坐标为 2,且该点到焦点的 距离为 2. (1)求抛物线的标准方程; (2)与圆 x ? ( y ? 1) ? 1 相切的直线 l : y ? kx ? t 交抛物线于不同的两点 M 、N ,若抛物
2 2

线上一点 C 满足 OC ? ? (OM ? ON )(? ? 0) ,求 ? 的取值范围。 20、(本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60 ? ,四边形 BDEF 是 矩形,平面 BDEF⊥平面 ABCD,BF=3,H 是 CF 的中点.

(1)求证:AC⊥平面 BDEF;

(2)求直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值; 21、(本小题满分 12 分) 已知点 A(?1, 0) 、 B (1, 0) ,动点 P 满足: ?APB ? 2? ,且 PA ? PB cos 2 ? ? 1. ( P 不在 线段 AB 上) (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点 P 、 Q ,试问直线 PQ 是否经过定点,若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.

22、(本小题满分 12 分) 已知动直线 l 与椭圆 C: ?

x2 3

y2 ? 1 交于 P ? x1 , y1 ? 、 Q ? x2 , y2 ? 两不同点,且△ OPQ 的面 2

积 S ?OPQ =

6 ,其中 O 为坐标原点. 2

(1)证明 x12 ? x2 2 和 y12 ? y2 2 均为定值; (2)椭圆 C 上是否存在点 D、E、G ,使得 S ?ODE ? S ?ODG ? S ?OEG ? △ DEG 的形状;若不存在,请说明理由.

6 ?若存在,判断 2

2014—2015 学年度上学期第二次阶段测试高二数学科(理科)答案

5、

已知 ?an ? 为等差数列,a1 ? a3 ? a5 ? 105, a2 ? a4 ? a6 ? 99. 以 S n 表示 ?an ? 的前 n 项和,则 是 S n 达到最大值的 n 是( A. 21 5、双曲线 B. 20 ) B C. 19 D. 18

x2 ? y 2 ? 1 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 点 P 在 双 曲 线 上 , 且 满 足 3
)B D.

| PF1 | ? | PF2 |? 2 5 ,则 PF1 F2 的面积为(
A.

1 2

B. 1

C.

3

5

6、若 a ? 0 ? b ? ? a , c ? d ? 0 ,则下列命题成立的个数为 C ① ad ? bc ;② A.1

a b ? ? 0 ;③ a ? c ? b ? d ;④ a (d ? c) ? b(d ? c) 。 d c
B.2 C.3 D.4

7、若数列 ?an ? 的通项公式 an ?

2n ? 5 , n ? N * ,数列 ?bn ? 满足 bn ? (an ? 1)(an ?1 ? 1) ,则 2n ? 7

?bn ? 的前 10 项和为(
A. ?

)D

12 5

B. ?

8 5
2

C. ?

7 12

D. ?

8 15

8、已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,直线 AB 经过抛物线的焦点为 F ,则 ?AOB 的可能值 为 ( )B

A.

?
2

B.

2? 3

C.

3? 4

D.

5? 6

x2 y 2 10、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,若椭圆上存在一点 P , a b
满足线段 PF2 相切于以椭圆的短轴为直径的圆, 切点为线段 PF2 的中点, 则该椭圆的离心率 为( A. )A

5 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

5 9

?x ? y ?1 ? 0 9 y ? 18 x ? 2 ? 10、已知实数 x、y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 的最小值为 ? x?2 y?2 ? y ? ?1 ?



)A

A.

13 2

B.

37 2

C.

1 2

D.2

? an ? , 当an为偶数时, 12、已知数列 ?an ? 满足: 若 a6 ? 1 , a1 ? m ,m 为正整数,an ?1 ? ? 2 ?3a ? 1,当a 为奇数时. n ? n
则 m 所有可能的取值为( A. )C C.

?4,5?

B.

?4,32?
2

?4,5,32?

D.

?5,32?

12、直线 l 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,且交抛物线于 A, B 两点,交其准线于 C 点, 已知 | AF |? 4, CB ? 3BF ,则 p ? A.2 B.

4 3

C.

8 3

D. 4

二、填空题 13、已知向量 a ? (2,?1,3), b ? (?4,2, x) ,若 a / / b ,则 x ? ______. ?6

y2 14、 F1 , F2 分别是双曲线 x ? ? 1 的两个焦点,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线,若这条直 m
2

线 和 双 曲 线 的 一 个 交 点 为 _______________. m ? 2 ? 2 2

A , 满 足 | AF2 |?| F1 F2 | , 则 m 的 值 为

15 、设 S n 是正项数列 ?an ? 的前 n 项和,且 an 和 S n 满足 4 S n ? (an ? 1) 2 (n ? 1, 2,3

), 则

S n ? _________ .
Sn ? n2
16、已知实数 a , b , c 满足 a 2 ? b 2 ?

1 c ? 1 ,则 a ? b ? c 的最小值是 4

. ?

1 8

三、解答题 ?CAB =45?,?DAB =60?, 17、 如图 1, O 的直径 AB ? 4 , 点 C、D 为 O 上任意两点,

F 为 BC 的中点,沿直径 AB 折起,使两个半圆所在平
面互相垂直。 (1)求证: OF / / 面 ACD ; (2)求二面角 C ? AD ? B 的大小。

18、(本小题满分 12 分) 数列 {an } ( n ? N * )的前 n 项和 S n 满足 S n ? n 2 ? 2n ? 1 .

(Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn ? an ? 2n ( n ? N * )的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 解:(Ⅰ)①当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 4 ; ?????????????2 分 ②当 n ? N * 且 n ? 2 时,

an ? S n ? S n ?1 ? (n 2 ? 2n ? 1) ? [(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ? 1] ? 2n ? 1 ?????4 分
∴ an ? ?

(n ? 1) ?4 ?2n ? 1 (n ? 2)

(Ⅱ)①当 n ? 1 时, T1 ? 8 ;当 n ? 2 时, T2 ? 28 ;??????????????6 分 ②当 n ? N * 且 n ? 3 时,

Tn ? a1 ? 21 ? a2 ? 22 ? a3 ? 23 ?
∴ 2 ? Tn ? a1 ? 22 ? a2 ? 23 ? a3 ? 24 ?

? an ?1 ? 2n ?1 ? an ? 2n ? an ?1 ? 2n ? an ? 2n ?1 ? (an ? an ?1 ) ? 2n ? an ? 2n ?1

∴ (1 ? 2) ? Tn ? a1 ? 21 ? (a2 ? a1 ) ? 22 ? (a3 ? a2 ) ? 23 ? (a4 ? a3 ) ? 24 ? ∴ (?1) ? Tn ? 8 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?
2 3 4

? 2 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n ?1

? 8 ? 22 ? 2 ? (23 ? 24 ?
? 12 ? 2 ?

? 2n ) ? (2n ? 1) ? 2 n ?1

23 (1 ? 2n ? 2 ) ? (2n ? 1) ? 2n ?1 1? 2

? 12 ? 2n ? 2 ? 24 ? n ? 2n ? 2 ? 2n ?1
∴ Tn ? n ? 2n ? 2 ? 2n ?1 ? 4 ????????????????????????10 分 由①②得, Tn ? n ? 2n ? 2 ? 2n ?1 ? 4 ( n ? N * )????????????????12 分 19、抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴正半轴上,抛物线上一点的横坐标为 2,且该点到焦 点的距离为 2. (1)求抛物线的标准方程; (2)与圆 x ? ( y ? 1) ? 1 相切的直线 l : y ? kx ? t 交抛物线于不同的两点 M 、N ,若抛物
2 2

线上一点 C 满足 OC ? ? (OM ? ON )(? ? 0) ,求 ? 的取值范围。





: (

1



x 2 ? 2 py



x ? 2时,y ?

2 p



2 p ? ?2 p 2



p ? 2 。??????????????4 分
(2) x ? 4 y
2

|1 ? t | k ?1
2

? 1? k 2 ? 2t ? t 2

(1)

? y ? kx ? t ? x 2 ? 4kx ? 4t ? 0 ? 2 ?x ? 4 y
? k2 ? t ? 0 (2)
由 ( 1 ) ( 2 ) 可 知 ,

t ? (??, ?3) ? (0, ??) ????????(6 分)

x1 ? x2 ? 4k x1 ? x2 ? ?4t ? y1 ? y2 ? 4k 2 ? 2t

C ( x, y ) M ( x1 , y1 ) N ( x2 , y2 ) ? x ? ? ( x1 ? x2 ) ?? ? y ? ? ( y1 ? y2 ) ??????????????????????????? ? ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4( y1 ? y2 ) ?? 2 ? 1? 1 4 ? 2t

?????(9 分)

1 5 ? ? 2 ? ( ,1) ? (1, ) 2 4 ??????????????????????????( 12 2 5 ?? ? ( ,1) ? (1, ) 2 2
分) 20、如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60 ? ,四边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF⊥平面 ABCD,BF=3,H 是 CF 的中点.

(Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDEF; (Ⅱ)求直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值; 【解析】 (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD . 因为平面 BDEF ? 平面 ABCD ,且四边形 BDEF 是矩形,所以 ED ? 平面 ABCD , 又因为 AC ? 平面 ABCD ,所以 ED ? AC . 因为 ED BD ? D ,所以 AC ? 平面

BDEF .
(Ⅱ) 解: 设 AC 取 EF 的中点 N , 连接 ON , 因为四边形 BDEF 是矩形, BD ? O , O, N

分别为 BD, EF 的中点,所以 ON //ED ,又因为 ED ? 平面 ABCD ,所以 ON ? 平面

ABCD ,由 AC ? BD ,得 OB, OC , ON 两两垂直.所以以 O 为原点,OB, OC , ON 所在直
线分别为 x 轴, y 轴, z 轴, 如图建立空间直角坐标系. 因为底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,

?BAD ? 60 , BF ? 3 ,
所以

A(0, ? 3, 0) , B(1, 0, 0) , D(?1, 0, 0) , E (?1, 0,3) , F (1, 0,3) , C (0, 3, 0) ,

1 3 3 H( , , ) 2 2 2 .
因为 AC ? 平面 BDEF , 所以平面 BDEF 的法向量 AC ? (0, 2 3, 0) . 设直线 DH 与平



BDEF









?





3 3 3 DH ? ( , , ) 2 2 2





3 3 3 ?0? ?2 3 ? ?0 7 2 2 sin ? ?| cos ? DH , AC ?|? ? 2 ? 7 21 DH AC ?2 3 2 , 所以直线 DH 与平 DH ? AC
7 面 BDEF 所成角的正弦值为 7 .

21、已知点 A(?1, 0) 、 B (1, 0) ,动点 P 满足:?APB ? 2? ,且 PA ? PB cos 2 ? ? 1.( P 不 在线段 AB 上) (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点 P 、 Q ,试问直线 PQ 是否经过定点,若是,求出定点坐标;若不是,说明理由. 【解析】 (1)①当点 P 在 x 轴上且在线段 AB 外时,

? ? 0 ,设 P( p, 0)


PA ? PB cos 2 ? ? 1.

可得 ( p ? 1)( p ? 1) ? 1 ∴ p ? ? 2 ∴ P (? 2, 0)

3分

②当点 P 不在 x 轴上时, 在 ?PAB 中,由余弦定理得 | AB | ?| PA | ? | PB | ?2 | PA | ? | PB | cos 2?
2 2 2

? 4 ? ( PA ? PB ) 2 ? 2 PA ? PB (1 ? cos 2? ) ? ( PA ? PB ) 2 ? 4 PA ? PB cos 2 ? ? ( PA ? PB ) 2 ? 4,

? PA ? PB ? 2 2 ? 2 ? AB ,即动点 P 在以 A、B 为两焦点的椭圆上
方程为:

x2 ? y2 ? 1( x ? ? 2 ) 2
6分

x2 综和①②可知:动点 P 的轨迹 C 的方程为: ? y2 ? 1 2
(2)显然,两直线斜率存在, 设 AP: y ? kx ? 1 , 代入椭圆方程,得 (1 ? 2k ) x ? 4kx ? 0 ,解得点 P (
2 2

?4k 1 ? 2k 2 , ) 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ,

4k k 2 ? 2 k 2 ? 2 k 2 ?1 4k , ) ? (x ? ) 同 理 得 Q( 直 线 PQ : y ? 2 2 2 2?k 2?k , 2?k 3k 2 ? k2 , 化 简 得 k 2 ?1 1 y? x? 3k 3
令 x=0,得 y ? ?

2 1 ,∴直线 PQ 过定点 (0, ? ) . 3 3

22、已知动直线 l 与椭圆 C: ?

x2 3

y2 ? 1 交于 P ? x1 , y1 ? 、 Q ? x2 , y2 ? 两不同点,且△ OPQ 2

的面积 S ?OPQ =

6 ,其中 O 为坐标原点. 2

(1)证明 x12 ? x2 2 和 y12 ? y2 2 均为定值; (2)椭圆 C 上是否存在点 D、E、G ,使得 S ?ODE ? S ?ODG ? S ?OEG ? △ DEG 的形状;若不存在,请说明理由. 【解析】 (1)当直线 l 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对称,所以 x2 ? x1 , y2 ? ? y1 因为 P ( x1 , y1 ) 在椭圆上,因此

6 ?若存在,判断 2

x12 y12 ? ?1 3 2



又因为 S ?OPQ ?

6 6 , 所以 | x1 | ? | y1 |? 2 2



由①、②得 | x1 |?

6 2 2 ? 3, y12 ? y2 ?2 ,| y1 |? 1 ,此时 x12 ? x2 2

2分

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m 由题意知 m ? 0 ,将其代入

x2 y 2 ? ? 1 ,得 (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kmx ? 3(m 2 ? 2) ? 0 3 2
2 2

2 2 2 2 其中 ? ? 36k m ? 12(2 ? 3k )( m ? 2) ? 0, 即 3k ? 2 ? m

(*)

又 x1 ? x2 ? ?

6km 3(m 2 ? 2) , x x ? 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
2 2 2

所以 | PQ |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 1 ? k ?

2 6 3k 2 ? 2 ? m 2 2 ? 3k 2

因为点 O 到直线 l 的距离为 d ?

|m| 1? k 2

所以 S ?OPQ ?

1 1 2 6 3k 2 ? 2 ? m 2 |m| | PQ | ?d ? 1? k 2 ? ? 2 2 2 2 ? 3k 1? k 2

6 | m | 3k 2 ? 2 ? m 2 ? 2 ? 3k 2

又 S ?OPQ ?

6 2 2 ,整理得 3k ? 2 ? 2m ,且符合(*)式 2
2 2

此时 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? (?
2

6km 2 3(m 2 ? 2) ) ? 2 ? ? 3, 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

2 2 2 2 2 2 y12 ? y2 ? (3 ? x12 ) ? (3 ? x2 ) ? 4 ? ( x12 ? x2 ) ? 2. 3 3 3
2 2 综上所述, x12 ? x2 ? 3; y12 ? y2 ? 2 结论成立

5分

(2)解法一: (1)当直线 l 的斜率不存在时,由(I)知 | OM |?| x1 |?

6 ,| PQ |? 2 | y1 |? 2 2

因此 | OM | ? | PQ |?

6 ?2 ? 6 2

6分

(2)椭圆 C 上不存在三点 D、E、G ,使得 S ?ODE ? S ?ODG ? S ?OEG ?

6 10 分 2 6 2

证明:假设存在 D (u , v), E ( x1 , y1 ), G ( x2 , y2 ) 满足 S ?ODE ? S ?ODG ? S ?OEG ?
2 2 由(I)得 u 2 ? x12 ? 3, u 2 ? x2 ? 3, x12 ? x2 ?3 2 2 v 2 ? y12 ? 2, v 2 ? y2 ? 2, y12 ? y2 ?2

解得 u ? x1 ? x2 ?
2 2 2

3 2 2 ; v ? y12 ? y2 ?1 2
6 中选取, v, y1 , y2 只能从 ?1 中选取 2 6 , ?1) 这四点中选取三个不同点 2

所以 u , x1 , x2 只能从 ?

因此 D、E、G 只能在 (?

而这三点的两两连线中必有一条过原点 与 S ?ODE ? S ?ODG ? S ?OEG ?

6 矛盾 2

所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D、E、G


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