递推数列an+1=pan+f(n)的常见类型、命题特点及例题浅析_图文

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中学数学研究 

2 0 0 9年第 7期 

递 推数 列 a   + 1 =p a  +  【  )的常 见  类型 、 命 题 特 点 及 例 题 浅 析 
云南省 昭通市实验 中学   ( 6 5 7 0 0 0 )   马兴奎 
数列是高考必考的重要题型 , 每年都有一个大  题, 而且数列的命题背景新颖 , 综合性强 , 观察 、 分  析、 推理能力要求高 , 思维力度大 , 内在联系密切 ,   思 维方 法灵 活 , 致 使很 多 考 生在 求 解 数列 问题 中失 
分 较多 , 特别 是 前 一 两 问 , 由于 大 多 数 涉 及 递 推 数 
列 求解 , 是 近年 高考 热点题 型.  

例2 ( 2 0 0 8年 , 陕西卷 , 理2 2题 )   已 知 数 列  l   a o } 的首 项 口  =3 / 5 ,  + 。=   求{ a   }的通项 公式 .   , n=1 , 2 , ….  

列通项的求解或给出递推关系的证 明问题 , 而考生  因为不会 求通 项或错 误 求 解 , 直 接 造成 后 面 的 问题 
无 法进行 下 去. 本 文针 对 近几 年 高 考 中给 出递 推 数  列a   =p a  +  n ) 求通项 或 证 明问题 的考查 既是  常 考题 型 , 又是热点问题进行归类分析 , 以期 对 读  者 的学 习有所 帮助.  

分 析 及 解 : ’ . ’ 口  =   , . ? . 去=   1 +  
÷, 下面视数列{ 1 / a   } 为一个整体利用例 1 的方法 

易 得 六一 l =   1   I   1 一 1 ) , 又   一 1 =   2 , . ? . 数 列  
{  一 1 ) 是 首 项 为   , 公 比 为  的 等 比 数 列 ' . . .   1  


命题题型  高考 中对给出首项和递推式 a 川  =p a  +  n )求通 项 的问题  类型1 若  n )=g ( 常数) , 即a   + 。 = p a   + q ,   ( P≠ l , p g≠0 ) , 则构造等比数列求数列通项公式 
a n?  

- =  ? (   )  =  , . ? . 。   =   ( n ∈ N   ) .  
点评 : 求 递推式 形 如 n   =   ( p, g , s 为 常 

命题特 点  一 般地 , 形如 a 川 =p a  +q ( P≠  

1 , P q≠ 0 )型的递推式均可通过待定系数法对常数  g 分解 : 设a   +   =P ( a   +  ) , 展开并整理后与原  式 比较系数可得p x —   =g , 即   =—  , 从而得数 
P 一  

数) 的 数 列 可 利 用 两 边 取 倒 数, 并 视 数 列f  l 为 一  
Lan   J  

个整体转化后再求通项公式.  
类型 2   若  n )为关 于 凡一 次 函数 型 , 也 是构 

列{ a  +  } 是首项为 a 。 +  , 公 比为P的等 比数列.  
例1 ( 2 0 0 7年 全 国 Ⅱ 卷 , 理2 1题 )   设 数 列 


造等比数列求 a   .  
命 题特 点  求形 如 a   =p a  +A n+  ( p≠0,  

1 , A ,  为常数且 A≠0 ) 的数列通项 , 利用待定系数 
法 构造 新数 列 , a   +  ( i / , +1 )+Y =P ( a  +肌 +   ) , 展开并 整 理 后 与 已知递 推 式 比较 , 解 出  , Y , 则  有  侣 一
a  +  n + y  

,l  

{ 口   } 的首项 0  ∈ ( 0 , 1 ) , 0  =二 —  



,   =2 , 3 , 4,  



求{ a   } 的通项公式  分 析及 解 : 由已知 a  =一1 / 2 a   + 3 / 2 , 设a  +   1 / 2 ( a   一 1 +  ) , 贝 0 a  =一1 / 2 a   一 1 —3 / 2 x , 与 已 


:p, :n . 得 1 导  l 到 I 数 列J 训 l { 。 n  +   +V +y }  
‘   。  

知 比较 系数得 :一3 / 2 x=3 / 2 , 即  =一l , 从而 a  一   l=一1 / 2 ( a   一1 ) , 于是 数列 { a  一l } 首项 为 a 。 一  

是首项为 a  +  ? 1+ , , , 公 比为P的等 比数列 , 从而  求出 { a   } 的通项.   例3 ( 2 0 0 7 年, 天津卷 , 文2 O 题)   在数列 { a   }   中, a l =2 , a   =4 a   一3 n+1 , n∈N   . 证明数列  { a  一凡 } 是等比数列.   分 析及 证 明 : 设a   +  ( 凡+1 )+Y=4 ( a  + x n ,  
+y ) , 展 开整 理得 a   =4 a  +3 x n一   +3 y , 与 已知 

1 , 公比为 一÷ 的等比数列, 所以0  一1=( 0 。 一1 )  
( 一1 / 2 )   一   , 即a  = 1+( a 1—1 ) ( 一1 / 2 )   ~ .  

点评 : 求递推式形如 a   +  =p a   + q ( P≠1 , P q ≠   0 ) 的数列通项 , 利用待定系数法构造新数列 , a   +  

较 系 数 得f   一 3   √ .  : 一 1 , ) , : 0 . 于 是   p ( 口   +   ) , 转 化 为 我 们 熟 知 的 等 比 数   比

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中学数学研 究 

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构造为 a   + 1 一( n+1 )=4 ( a   一n ) . 且 Ⅱ  
二   _
a n — n 

a   + l + x q   = P ( a   + x q   ) , a   + l = p a   + x ( p— q ) q “ ,  
与 已知递 推式 比较 , 得 ( p—g )= r , 即  ,  

:4



所 以数列 



n } 是 首项 为 血  



1=1 , 公比为 4的等比数列.  

转化为 生 
a  十  g  

: p , 得到数列 { 。   + 钾  } 是首项 

点评 : 引入 一些 尚待 确定 的系数转 化命题 结  构, 经过变形与比较 , 把 问题转化成基本数列( 等差 
或等 比数列 ) , 从 而达 到解决 求 的通项 或证 明 问题.  

为a  +  q , 公比为 P的等 比数列 , 从而求出 { n   } 的 
通 项.  

类型 3   若  n ) 为关于 n 二次函数型 , 同样是  构造等 比数列求 a   .   命题特点  求递推式形如 a   =p a  +A 凡  +   n+Y ( P≠0 , l , A, X, I 7为常数且 A≠0 )的数列通  项. 利用待定系数法构造新数列 , a   +  ( n +1 )  +  
Y ( n+1 )+z=P ( a  +  n  +y 几+z ) , 注 意展 开整理 

例5 ( 2 0 0 8年 , 全 国 卷 Ⅱ, 理2 0题 )   设 数 列  { a   } 的前 n项 和为 J s   .已知 a 。=a , a   =S  +3 “ ,   n ∈N  , 设 6  =S  一3   , 求 数列 { b   }的通 项公 式.  
分 析及 解 : ‘ . ‘ a   =S  +3 “ , 即J s   一S  =S  +  
3   , . ? . S   + l=2 S   +3 “ . 设L s   + l +x 3   =2 ( S  +   3   ) ,  

展 开整理 得 : s   =2 S  一x 3   , 与 已知 比较 系数 得 :  
一  

后与已知比较系数求出  , Y ,   , 即有 



1 , 即  =一1 , . 。 . 5   + 1—3   “ =2 ( S  一3   ) , . ’ .  

二 _ _ +   坐
a  +   +y 凡 + 

:p然 后 得 到 数 


数列 { . s  ~3 “ } 是 首项 为 J s  一3:a一3, 公 比为 2的 

等 比数歹 U , . ? . s  一3   =( a一3 ) 2   一, 即S  = ( a一  
3 ) 2   +3   , 又b   :S  一3   , . ‘ . 6  = ( a一3 ) 2   ~ .  

歹 0 { a  +   n   + y n+  } 是首项为 a l +  ? 1  + Y? 1 +  


公 比为P的等比数列来求通项.   例4   在数列 { a   } 中, a  =1 , a   =2 a  一n  

考点 ②

若P=g , 则构造等差数列求 a   , 求形 

如a 川 =p a  +r q   ( P≠0, 1 , q≠ 0 , r ≠ 0为 常数且  P =g )的数 列通项 . 方 法是 两边 同除 以 g   得:  
q  
an
一  

+ 3 n ( n∈N   ) , 是否存在常数 A ,  , 使得数列 { a   +  

A 凡   + x i n } 是等 比数列 , 若存在 , 求出A ,  的值 ; 若不 
存在 , 说明理由.  
分 析及解 : 设a   +A ( n+1 )  +  ( n+1 ):   2 ( a  +A n  + xn I ) , 即a   + 1=2 a  +A   +(   一2 A) n  


口 ”  g 寺   , 从 而 构 造 数 列 { L   口 “ ) J   是 首 项 为   g   , 公 差 为  


的等差数列 , 然后求出数列 { a   }的通项. 根据题 
q  

A = 一1  



A 一   . 故 {   一 2 A : 3 , 解 得 f A  一 1   1   .
【 _A一   :0   t x I  
? .

目也可 以两 边 同除 以  例6 ( 2 0 0 8年 , 全 国 卷 I, 文 1 9题 )   在 数 列  }中 , n   =l ,  + 】=2 a  +2   , 设b  :   证明 : 数列 { 6   } 是 等差 数列 .   分 析及 证 明 : 。 . ’ n   =2 a  +2   ' . . .两 边 同除 以  .  



0   + l=2 a  一n  +3 n可化 为 a   + l 一( n+1 )  +( n  

+1 )=2 ( a  一n  +n ) . 又a l 一1  +1≠0, 故 存 在 

A =一1 ,   =l , 使得数列 { a   +A 凡   +  n } 是等比数 
列.  

评述 : 本 题是 给 出递 推式 a   + 。=p a  +A n  + xn I  

+Y ( P≠0 , l , A ,  ,  为常数且 A≠0 ) 的探索性问  题. 探索性问题是 高考的热点 , 常在数列解答题 中 
出现 , 用上述 方 法构造 后 解 出 A =一1 , t l ,= l , 然 后 
下 结论 .  

2   得 :  =   + l , 即 等一   = 1 . 所 以 数 列  

{  ) 是 首 项 为  : l , 公 差 为 1 的 等 差 数 列 ? 即 数  
列{ b   } 是等差数列.  
点评 : 本题 容 易套 用例 5的方 法 : 令a 川 +钾 

类型 4   若  n ) 为关于 n的指数式.   命题特点 , ( n ) 为指数式时 , 形如 a   =p a  
+r q   ( P≠ 1 , 0 , g≠ 0 , r≠ 0 ) .  

=P (   +  “ ) , 展开后整理 比较系数求不出  值 , 于 
是 陷入证 明 困境 . 所 以分 清 题 目类 型 及 相 应解 法 十 

考点 ①

若P≠g 则构造等 比数列求 a   , 求形 

分重要 , 平时解题中多注意归纳和总结.   例 7 在数列 { a   } 中, a 1 =一 3 , a  =2 a   + 2  
+3 ( n≥ 2 , 且  ∈ N  ) .  

如a 川 =p a  +r q   ( P≠ 0 , 1 , g≠0 , r≠0的常数 且 

P≠q )的数列通项. 利用待定系数法构造新数列 ,  

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道 考题  一 组 性 质  一 类应 用 
江苏省 兴化市戴 南高级 中学  ( 2 2 5 7 2 1 )   朱传 美  

二项式定理的问题相对较独立 , 每年高考基本  上都考, 题型多 为选 择或填空题 , 偶尔也会有大题  出现. 从近几年 的高考试题 看 , 其 考查 内容也 比较  稳定 , 一般情况下 , 不会丢分. 对其常见题 型, 本文  不再说 明. 下面就 0 8年某市一道 模拟题 谈一点意  见, 但求抛砖引玉, 对同行们有所启发.  


则A B =A C=( 2+   )   ”   ( 一2+   )  

=[ ( 2+  

) ( 一 2+   ) ]  

=3   .  

2 . 思考 : 此题对任意a , , / g - ( a , b ∈N, , f g 隹N) 又 
如何 呢? 有 一般 性规 律 吗?  

二、 一组性质 
设a ,  , 1 1 , ( a , b , 1 1 , ∈N, √ 6隹N) , 经研究与拓 
展, 可得 如下 一组 性质 :  

、 一

道 考题 

考题再现 : 设 A =( 2+   )  。 的小数部分为 


则A B=

性质 1   当a<   时, ( a + √   )   ”   的小数部分 
. 
— —

分析 与思 考 

与( 一a+   )   。 的小 数部 分相 等.   =2   +c   川2  

1 . 分析 : 已知 A=( 2+   )  

证明: 当 a <√  时 , ( a+, / g - )   。=a   ”  +  
c  a  , / - g+c 2 川( , / g - )  +… +(  )   ”   , ( 一a+  

+c   2   (   )  +… + (   )   . 设: C =( 一2  

+   )   ”。=一2   +c   2  

一c   2  ‘ (   )  +  

)   = 一 a   ”   + c  a  

一 c 2 n + l a   (  )   + …  

… +(  ) 2 n + 1 . A—C =( 2+   )   ”‘ 一( 一2+   )  


+(  )   , ( a+   ) 。  。 一( 一a+   )   ”  =2 [ a   ”   +c   a   (   )  +… +c   。 (   )   ]∈N. 所以( a  

2 [ 2   + c  2   (  )  +… + c   2 (  )   “ ]∈  

N. 所 以  与 c具有 相 同的小 数部 分. 而 0<一2+   <1 , 所 以 0 <C = ( 一2+   )   <1 . 则 B =c ,  

+ , l - g )  。 的小数部分与( 一a+ v g ) 。   的小数部分 
相 等.  

( I) 求a   , a   的值 ;   ( Ⅱ) 求数列 { a   } 的通项公式.  
解: (I) 。 . ‘ a l=一3 , a  =2 a   一 l +2 “ +3 ( n≥2,  
且 n∈N ) , . ‘ . a 2=2 a l +2  +3= 1 , a 3=2 a 2+2  
+3 = 1 3 .  

通过 以上分析 , 解决递推数列a   = p a   +  n )  
通 项公 式或 证 明 问题 主 要 数 学方 法 是 待 定 系 数 法 ,  

求解的关键是对关 系式变形并 准确解 出待定 系数 


Y ,   . 最 终 目标是 构 造特殊 数列 ( 等 差或 等 比数列 )  

来 求解 . 纵 观近几 年 全 国卷 及 各 省 自主命 题 卷 中的  数 列试题 , 给 出关 系 式 a 川 =p a  +   n )型 的题 目   求 通项公 式 问题 , 既考 填 空题 ( 2 0 0 6年重 庆卷 , 理l 4   题) , 也 常会 在 选 择 题 中考 查 , 应 引 起 足 够 的重 视 ,   近 年主 要 是 以 解答 题 的形 式 考 查 较 多. 如( 2 0 0 4年  ( 2 0 0 6 年 全 国卷 I, 理2 2 题) ; ( 2 0 0 6 年 山东 卷 , 文2 2  

( Ⅱ) ‘ . ‘ a  =2 a   一 1 + 2  +3 , . 。 . a  +3=2 ( a   一 l +  

3 )+ 2   - . . .两边 同除 以 2   得:  

:  

:   +1 ,  

即   一  
为 

所 以 数 列 { 字) 是 首 项  全 国卷 Ⅲ , 理2 2 题) ; ( 2 0 0 5年 山东 卷 , 文, 理2 1 题) ;  
:0+  


:0 , 公差为 l 的等差数列. 即 

( n一1 )×1= n一1 , . ‘ . a  = ( n一1 ) 2  一3 .  

题) , ( 2 0 0 8 年四川卷理 2 0 题) 等. 从设 问方式看, 第  问既有求通项公式问题 , 也有证 明问题 , 而第二问   往往是考查数列求和、 常把数列和函数 、 不等式的知  识综合起来 , 也常把等差数列 、 等 比数列 , 求极 限和  数学归纳法综合在一起. 综 合性强 , 灵活度 大, 技巧  性强. 解题的关键是准确解 出第一问, 才能解答第二  问提出的综合性问题.  

点评 : 本题第( Ⅱ)问若套用 例 6的方法 : 两边  同除以 2   来解决 , 则陷入解答困境 , 为什么呢? 题目   变化 了, 多 了一个常数 , 需要结合 a   = p a   + g 的求  解知识先将 已知关 系式变形才能求解 , 考查 了灵活  应用知识综合解决数学问题 的能力.  


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