排列组合中的分组分配问题讲述_图文

排列组合中的分组分配问题 ab ac ad bc bd cd cd bd bc ad ac ab 情景引入 ? 六本不同的书,分为三组,求在下列条件 下各有多少种不同的分配方法? (1)每组两本(均分三堆) 15 (2)一组一本,一组二本,一组三本 (3)一组四本,另外两组各一本 (4)平均分给甲乙丙三人 90 60 15 难点分解 1 把abcd分成平均两组 有_____多少种分法? 2 C4 ab ac ad bc bd cd cd bd bc ad ac ab 2 C2 2 A2 3 这两个在分组时只能算一个 记住: 平均分成的组,不管 它们的顺序如何,都 是一种情况,所以分 组后要除以Amm,其中 m表示组数。 基本的分组问题 例1 六本不同的书,分为三组,求在下 列条件下各有多少种不同的分配方法? (1)每组两本(均分三堆)15 (2)一组一本,一组二本,一组三本60 (3)一组四本,另外两组各一本15 (4)平均分给甲乙丙三人90 分析: (1)分组与顺序无关,是组合问题。分组数是C62C42C22=90(种) 这90种分组实际上重复了6次。 考察以下两种分法:(1,2)(3,4)(5,6)与(3,4)(1,2)(5,6), 由于书是均匀分组的,三组的本数一样,又与顺序无关,所以这两 种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序,因 此还应取消分组的顺序,即除以组数的全排列数A33=6,所以分法 是 90/6=15(种)。 (2)先分组,方法是C61C52C33=60,那么还要不要除以A33? 我们发现,由于每组的书的本数是不一样的,因此不会出现相同的 分法,即共有 60(种) 分法。 (3)分组方法是C64*C21*C11=30(种) 其中有没有重复的分法?我们发现,其中两组的书的本数都是 一本,因此这两组有了顺序,而与四本书的那一组,由于书的本数 不一样,不可能重复。所以实际分法是C64*C21*C11/ A22=15(种)。 基本的分配的问题 1定向分配问题 例2 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人, 求在下列条件下各有多少种不同的分配方 法? (1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本. 分析:由于分配给三人,每人分几本是 一定的,属分配问题中的定向分配问题, 由分布计数原理不难解出: (1)C62*C42*C22=90(种) (2)C61*C52*C33=60(种) (3)C64*C21*C11=30(种)。 基本的分配的问题 2不定向分配问题 例3 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人, 求在下列条件下各有多少种不同的分配法? (1) 每人两本 (2) 一人一本、一人两本、一人三本 (3) 一人四本、一人一本、一人一本 (结论)解不定向分配题的一般原则:先分组后排列。 例4 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人, 每人至少一本,有多少种分法? 分析:六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”,即 书要分完,人不能空手。因此,考虑先分组,后排 列。先分组,六本书怎么分为三组呢?有三类分法 (1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各 一本,另一组四本。所以根据加法原理,分组法是 90(种)。再考虑排列。所以一共有540种不同的分 法。 基础探究 一:均分无分配对象的问题 例1:12本不同的书 (1)按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法? (2)按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法? 4 4 4 C C C 8 4 12 (1) 3 A3 2 6 2 2 C C C C 8 10 6 12 (2) 3 A3 12! 8! 4!· 8! 4!· 4! 或 1 3! 5775 2 2 2 6 C 12C 6 C 4 C 2 3 A3 二:均分有分配对象的问题 例2:6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、 丙三个人,有多少种不同的分法? 方法:先分再排法。分成的组数看成元 素的个数· (1)均分的三组看成是三个元素在三 个位置上作排列 2 C 6 (1) 2 2 C4 C2 3 A3 3 A3 2 2 2 C6 C4 C2 三:部分均分有分配对象的问题 例3 12支笔按3:3:2:2:2分给A、B、C、D、 E五个人有多少种不同的分法? 方法:先分再排法。分成的组数看成元素的个数· (2)均分的五组看成是五个元素在五个位置上作 排列 2 3 2 2 3 C C 9 C6 C4 C2 12 (2) 3 2 A3 A2 5 A5 三:部分均分无分配对象的问题 例4 六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有多少种分法 C64C21C11 A22 四.非均分组无分配对象问题 例5 6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种 不同的分法? C61C52C33 注意:非均分问题无分配对象只要按比例分完再用 乘法原理作积 五.非均分组分配对象确定问题 例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法? C61C52C33 五非均分组分配对象不固定问题 例7 六本不同的书分给甲、乙、丙3人,1人1本,1人2 本,1人3本有多少种分法? C61C52C33 A33 练习1 12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法? C CCC 4 A4 3 12 3 9 3 6 3 3 练习2 2:10本不同的书 (1)按2∶2∶2∶4分成 四堆有多少种不同的 分法? (2)按2∶2∶2∶4分给 甲、乙、丙、丁四个 人有多少种不同的分 法? (1) ( 2) C CC C 3 A3 C C C C 2 10 2 8 2 6 2 10 2 8 2 6 4 4 4 4 3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学,按下条 件,各有多少种不同的分法? (1)每人各得两本; (2)甲得一本,乙得两本,丙得

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