芜湖一中2015—2016学年第二学期期中考试高二数学(理科)试卷

芜湖一中 2015—2016 学年第二学期期中考试 高二数学(理科)试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若复数

2 ? ai ?a ? R ? 是纯虚数, i 是虚数单位,则 a 的值是( 1? i



A.2 B.1 C.-1 D. -2 2.从一批产品中取出三件产品,设 A 表示事件“三件产品全不是次品”,B 表示事件“三件产品 全是次品”,C 表示事件“三件产品至少有一件是次品”,则下列结论正确的是( ) A.事件 A 与 C 互斥 B.任 何两个事件均互斥 C.事件 B 与 C 互斥 D.任何两个事件均不互斥 3.某品牌空调在元旦期间举行促销活动,下面的茎叶图表示某专卖店记录的 每天销售量情况(单位:台),则销售量的中位数是( ) A.13 B.14 C.15 D.16 4.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨)的几组对应数据,根据下表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为

? 的是( y ? 0.7 x ? 0.35 ,则下列结论错误 ..

) 4 5 4 B. t 的取值必定是 3.15 6 4.5

x y

3 2.5

t

A.产品的生产能耗与产量呈正相关 C.回归直线一定过点 ?4.5,3.5?

D.A 产品每多生产 1 吨,则相应的生产能耗约增加 0.7 吨 5.在平面直角坐标系 xOy 中,满足 x2 ? y 2 ? 1, x ? 0, y ? 0 的点 P( x, y ) 的集合对应的平面图形 的面积为

? 2 2 2 ; 类似 的, 在空间直角坐标系 O ? xyz 中, 满足 x ? y ? z ? 1 ,x ? 0, y ? 0, z ? 0 4
) D.

的点 P( x, y, z ) 的集合对应的空间几何体的体积为( A.

? 8

B.

? 6

C.

? 4

? 3

6.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然是错 误的,是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 7.下列说法: (1)一组数据不可能有两个纵数; (2)一组数据的方差必为正数,且方差越大,数 据的离散程度越大;(3)将一组数据中的每个数都加上同一个常数后,方差恒不变; (4)在频 率分布直方图中,每个长方形的面积等于相应小组的频率.其中错误的个数有( ) A.0 B.1 C.2 D.3
1

8.将一骰子抛掷两次,所得向上 点数分别为 m 和 n ,则函数 y ? mx2 ? nx ? 1 在 ?1 , ? ? ? 上为增 函数的概率是( ) A.

1 6

B.

1 4

C.

3 4

D.

5 6

9. 某节假日, 一校办公室要安排从一号至六号由指定的六个人参加的值班表. 要求每人值班一天, 但甲与乙不能相邻且丙与丁也不能相邻,则不同的安排方法有( )种. A.336 B.408 C. 240 D.264 10. [ n ]表示不超过 n的最大整数,若 S1=[ 1 ]+[ 2 ]+[ 3 ]=3, S2=[ 4 ]+[ 5 ]+[ 6 ]+[ 7 ]+[ 8 ]=10, S3=[ 9 ]+[ 10 ]+[ 11 ]+[ 12 ]+[ 13 ]+[ 14 ]+[ 15 ]=21,?则 Sn=( 2 A.n(n+2) B.n(n+3) C.(n+1) -1 D.n(2n+1) 1 1 11.设 a,b∈(0,+∞) ,则 a+ ,b+ ( )

)

b

a

A.都不大于 2 C.至少有一个不小于 2

B.都不小于 2 D.至少有一个不大于 2

12.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的各个 顶点与各棱的中点共 20 个点中,任取 2 点连成直线,在 这些直线中任取一条,它与对角线 BD1 垂直的概率为( A. ) . D.

27 190

B.

12 166

C.

15 166

27 166
.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.若复数 z 满足 14.
(

z ? i 2015 ? i 2016 ( i 为虚数单位) ,则 z = 2?i
.

1 ? 2)( x ? 1)5 展开式中x 2项的系数为 x

15.已知 Q ? ( x, y ) 3 x ? y ? 4, x ? 0, y ? 0 , A ? ( x, y) x ? y 若向区域 Q 内随机投入一点 P, 则 点 P 落入区域 A 的概率为 .

?

?

?

?

16. 彩票公司每天开奖一次,从 1,2,3,4 四个号码中随机开出一个作为中奖号码,开奖时如果开 出的号码与前一天相同,就要重开,直到开出与前一天不同的号码为止.如果第一天开出的号 码是 4,则第五天开出 的号码也同样是 4 的概率为 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(8 分)某城市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据,结果统计如 下: API [0,50] (50, 100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] >300

空气 轻微 轻度 中度 中度 重度 优 良 质量 污染 污染 污染 重污染 污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 (1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S(单位:元)与空气质量指数 API(记为 w)的关系式
2

为: 0,0≤w≤100, ? ? S=?4w-400,100<w≤300, ? ?2 000,w>300, 试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率; (2) 若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染.完成下面 2×2 列联表, 并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关? 非重度污染 重度污染 总计 供暖季 非供暖季 总计 100

n(ad ? bc)2 附: K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P(K 2 ? k0 )
k0

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.25 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

18.(10 分)某市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准,必须先了解全市居民日常用电量的 分布情况.现采用抽样调查的方式,获得了 n 位居 民在 2012 年的月均用电量(单位:度)数 据,样本统计结果如下图表: 分 组 [0, 10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 合 计 15 n 1 30 0.25 0.15 频 数 频 率 0.05 0.10

(1)求月均用电量的中位数与平均数估计值; (2)如果用分层抽样的方法从这 n 位 居民中抽取 8 位居民,再从这 8 位居民中选 2 位居民,那么 至少有 1 位居民月均用电量在 30 至 40 度的概率是多少? (3)用样本估计总体,把频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样) , 求月均用电量在 30 至 40 度的居民数 X 的分布列.

3

2 ? 2 ? 2 ? 19.(10 分)已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ?

3 3 2 ? 2 ? 2 ? ; sin 5 ? sin 65 ? sin 125 ? 2 2

sin 2 20? ? sin 2 80? ? sin 2 140? ?

通过观察上述三个等式的规律,请你写出对任意角度 ? 都成立的一般性的命题,并给予证明.

3 2

20. (10 分)为贯彻“激情工作,快乐生活”的理念,某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛, 比赛分初 赛和决赛两部分,为了增加节目的趣味性,初赛采用选手选—题答—题的方式进 行,每位选手最多有 5 次选答题的机会,选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛, 答对 3 题者 直接进入决赛,答错 3 题者则被淘汰,已知选手甲答题的正确率为 (1)求选手甲答题次数不超过 4 次可进入决赛的概率; (2)设选手甲在初赛中答题的个数 ? ,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望。

2 . 3

21.(10 分)某商场在五一节搞促销抽奖获积分活动,共设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中 奖率为

2 ,中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 P 0 (0 ? P 0 ? 1) ,中奖可以获得 3 分;未中 3

奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,活动结束后凭分数兑 换奖品. 7 (Ⅰ) 张三选择方案甲抽奖, 李四选择方案乙抽奖, 记他们的累计得分为 X, 若 X≤3 的概率为 , 求P 0; 9 (Ⅱ)若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖, 累计得分的数学期望较大?

4

芜湖一中 2015—2016 学年第二学期期中考试 高二数学(理科)答案 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分. 1-6、AACBBC 7-12、CDADCD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 13. 10 ; 14. ?10 ; 15.

3 7 ; 16. 4 27

三、解答题:本大题共 6 小题,共 50 分. 17. (8 分)解:(1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元” 为事件 A,由 200<S≤600,得 150<w≤250,频数为 39, 39 所以 P(A)= 100 总计 30 70 100

(2)根据题中数据得到如下列联表: 非重度污染 重度污染 供暖季 22 8 非供暖季 63 7 总计 85 15 2 100×(22×7-63×8) K2 的观测值 k= ≈4.575>3.841, 85×15×30×70 所以有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关. 18. (10 分) 解析:中位数的估计值为 30 ? 平均数的估计值为

??????8 分

0.5 ? 0.45 ? 32 ; 0.025

0.005*10*5 ? 0.010*10*15 ? 0.030*10*25 ? 0.025*10 *35 ? 0.015*10*45 ? 0.015*10*55 ? 33

19. (10 分)解:一般形式: sin ? ? sin (? ? 60 ) ? sin (? ? 120 ) ?
2 2 ? 2 ?

3 2
5

1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 120? ) 1 ? cos(2? ? 240? ) ? ? 事实上,证明一:左边 = 2 2 2
3 1 ? [cos 2? ? cos( 2? ? 120 ? ) ? cos( 2? ? 240 ? )] 2 2 3 1 ? ? ? = ? [cos 2? ? cos 2? cos 120 ? sin 2? sin 120 ? cos 2 cos 240 ? sin 2? sin 240? ] 2 2
= =

3 3 1 1 3 1 3 ? [cos2? ? cos 2? ? sin 2? ? cos 2? ? sin 2? ] = ? 右边 2 2 2 2 2 2 2
2

(将一般形式写成 sin (? ? 60 ) ? sin ? ? sin (? ? 60 ) ?
?
2 2

?

3 , 2

sin 2 (? ? 240? ) ? sin 2 (? ? 120? ) ? sin 2 ? ?
20. (10 分)

3 等均正确.) 2

因此,有

?

3

4
10 27

5

P

1 3

9 27

1 10 8 107 E? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 3 27 27 27
21. ( 本小题满分 10)解: (1)由已知得,张三中奖的概率为

2 ,李四中奖的概 率为 P 0 ,且两 3
6

人中奖与否互不影响.记“这两人累计得分 X ? 3 ”的事件为 A,则事件 A 的对立事件为

“ X ? 5 ”, 因为 P ( X ? 5) ?

2 2 7 1 ? P0 ,所以 P( A) ? 1 ? P( X ? 5) ? 1 ? ? P0 ? ,所以 P0 ? ?????4 分 3 3 9 3

(2)设张三,李四都选择甲中奖次数为 X 1 ,都选择方案已抽奖中奖次数为 X 2 ,则这两人选择方案 甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2 X1 ) ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3 X 2 ) ,由已知 可得,

2 2 4 X 1 ? B (2, ), X 2 ? B(2, P0 ), 所以 E ( X 1 ) ? 2 ? ? , E( X 2 ) ? 2 ? P 0, 3 3 3 8 E (2 X 1 ) ? , E(3 X 2 ) ? 6P 0 3
????6 分 若 E(2 X1 ) ? E(3X 2 ) ,即

8 4 ? 6 P0 ,所以 0 ? P0 ? ; 3 9

8 4 ? 6 P0 ,所以 ? P0 ? 1 ; 3 9 8 4 若 E(2 X1 ) ? E(3X 2 ) ,即 ? 6 P0 ,所以; P0 ? . 3 9 4 综上所述:当 0 ? P0 ? ,他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大; 9 4 当 ? P0 ? 1 ,他们都选择方案乙进行抽奖时,累计得分的数学期望较大; 9 4 当 P0 ? ,他们都选择方案甲或方案乙进行抽奖时,累计得分的数学期望相等. 9
若 E (2 X1 ) ? E (3 X 2 ) ,即 ????10 分

7


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