2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)-理科数学

数学(理工农医类)(湖南卷)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 湖南,理 1)复数 z=i· (1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ).

A.第一象限 C.第三象限 答案:B

B.第二象限 D.第四象限

2.(2013 湖南,理 2)某学校有男、女学生各 500 名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显 著差异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( A.抽签法 C.系统抽样法 答案:D 3.(2013 湖南,理 3)在锐角△ ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B=b,则角 A 等于( C. 答案:D 4.(2013 湖南,理 4)若变量 x,y 满足约束条件则 x+2y 的最大值是( A.答案:C 5.(2013 湖南,理 5)函数 f(x)=2ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+5 的图象的交点个数为( A.3 答案:B 6.(2013 湖南,理 6)已知 a,b 是单位向量,a· b=0,若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是( A.[-1,+1] C.[1,+1] 答案:A B.[-1,+2] D.[1,+2] ). B.2 C.1 D.0 ). B.0 C. D. ). D. ).A. B. B.随机数法 D.分层抽样法 ).

7.(2013 湖南,理 7)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不 可能等于( A.1 答案:C ). B. C. D.

8.(2013 湖南,理 8)

在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 为边 AB 上异于 A,B 的一点,光线从点 P 出发,经 BC,CA 反射后 又回到点 P.若光线 QR 经过△ ABC 的重心,则 AP 等于( A.2 答案:D B.1 C. ). D.

二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. (一)选做题(请考生在第 9,10,11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 9.(2013 湖南,理 9)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l:(t 为参数)过椭圆 C:(φ 为参数)的右顶点,则常数 a 的值 为 答案:3 10.(2013 湖南,理 10)已知 a,b,c∈ R,a+2b+3c=6,则 a2+4b2+9c2 的最小值为 答案:12 11.(2013 湖南,理 11) . .

如图,在半径为的☉ O 中,弦 AB,CD 相交于点 P,PA=PB=2,PD=1,则圆心 O 到弦 CD 的距离为 答案:

.

(二)必做题(12~16 题) 12.(2013 湖南,理 12)若 x2dx=9,则常数 T 的值为 答案:3 13.(2013 湖南,理 13) .

执行如图所示的程序框图,如果输入 a=1,b=2,则输出的 a 的值为 答案:9

.

14.(2013 湖南,理 14)设 F1,F2 是双曲线 C:=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△ PF1F2 的 最小内角为 30° ,则 C 的离心率为 答案: : .

15.(2013 湖南,理 15)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1)nan-,n∈ N*,则 (1)a3= ; .

(2)S1+S2+…+S100= 答案:(1)(2)

16.(2013 湖南,理 16)设函数 f(x)=ax+bx-cx,其中 c>a>0,c>b>0. (1)记集合 M={(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且 a=b},则(a,b,c)∈ M 所对应的 f(x)的零点的取值 集合为 ; .(写出所有正确结论的序号)

(2)若 a,b,c 是△ ABC 的三条边长,则下列结论正确的是 ①?x∈ (-∞,1),f(x)>0; ②?x∈ R,使 ax,bx,cx 不能构成一个三角形的三条边长; ③若△ ABC 为钝角三角形,则?x∈ (1,2),使 f(x)=0. 答案:(1){x|0<x≤1} (2)① ② ③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(2013 湖南,理 17)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=sin+cos,g(x)=2sin2. (1)若 α 是第一象限角,且 f(α)=,求 g(α)的值; (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 解:f(x)=sin+cos =sin x-cos x+cos x+sin x =sin x, g(x)=2sin2=1-cos x. (1)由 f(α)=得 sin α=. 又 α 是第一象限角,所以 cos α>0. 从而 g(α)=1-cos α=1=1-. (2)f(x)≥g(x)等价于 sin x≥1-cos x,即 sin x+cos x≥1. 于是 sin. 从而 2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈ Z, 即 2kπ≤x≤2kπ+,k∈ Z. 故使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为

.

18.(2013 湖南,理 18)(本小题满分 12 分)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、 横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年 收获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示: X Y 1 51 2 48 3 45 4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望. 解:(1)所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为 3,边界上的作物株数为 12.从三 角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36 种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果 有 3+3+2=8 种. 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量 Y 的分布列. 因为 P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4), 所以只需求出 P(X=k)(k=1,2,3,4)即可. 记 nk 为其“相近”作物恰有 k 株的作物株数(k=1,2,3,4),则 n1=2,n2=4,n3=6,n4=3. 由 P(X=k)=得 P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=. 故所求的分布列为 Y P 51 48 45 42

所求的数学期望为 E(Y)=51× +48× +45× +42× =46. 19.(2013 湖南,理 19)(本小题满分 12 分)如图,在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥ BC,∠ BAD=90° ,AC⊥ BD,BC=1,AD=AA1=3.

(1)证明:AC⊥ B1D; (2)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值. 解:(1)易知,AB,AD,AA1 两两垂直.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间 直角坐标系.设 AB=t,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).

从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0). 因为 AC⊥ BD,所以· =-t2+3+0=0.解得 t=或 t=-(舍去). 于是=(-,3,-3),=(,1,0). 因为· =-3+3+0=0,所以,即 AC⊥ B1D. (2)由(1)知,=(0,3,3),=(,1,0),=(0,1,0). 设 n=(x,y,z)是平面 ACD1 的一个法向量,则

令 x=1,则 n=(1,-). 设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ,则 sin θ=|cos <n,>|= =. 即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为. 20.(2013 湖南,理 20)(本小题满分 13 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径称为 M 到 N 的一条“L 路 径”.如图所示的路径 MM1M2M3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别 位于平面 xOy 内三点 A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某一点 P 处修建一 个文化中心. (1)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明): (2)若以原点 O 为圆心,半径为 1 的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点 P 的位置,使其到 三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 解:设点 P 的坐标为(x,y). (1)点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值为 |x-3|+|y-20|,x∈ R,y∈ [0,+∞). (2)由题意知,点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点 P 分别到三个居民区的“L 路径”长度 最小值之和(记为 d)的最小值. ①当 y≥1 时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|, 因为 d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*) 当且仅当 x=3 时,不等式(*)中的等号成立, 又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**) 当且仅当 x∈ [-10,14]时,不等式(**)中的等号成立. 所以 d1(x)≥24,当且仅当 x=3 时,等号成立.

d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当 y=1 时,等号成立. 故点 P 的坐标为(3,1)时,P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小,且最小值为 45. ②当 0≤y≤1 时,由于“L 路径”不能进入保护区, 所以 d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|, 此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21. 由①知,d1(x)≥24,故 d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当 x=3,y=1 时等号成立. 综上所述,在点 P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 21.(2013 湖南,理 21)(本小题满分 13 分)过抛物线 E:x2=2py(p>0)的焦点 F 作斜率分别为 k1,k2 的两条不同直 线 l1,l2,且 k1+k2=2,l1 与 E 相交于点 A,B,l2 与 E 相交于点 C,D,以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的 公共弦所在直线记为 l. (1)若 k1>0,k2>0,证明:<2p2; (2)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为,求抛物线 E 的方程. 解:(1)由题意,抛物线 E 的焦点为 F,直线 l1 的方程为 y=k1x+, 由得 x2-2pk1x-p2=0. 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 x1,x2 是上述方程的两个实数根. 从而 x1+x2=2pk1, y1+y2=k1(x1+x2)+p=2p+p. 所以点 M 的坐标为=(pk1,p). 同理可得点 N 的坐标为=(pk2,p). 于是· =p2(k1k2+). 由题设,k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2, 所以 0<k1k2<=1. 故· <p2(1+12)=2p2. (2)由抛物线的定义得|FA|=y1+,|FB|=y2+, 所以|AB|=y1+y2+p=2p+2p. 从而圆 M 的半径 r1=p+p, 故圆 M 的方程为 (x-pk1)2+=(p+p)2. 化简得 x2+y2-2pk1x-p(2+1)y-p2=0. 同理可得圆 N 的方程为 x2+y2-2pk2x-p(2+1)y-p2=0. 于是圆 M,圆 N 的公共弦所在直线 l 的方程为(k2-k1)x+()y=0. 又 k2-k1≠0,k1+k2=2,则 l 的方程为 x+2y=0. 因为 p>0, 所以点 M 到直线 l 的距离 d= =

=. 故当 k1=-时,d 取最小值. 由题设,,解得 p=8. 故所求的抛物线 E 的方程为 x2=16y. 22.(2013 湖南,理 22)(本小题满分 13 分)已知 a>0,函数 f(x)=. (1)记 f(x)在区间[0,4]上的最大值为 g(a),求 g(a)的表达式; (2)是否存在 a,使函数 y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求 a 的取 值范围;若不存在,请说明理由. 解:(1)当 0≤x≤a 时,f(x)=; 当 x>a 时,f(x)=. 因此,当 x∈ (0,a)时,f'(x)=<0,f(x)在(0,a)上单调递减; 当 x∈ (a,+∞)时,f'(x)=>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增. ①若 a≥4,则 f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=. ②若 0<a<4,则 f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增. 所以 g(a)=max{f(0),f(4)}. 而 f(0)-f(4)=, 故当 0<a≤1 时,g(a)=f(4)=; 当 1<a<4 时,g(a)=f(0)=. 综上所述,g(a)= (2)由(1)知,当 a≥4 时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求. 当 0<a<4 时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增. 若存在 x1,x2∈ (0,4)(x1<x2),使曲线 y=f(x)在(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点处的切线互相垂直, 则 x1∈ (0,a),x2∈ (a,4),且 f'(x1)· f'(x2)=-1, 即· =-1. 亦即 x1+2a=.(*) 由 x1∈ (0,a),x2∈ (a,4)得 x1+2a∈ (2a,3a),. 故(*)成立等价于集合 A={x|2a<x<3a}与集合 B=的交集非空. 因为<3a,所以当且仅当 0<2a<1,即 0<a<时,A∩B≠? . 综上所述,存在 a 使函数 f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且 a 的取值 范围是.


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