等差数列求和第一课时 课件_图文

高一数学第一册

计算: 1+2+3+4+5+6+……+98+99+100=?
问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱 妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建 而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世 界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图 案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案,以相 同 大 小 的 圆 宝 石 镶 饰 而 成 , 共 有 100 层 (见左图),奢靡之程度,可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

数学巨人高斯的求法:
1 + 2 + 3 +…+50+51+…+98+99+100
? 101?50 ? 5050
思考: 23+ 24+ ……+65=?
? 如何求等差数列{an}的前n项和
Sn=a1+a2+…….+an-1+an

(如果m ? n ? p ? q,那么am ? an ? ap ? aq.)

1 2 3

s100

100 99 98

s100
100

2S100 ? (1?100 ) ?100

s100

?

(1?100 )?100 2

?

5050

1

求等差数列{an}的前项和sn

: 推导方法二
Sn=a1+(a1+d)+ (a1+2d) +…….+ [a1+(n-1) d]

Sn =an+(an- d)+ (an-2d) +…… +[ an-(n-1) d ]

两式相加得:

2Sn=(a1+an)+(a1+an)+……+ (a1+an)+ (a1+an)

=n (a1+an)

? Sn

?

n(a1 ? an ) 2

23+ 24+ ……+65=?

43? (23 ? 65)

S43 ?

2

=1892

公式记忆方法:
a1

公式1

Sn

?

n(a1 ? 2

an )

n

an

1)前n个正整数的和:1+2+3+…+n=

n(n ? 2

1)

.



2)求正整数列中前n个偶数的和
2+4+6+…+2n=

解:S


n

?

n?(2 ? 2

2n)

?

n(n

?1).

以下等式中不是等差数列的 前n项和公式是( D )

A)Sn

?

n(a1 ? an ) 2

B)Sn

?

na1

?

n(n ?1) 2

d

C)Sn

?

dn2 2

? (a1

?

d )n 2

D)Sn ? a1 ? (n ?1)d

例1 等差数列-10,-6,-2,2,... 前多少项的和是54?

解:将题中的等差数列记为{an},sn代表该数列
的前n项和,则有a1=-10, d=-6-(-10)=4

设该数列前n 项和为54

根据等差数列前n项和公式: sn

?

na1

?

n(n ?1) 2

d

有 ?10n ? n(n ?1) ? 4 ? 54成立 整理后,得n2 2? 6n ? 27 ? 0

解得 n1=9, n2=-3(舍去)
故此等差数列的前9项和为54。

课堂练习

等差数列{an}的首项为a1,公差为d,项数为n,第n 项为an,前n项和为Sn,请填写下表:

a1

d

n

an

sn

5

10

10

95

500

20

-2

8

6

104

-38

2

15

-10 -360

例2、在等差数列{an}中,
已知 a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36 求S16
(如果m ? n ? p ? q,那么am ? an ? ap ? aq.)
思考:已知 a6=20 ,你能求出S11吗?

例3 甲、乙两人自相距27km处相向出发, 甲匀速行进,每小时走4km,乙每小时 走2km ,以后每小时比上一小时多0.5km, 问几小时后,甲、乙两人相遇?

小结

1.公式的推导方法:倒序相加法求和。

2.等差数列求和公式的特征。

Sn

?

n(a1 ? 2

an )

Sn

?

na1

?

n(n ?1) 2

d

3.公式的灵活应用。

请各位同行指导!

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