2017年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)

2017 年全国高中数学联合竞赛一试(B 卷) 一、填空题:本大题共 8 个小题,每小题 8 分,共 64 分。 1、在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a3 ? 3 3 ,则 a1 ? a 2011 为 a7 ? a 2017 2、设复数 z 满足 z ? 9 ? 10z ? 22i ,则 z 的值为 3、设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f ( x) ? x 2 是奇函数, f ( x) ? 2 x 是偶函数,则 f (1) 的值 为 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的方程为 x2 y2 ? ? 1 ,F 是 C 的焦点, A 为 C 的右顶点,P 是 9 10 C 上位于第一象限内的动点,则四边形 OAPF 的面积最大值为 4、在 ?ABC 中,若 sin A ? 2 sin C ,且三条边 a, b, c 成等比数列,则 cos A 的值为 5、在正四面体 ABCD 中, E , F 分别在棱 AB, AC 上,满足 BE ? 3, EF ? 4 ,且 EF 与面 BCD 平 行,则 ?DEF 的面积为 . 6、在平面直角坐标系 xOy 中,点集 K ? ?( x, y) | x, y ? ?1,0,1? ,在 K 中随机取出三个点,则这三 个点两两之间距离不超过 2 的概率为 7、 设 a 为非零实数, 在平面直角坐标系 xOy 中, 二次曲线 x ? ay ? a ? 0 的焦距为 4 , 则实数 a 2 2 2 的值为 . 8、若正整数 a, b, c 满足 2017 ? 10 a ? 100 b ? 1000 c ,则数组 (a, b, c) 的个数为 2017 年全国高中数学联合竞赛试题(B 卷) 第 1 页 共 4 页 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9、 (本题满分 16 分) x x 设为实数,不等式 2 ? a ? 5 ? 2 对所有 x ? ?1,2? 成立,求实数 a 的取值范围。 2 10、 (本题满分 20 分)设数列 ?an ? 是等差数列,数列 ?bn ? 满足 bn ? an?1an?2 ? an , n ? 1,2,? (1)证明:数列 ?bn ? 也是等差数列; (2) 设数列 ?an ? 、 ?bn ? 的公差均是 d ? 0 ,并且存在正整数 s , t ,使得 a s ? bt 是整数,求 a1 的 最小值。 11、 (本题满分 20 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 : y 2 ? 4 x , 曲线 C 2 : ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 8 . 经 过 C1 上一点 P 作一条倾斜角为 45 的直线 l , 与 C 2 交于两个不同的点 Q, R , 求 PQ ? PR 的取值范 0 围。 2017 年全国高中数学联合竞赛试题(B 卷) 第 2 页 共 4 页 2017 年全国高中数学联合竞赛二试(B 卷) 一、 ( 本 题 满 分 40 分 ) 设 实 数 a, b, c 满 足 a ? b ? c ? 0 , 令 d ? m a xa , b , c , 证 明 : ? ? (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? 1 ? d 2 二、 (本题满分 40 分)给定正整数 m ,证明:存在正整数 k ,使得可将正整数集 N 分拆为 k 个 互 不 相交 的 子集 A1 , A2 ,?, Ak , 每 个子 集 Ai 中 均 不 存在 4 个 数 a, b, c, d (可 以 相同 ) , 满足 ? ab ? cd ? m . 2017 年全国高中数学联合竞赛试题(B 卷) 第 3 页 共 4 页 三、 (本题满分 50 分)如图,点 D 是锐角 ?ABC 的外接圆 ? 上弧 BC 的中点,直线 DA 与圆 ? 过点 B, C 的切线分别相交于点 P, Q , BQ 与 AC 的交点为 X , CP 与 AB 的交点为 Y , BQ 与 CP 的交 点为 T .求证: AT 平分线段 XY . (答题时请将图画在答卷纸上) 四、 ( 本 题 满 分 50 分 ) 。 设 a1 , a2 ,?, a20 ? ? 1,2,3,4,5? , b1 , b2 ,?, b20 ? ? 1,2,3,?,10? , 集 合 X ?? (i, j) | 1 ? i ? j ? 20, (ai ? a j )(bi ? b j ) ? 0?,求 X 的元素个数的最大值。 2017 年全国高中数学联合竞赛试题(B 卷) 第 4 页 共 4 页

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