高效课堂用向量讨论垂直和平行_图文

你准备好了吗?
第010号导学案;三色笔;典题本

勇敢展示、大胆质疑

机会总是青睐有准备的人!

复习回顾
1.线面垂直的判定定理: 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交 直线,则该直线与词平面垂直。

2.面面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线, 则这两个平面垂直。

3.线面平行的判定定理: 如果平面外一条直线平行于平面内的 一条直线,则这条直线平行于这个平面。

4.面面平行判定定理: 若一个平面内有两条相交直线都平行于 另一个平面,则这两个平面平行。

用向量讨论平行与垂直

xxz

解读学习目标
、 理解用向量的方法讨论立体几何中的垂直与 1 平行,会用向量的方法解决与垂直和平行相关的 简单问题。

2

探究如何用向量方法讨论立体几何中的垂直 与平行获得处理这类问题的方法。

3

认识事物之间的规律性,进一步体会向量方法 在立体几何中的具体作用。

导学案反馈
闪光点:1、按时交导学案; 2、对课本认真解读了,对知识达到了一定 的理解; 态度方面:个别卷面不整洁; 知识理解方面: 1、求点的轨迹是要注意建系设点(合作探究2) 2、当不确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上时,要注 意讨论。(合作探究3)



新知探究
平行与垂直关系的向量表示

(1)平行关系 ? ? ? ? 线线平行 l // m ? a // b ? a ? ?b

? ? 设直线l,m的方向向量分别为 a ? b , , ? 平面 ? , 的法向量分别为 u , ? v

? ? ? ? 线面平行 l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ? ? ? ? 面面平行 ? // ? ? u // v ? u ? ?v

? ? 设直线l,m的方向向量分别为 a ? b , , ? 平面 ? , 的法向量分别为 u , ? v? ?

(2)垂直关系

? ? 线线垂直 l ? m ? a ? b ? a ? b ? 0 ? ? ? ? 线面垂直 l ? ? ? a // u ? a ? ?u ? ? ? ? 面面垂直 ? ? ? ? u ? v ? u ? v ? 0
(3)用向量处理平行问题 用向量处理垂直问题

l

m

? a

? b

? ? ? ? l // m ? a // b ? a ? ?b

? a

? u

l

?
? ? ? ? l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0

? u
?
?

? v

? ? ? ? ? // ? ? u // v ? u ? ?v

l

? a

? b

m

? ? ? ? l ? m ? a ? b ? a?b ? 0

l

? a
?

? u

? ? ? ? l ? ? ? a // u ? a ? ?u

? u
?

? v
?

? ? ? ? ? ? ? ? u ? v ? u? v ? 0

(一)用向量处理平行问题
例1: 如图已知四边形ABCD、 ABEF 为两个正方形, MN 分别在其对角线BF 上,
F M E

B

C

N 且FM ? AN .求证:MN // 平面EBC A 证明 : 在正方形ABCD与ABEF中, D ? BE ? AB, FM ?? AN ,??? ???? , ???? ? FB ? AC ? ? ? 存在实数? , 使FM ? ? FB, AN ? ? AC. ???? ???? ??? ???? ? ? ??? ??? ? ? ???? ? MN ? MF ? FA ? AN ? ? BF ? EB ? ? AC ??? ??? ??? ???? ??? ? ? ? ? ??? ???? ??? ? ? ? ? ( BE ? BA ? AB ? AD) ? EB ? ? ( BE ? AD) ? EB ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ( BE ? BC ) ? BE ? (? ? 1) BE ? ? BC.

例1: 如图已知四边形ABCD、 ABEF 为两个正方形, MN 分别在其对角线BF 上,
F M E

且FM ? AN .求证:MN // 平面EBC ???? ??? ??? ? ? ? ? MN、 、 共面. BE BC

B
N

C

? M ? 平面EBC ,? MN // 平面EBC

A

D

评注: 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是 存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。

例2.在正方形ABCD - A1 B1C1 D1中, 求证 : 平面A BD // 平面CB1 D1 1
三边所在的直线为x, y, z轴建立空间 A 直角坐标系.设正方体的棱长为1,
则A1 (1, 0, 0), B1 (1,1, 0),
X Z
D

证明 : 如图分别以D1 A1、D1C1、D1 D

C

B
D1

C1
B1

C (0, 0,1), D (0, 0,1) ???? ? ???? 则A1 D ? ( ?1, 0,1), B1C ? ( ?1, 0,1) ???? ???? ? ? A1 D // B1C.即直线A1 D // B1C,

A1

Y

则A1 D // 平面CB1 D1.同理右证:A1 B // 平面CB1 D1.

? 平面A1 BD // 平面CB1 D1.

例2.在正方形ABCD - A1 B1C1 D1中,
Z
D

求证 : 平面A BD // 平面CB1 D1 1

A
D1

C

B
C1

评注: 1B 由于三种平行关系可以相互转化, 所以本题可用逻辑推理来证明。 X 用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化, 在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系, 方能减少运算量。本题选用了坐标法。
1

Y

A

(二)用向量处理垂直问题 例3 : 在正方体ABCD ? A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证:A ' F ? 平面BDE.
证明:如图 ??? ???? ????? ? 取 DA, DC , DD '分别为x轴,y轴,z轴 X 建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2.

Z

E

F

Y

A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)

例3 : 在正方体ABCD ? A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点.

Z

求证:A ' F ? 平面BDE. ????? A ' F ? (?1,1, ?2), ???? ???? F DB ? (2, 2,0), DE ? (0, 2,1) ????? ???? ? A ' F ? DB ? (?1,1, ?2) ? (2, 2,0) ? 0,X ????? ???? A ' F ? DE ? (?1,1, ?2) ? (0, 2,1) ? 0 ????? ???? ????? ???? ? A ' F ? DB, A ' F ? DE , 又DB ? DE ? D.? A ' F ? 平面BDE

E

Y

例3 : 在正方体ABCD ? A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证:A ' F ? 平面BDE.
评注: 本题若用一般法证明, 容易证A’F垂直于BD, 而证A’F垂直于DE, 或证A’F垂直于EF则较难, 用建立空间坐标系的方法 能使问题化难为易。
E
Z

Y

F
X

讨论交流(乐于分享 善于沟通)
1、讨论目标: 抛物线的要素及标准方程; 2、讨论方法: 分组讨论。 3、讨论的重点:
合作探究2、3;

4、讨论要求:
(1)、结对子,“兵教兵”;和谐互助,共同进步。 (2)、集体讨论,解决疑难,整合智慧;做好勾画总 结本组好的解题方法和思路,为质疑做好准备。
让生命在自由的空气中快乐地成长! 让生命在积极的探索中得到提升!

展示安排及目标要求
展示问题或 题目

点评

目标及要求
1.目标:通过 你的展示同学们 思路更加清晰。 2.要求:①展 示人上台迅速, 书写认真快速规 范,步骤清晰简 洁。②非展示人 讨论完毕,总结 整理完善,并迅 速浏览展示内容, 补充、质疑。

合作探究1 合作探究2 合作探究3

合作探究4

达 成 目 标 , 我 成 功 ; 超 越 目 标 , 我 优 秀 。

当堂检测:
C' A'

B'

1.练习:在三棱柱ABC ? A ' B ' C '中,

底面是正三角形,AA ' ? 底面ABC,

A ' C ? AB ', 求证:BC ' ? AB '

证明:设底面边长为 , 1 设a ? AA', b ? AB, c ? AC a ? b ? 0, a ? c ? 0, b ? c ? 1 / 2. A' C ? A' A ? AC ? c ? a
C

B A

AB' ? AB ? BB' ? b ? a BC ' ? BA ? AC ? CC ' ? c ? a ? b

向量法

2.练习: 在三棱柱ABC ? A ' B ' C '中,
C' A'

B'

底面是正三角形,AA ' ? 底面ABC, A ' C ? AB ', 求证:BC ' ? AB ' ???? ???? ? ? ? ? ? ? 0 ? A ' C ? AB ' ? (c ? a) ? (b ? a) C ? ? ? ? ? ? ?2 ? c ?b ? c ? a ? a ?b ? a A ?2 ? ? 1 a ? c ?b ? 2 BC ' ? AB' ? (c ? a ? b) ? (b ? a) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (c ? a ? 2a ? b) ? (b ? a ) ? (2a ? b) ? (b ? a ) ?2 ? ? ?2 ? 2 ?2 ? 2a ? a ? b ? b ? 2a ? b ? 1 ? 1 ? 0

B

练习: 在三棱柱ABC ? A ' B ' C '中, 底面是正三角形,AA ' ? 底面ABC, A ' C ? AB ', 求证:BC ' ? AB '
设底面边长为2, 高为h, 如图建立空间直角坐标系. A( 3 ,0,0), B(0,1,0), C (0,?1,0).
坐标法
C

C' A'

B'

B A

A' ( 3 ,0, h), B' (0,1, h), C ' (0,?1, h). ???? ? ???? ? ???? ? AB ' ? (? 3,1, h), A ' C ? (? 3, ?1, ?h), BC ' ? (0, ?2, h) ???? ???? ? ? 0 ? AB ' ? A ' C ? 3 ? 1 ? h 2 , h 2 ? 2. ???? ???? ? ? 2 AB ' ? BC ' ? 0 ? 2 ? h ? 0.? BC ' ? AB '

小结

三、小结
利用向量解决平行与垂直问题 ? 向量法:利用向量的概念技巧运算解决问 题。 ? 坐标法:利用数及其运算解决问题。 两种方法经常结合起来使用。

作业: 如图, 直三棱柱ABC ? A1 B1C1中, ?ACB ? 900 , AC ? 1, CB ? 2, 侧棱AA1 ? 1, 侧面AA1 B1 B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD ? 平面BDM 解:
如图,以C为原点建立空间直角坐标系. B( 2 ,0,0), B1 ( 2,1,0), A1 (0,1,1),
A Z
1.

A1

D
C

C1
M Y

2 1 1 2 B D( , , ), M ( ,1,0), X 2 2 2 2 ???? ????? 2 1 1 ???? 1 1 CD ? ( , , ), A1B ? ( 2, ?1, ?1), ? (0, , ? ), DM 2 2 2 2 2

B1

作业:1. 如图, 直三棱柱ABC ? A1 B1C1中, ?ACB ? 90 ,
0

AC ? 1, CB ? 2, 侧棱AA1 ? 1, 侧面AA1 B1 B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD ? 平面BDM
A Z

A1
D

???? ???? 则CD ? A1 B ? 0, ???? ???? ? CD ? DM ? 0. ? CD ? A1 B, CD ? DM . ? CD ? 平面BDM .
B X

C

C1
M Y

? A1 B, DM 为平面BDM内的两条相交直线,

B1

作业:课本p.41第1,2,3题。
? Bye-bye!


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