福建省南安一中2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)

南安一中 2014~2015 学年度下学期期末考

高二数学(理科)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生作答时,将答案答在答题 卡上,在本试卷上答题无效.本试卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?0,1,3? , B ? ?0,1, 4? ,则 (CU A) ? B 为( A. ?0,1, 2, 4? B. ?0,1,3, 4? C. ?2, 4? D. ?4? )

2. 已知命题“错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ” ,则错 误!未找到引用源。为( ) B.错误!未找到引

A.错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 用源。 ,错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 用源。 ,错误!未找到引用源。 3.函数 f ( x) ? ? A.1

D.错误!未找到引

? f ( x ? 3), x ? 1 ,则 f (?1) 的值为( ?log 2 x, x ? 1
B.2 C.3

) D.4
x

4. 若 f ( x) 为 R 上的奇函数, 满足 f ( x ? 3) ? f ( x) , 当 0 ? x ? 1 时,f ( x) ? 2 , 则 f (2015) ? ( ) A. 2 B. ?2 C. ?

1 2

D.

1 2

5.设 M ? ? x | ?2 ? x ? 2? , N ? ? y | 0 ? y ? 2? ,函数 f ( x) 的定义域为 M ,值域为 N , 则 f ( x) 的图象可以是图中的( )

1 6.已知 a ? ( ) ?2 , b ? log 5 3 , c ? log 53 ,则 a , b , c 的大小关系是( 5

1



A. a ? b ? c

B. c ? a ? b

C. a ? c ? b

D. c ? b ? a

7.给出下列命题: ①在区间 (0, ??) 上,函数 y ? x ?1 , y ? x 2 , y ? x 3 都是增函数; ②若 0 ? log 3m ? log 3n ,则 n ? m ? 1 ; ③若函数 f ( x) 是奇函数,则 f ( x) 的图象关于原点对称; ④若函数 f ( x) ? 3 ? 2 x ? 3 ,则方程 f ( x) ? 0 有 2 个实数根。
x
1

其中假命题 的个数为( ... A. 1
2

) B. 2 C. 3 D. 4

8.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 在 [0, m] 上有最大值为 3,最小值为 2,则 m 的取值范围为 ( ) A. [1, ? ?)
x

B.[0,2]

C. (??, ? 2) )

D.[1,2]

9.已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 ,则函数 y ?| f ( x) | 的图象可能是(

10.设错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。是定义在同一区间错误!未找到引 用源。上的两个函数,若函数错误!未找到引用源。在 x ? [a, b] 错误!未找到引用源。上 有两个不同的零点,则称错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。在错误!未找到 引用源。上是“关联函数”,区间错误!未找到引用源。称为“关联区间”.若错误!未 找到引用源。与错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上是“关联函数”,则错 误!未找到引用源。的取值范围为( A.错误!未找到引用源。 到引用源。
2

) B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找

D.错误!未找到引用源。

11. 若 f ( x) ? ? x ? 2ax 与 g ( x) ? A.(??,1] B. [0,1]

1 在区间[1, 2]上都是减函数, 则 a 的取值范围是 ( x?a
C.(?2, ?1) ? ( ?1,1]



D.(??, ?2) ? ( ?1,1]

12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著, 以其名命名的函数 f ( x) ? ?

?1, x ? Q 被 ?0, x ? C R Q

称为狄利克雷函数,其中 R 为实数集, Q 为有理数集,则关于函数 f ( x) 有如下四个命题: ① f ( f ( x)) ? 1 ;②函数 f ( x) 是偶函数;③任取一个不为零的有理数 T , f ( x ? T ) ? f ( x) 对 任意的 x ? R 恒成立; ④存在三个点 A( x1 , f ( x1 )) ,B ( x2 , f ( x2 )) ,C ( x3 , f ( x3 )) , 使得 ?ABC 为等边三角形. 其中真命题的个数有( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

第Ⅱ卷

非选择题(共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.函数 y ? a ? 1 (a ? 0且a ? 1) 的图象必经过定点____________.
x

14.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 [0, ??) 上是增函数,且 f (2) ? 0 ,则不等式 f (log 8 x) ? 0 的解集是____________. 15.已知条件 p : ? x || x ? a |? 3? ,条件 q : x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,且 q 是 p 的充分不必要条 件,则 a 的取值范围是____________. 16. 设函数 f ( x ) ? ?

?

?

? x ? [ x], x ? 0 , 其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数. 若方程 f ( x) ? ax ? f ( x ? 1), x ? 0

有三个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分)已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 4t 2 ? y ? 4t

( t 为参数) ,过点 A(2,1) 作平行于

??

?
4

的直线 l 与曲线 C 分别交于 B , C 两点(极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的

原点、 x 轴的正半轴重合) . (Ⅰ)写出曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求 B 、 C 两点间的距离.

18. (本题满分 12 分)已知曲线 C 的极坐标方程为 4 ? cos ? ? 9 ? sin ? ? 36 ,以极点为
2 2 2 2

平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系; (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若 P ( x, y ) 是曲线 C 上的一个动点,求 3 x ? 4 y 的最大值.

19. (本题满分 12 分)2015 年第 7 届女足世界杯在加拿大埃德蒙顿联邦体育场打响,某连锁 分店销售某种纪念品,每件纪念品的成本为 4 元,并且每件纪念品需向总店交 3 元的管理费, 预计当每件纪念品的售价为 x 元( 7 ? x ? 9 )时,一年的销售量为 ( x ? 10) 万件.
2

(Ⅰ)求该连锁分店一年的利润 L (万元)与每件纪念品的售价 x 的函数关系式 L( x) ; (Ⅱ)当每件纪念品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值.

20. (本题满分 12 分) 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数, 且对任意实数 x , 恒有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 当 x ? [0 , 2] 时, f ( x) ? 2 x ? x .
2

(Ⅰ)求证: f ( x) 是周期函数;

(Ⅱ)当 x ? [2 , 4] 时,求 f ( x) 的解析式;

(Ⅲ)计算 f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2015) .

21. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ?1 . x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ?

1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 3 5 , 若对于 ?x1 ? [1, 2] ,?x2 ? [0,1] , 12

(Ⅲ) 在 (Ⅱ) 的条件下, 设函数 g ( x) ? x 2 ? 2bx ? 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求正实数 b 的取值范围.

22. (本题满分 14 分)已知二次函数错误!未找到引用源。,其中常数错误!未找到引用源。. (Ⅰ)若任意的错误!未找到引用源。 ,都有 f ( x) ? 0 以及 f (2 ? x) ? 0 恒成立,试求实数 错误!未找到引用源。的取值范围; (Ⅱ)若对任意的错误!未找到引用源。,有错误!未找到引用源。,试求实数错误!未 找到引用源。的取值范围.

南安一中 2014~2015 学年度下学期期末考 高二数学(理科)试卷参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1 A

2 B

3 A

4 D

5 B

6 C

7 A

8 D

9 B

10 11 12 A D D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13 .

(0, 2)

14 .

{x | 0 ? x ?

1 或x ? 64} 64

15 .

[0, 2]

16. (?1, ? ] ? [ , )

1 2

1 1 4 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 ?

? x ? 4t 2 ? y ? 4t

消去参数 t 得, y ? 4 x
2

??????????????6 分

? ?x ? 2 ? ? (Ⅱ)依题意,直线的参数方程为 ? ? y ? 1? ? ?
代入抛物线方程得 (1 ?

2 t 2 (t为参数) ,???????9 分 2 t 2

2 2 2 1 t ) ? 4(2 ? t ) ,∴ t 2 ? 2t ? 7 ? 0 2 2 2
???????12 分

| BC |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 8 ? 56 ? 8
18. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 4 ? cos ? ? 9 ? sin ? ? 36 得
2 2 2 2



x2 y 2 ? ? 1; 9 4

??????????????6 分

(Ⅱ)设 P (3cos ? , 2sin ? ) ,则 3 x ? 4 y = 9 cos ? ? 8sin ? ? 145 sin(? ? ? )

?? ? R ,∴当 sin(? ? ? ) ? 1 时, 3x ? 4 y 的最大值为 145 .???12 分

19. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)该连锁分店一年的利润 L (万元)与售价 x 的函数关系式为:

L( x) ? ( x ? 7)( x ? 10) 2 , x ? [7,9] ??????????????5 分
(Ⅱ) L?( x) ? ( x ? 10) ? 2( x ? 7)( x ? 10) ? 3( x ? 10)( x ? 8) ,?????7 分
2

令 L?( x) ? 0 ,得 x ? 8 或 x ? 10 (舍去) ∵ x ? [7,8] , L?( x) ? 0 , x ? [8,9] , L?( x) ? 0 ,???????10 分 ∴ L( x) 在 x ? [7,8] 上单调递增,在 x ? [8,9] 上单调递减, ∴ L( x) max ? L(8) ? 4 ;???????????????????11 分 答:每件纪念品的售价为 8 元,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为 4 万元.??? 12 分 20. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证:∵ f ( x ? 2) ? ? f ( x) , ∴ f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x) , ∴ f ( x) 是周期为 4 的周期函数 ???????????4 分 (Ⅱ)∵ x ? [2 , 4] ,∴ x ? 2 ? [0 , 2] ∴ f ( x ? 2) ? 2( x ? 2) ? ( x ? 2) ? ? x ? 6 x ? 8 ;
2 2

又∵ T ? 4 , ∴ f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? ? f ( x) , ∴ ? f ( x) ? ? x ? 6 x ? 8 ,
2

∴ f ( x) ? x ? 6 x ? 8 , x ? [2 , 4]
2

???????????8 分

(Ⅲ) f (0) ? 0 , f (1) ? 1 , f (2) ? 0 , f (3) ? ?1 ; 又∵ T ? 4 , ∴ f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2015) ? 504 ? [ f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3)] ? 0 .?? 12 分

21. (本题满分 12 分) 解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x ? 1 ,

1 1? a ? a ? 2 ??????????2 分 x x

? f (1) ? ?2, f ?( x) ?

1 ? 1,? f ?(1) ? 0 x
????????????4 分

∴ f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ?2 (Ⅱ) f ?( x) ? ?

x 2 ? 3x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) ???????????????6 分 ?? 2 3x 3x 2

所以当 0 ? x ? 1 ,或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 (1, 2) ;单调递减区间为 (0,1), (2, ??) ?????8 分

1 时,由(Ⅱ)知函数 f ( x) 在区间 (1, 2) 上为增函数, 3 2 所以函数 f ( x) 在 ?1, 2? 上的最小值为 f (1) ? ? 3
(Ⅲ)当 a ? 若对于 ?x1 ? [1, 2], ?x2 ? [0,1] 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立 ?

2 g ( x) 在 [0,1] 上的最小值不大于 ? (*) 3 5 5 又 g ( x) ? x 2 ? 2bx ? ? ( x ? b) 2 ? b 2 ? , x ? ? 0,1? 12 12 5 ①当 0 ? b ? 1 时, g ( x) min ? g (b) ? ?b 2 ? , 12 5 2 1 由 ?b 2 ? ? ? 及 0 ? b ? 1 得, ? b ? 1 12 3 2
②当 b ? 1 时, g ( x) 在上 ? 0,1? 为减函数, g ( x) min ? g (1) ? 综上所述, b 的取值范围是 ? , ?? ? .

7 2 ? 2b ? ? , 此时 b ? 1 12 3

?1 ?2

? ?

?????????????????12 分

22. (本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)因为错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 ,

由于任意的错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。恒成立,任意的错误! 未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。恒成立, 故错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。 ,所以,错误!未找到引用源。 , 即 1 为函数错误!未找到引用源。的一个零点. ?????????2 分 因此可设错误!未找到引用源。. ∵任意的错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。恒成立,则错误!未找到引用 源。 , ∴错误!未找到引用源。 ????????????????????5 分

(Ⅱ)函数错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。 ,有错误!未找到引用源。恒成立, 即错误!未找到引用源。 ,?????????7 分 记错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。. ①当错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。时, 错误!未找到引用源。 ,与错误! 未找到引用源。矛盾;?10 分 ② 当 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 即 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 时, M ? max ? f (1), f (?1)? ? f ( ? )

b 2

?

f (1) ? f (?1)? | f (1) ? f (?1) | b ? f (? ) 2 2 |b| ? (1 ? ) 2 ? 4 恒成立, 2

∴错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。. 综上所述, b 的取值范围为错误!未找到引用源。. ?????????14 分


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