26.1.2-反比例函数的图象和性质(第一课时)_图文

第二十六章 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质 (第一课时)

温故而知新
1.过点(2,5)的反比例函数的解析式是:
y? 10 x

.

2.一次函数y=2x-1的图象是 一条直线 ,y随x的增大 而 增大 . 列表,描点,连线 . 3.用描点法作函数图象的步骤:__________________

以前研究一次 函数时,是从哪几 个方面研究的?

(1)解析式 (2)图象 (3)性质

反比例函数的图像与性质又如何呢? 这节课开始我们来一起探究吧.

探究一:反比例函数的图象 画出反比例函数y= 步骤一:列表 x
… -6 -5 -4 -3 -2

和y=-

的函数图象.

-1 1

2

3

4

5

6



y = 6 … -1 -1.2-1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1.2 1 … x 6 y = x … 1 1.2 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1.2 -1 …

x

… -6 -5 -4 -3 -2

-1 1

2

3

4

5

6



y = 6 … -1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1.2 1 … x 6 y = x … 1 1.2 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5-1.2 -1 …

y
6
5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 5
6

y

6

y=

6 x

6 y =x

5 4 3 2 1

x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6

5

6

x

步骤二:描点 步骤三:连线 按自变量从小到大的顺序, 用两条光滑的曲线连接起来

反比例函数的图象是怎样的?如何画? 反比例函数图象画法总结:
列 表 注意:①列 x与y的对应值表 时,x的值不能 为零,但仍可以 以零为基础,左 右均匀、对称地 取值. 描 点 描点法 连 线 注意: ③两个分 支合起来才是反 比例函数的图象.

注意:②连线时自左 往右用光滑曲线顺次 连接,切忌用折线.

探究二:反比例函数的性质 y 观察与思考 6
5
4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 5
6

y
6

6 y= x

6 y =x

5 4 3 2 1

x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6

5

6

1.反比例函数的图象是怎样的?

反比例函数的图象是由两支曲线组成的,因此称反比例函数 的图象为双曲线.

观察与思考
6 5 4 3 2 1

y
6

y
6 y= x 6 x
5 4

y =-

3
2 1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6

5

6

x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6

5

6

2.这两个函数图象的形状和位置有什么共同点与不同点? 共同点:这两个反比例函数的图像都是两条曲线; 不同点:一个图像在第一、三象限,一个图像在第二、四象限. 思考:为什么这两个函数的图像所在的象限不同呢?你能从 “数”的角度来解释一下吗?

归纳

k 一般地y= x

(k≠0) y

y

O

x

0

x

当k >0时函数图象的 两个分支分别在第 象限. 一、三

当k <0时函数图象的 两个分支分别在第 象限. 二、 四

(k≠0)的图像,你能从图像的增减性、 思考:观察函数 y= 对称性以及图像与x,y轴的位置关系这三个方面说说它 的性质吗?

反比例函数的图象和性质 形状 由两支曲线组成的.称它的图象为双曲线; 当k>0时,图像分别位于第一,三象限内; 当k<0时,图像分别位于第二,四象限内;

位置

增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.

对称性 (1)反比例函数的图象是轴对称图形.直线y=x和 y=-x都是它的对称轴; (2)反比例函数 y= 与 y=- 的图象关于 x轴对称,也关于y轴对称. 图象的趋势 由于x≠0,k≠0,所以y≠0,反比例函数的图象永远不 能到达两坐标轴,只是无限接近两坐标轴

比一比

函数 解析式 图象形状
位 置

正比例函数 y=kx ( k≠0 ) 直线 一三 象限

反比例函数 y= k x ( k≠0 )

填表 分析 正比 例函 数和 反比 例函 数的 区别

双曲线 一三 象限
在每个象限,y随x 的增大而减小

k>0

增 减 y随x的增大而增大 性 位 置

k<0

二四 象限
y随x的增大而减小

二四 象限
在每个象限,y随 x的增大而增大

增 减 性

课堂练习
5 1.反比例函数y= x y

的图象大致是( D y
B. O y x D. O x x



A.

O y

x

C.

O

2.函数 y=

一、三 象限,在每一象限内, 的图象在第________

减小 y 随x 的增大而_________.

3.函数 y=-

二、四 象限,在每一象限内, 的图象在第________

增大 y 随x 的增大而_________.

4.函数 y=

一 象限,y随x 的增 ,当x>0时,图象在第____

减小 大而_______.

5.已知反比例函数 y= <4 (1)若函数的图象位于第一、三象限,则k________; (2)若在每一象限内,y随x增大而增大, 则k________. >4
6.下列函数中,图象位于第二、四象限的有 (3),(4) ;在 图象所在象限内,y的值随x的增大而增大的有 (2)(3)(5) . ( 1 ) y= (4) y=( 2 ) y= (5)y=2x-3 (3) y=-

7.抛物线y=ax2+bx+c图像如图所示,则一次函数 a?b?c y= -bx-4ac+ b2 与反比例函数 y ? 在 x 同一坐标系内的图像大致为( D )

拓展与提高
1.函数y=kx-k 与 y ?
k ? k ? 0 ? 在同一条直角坐标系中的图 x

象可能是(
y

D


y y x O x y

O A

x

O

O D

x

B

C

2.设x为一切实数,在下列函数中,当x增大时,y的值总 是减小的函数是( D ) x -1 A.y = -5x B.y = 2 C.y=4x -1 D.y=-2x+2 . 【点评】

由于反比例函数的图像不是连续的,所以它的增减 性只能说在每个象限内,y随x的增大而增大或y随x 的增大而减小.

3.已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3)都在反比例函数 y= (k≠0) 的图像上,则y1、y2与y3的大小关系(从 大到小)为

y3 > y1 > y2 或 y2 > y1 > y3 y

.

【点评】
-2

-1 y3

o
y1 y2

C 4 x

要善于用“数形结合”的 思想方法来解决函数问题.

A

B

2 4.考察函数 y ? 的图象,当x=-2时,y= -1 x

,当x<-2时,y的

取值范围是 -1<y<0 ;当y>-1时,x的取值范围是 x<-2或x>0 .

1.基本知识: 反比例 函数
k y= x
( k > 0)

课堂小结 图象的 位置 图象的 对称性

图 象
y

增减性

0

x

第一、 是中心对 三象限内 称图形,

k y= x ( k < 0)

y 0 x

对称中心 是原点; 是轴对称 图形,对 称轴是一 第二、 三象限或 四象限内 二四象限 的角平分 线.

在每一象限内, 函数值y随自变 量x的增大而减 小. 在每一象限内, 函数值y随自变 量x的增大而增 大.

反比例函数的图象和性质 形状 由两支曲线组成的.称它的图象为双曲线; 当k>0时,图像分别位于第一,三象限内; 当k<0时,图像分别位于第二,四象限内;

位置

增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.

对称性 (1)反比例函数的图象是轴对称图形.直线y=x和 y=-x都是它的对称轴; (2)反比例函数 y= 与 y=- 的图象关于 x轴对称,也关于y轴对称. 图象的趋势 由于x≠0,k≠0,所以y≠0,反比例函数的图象永远不 能到达两坐标轴,只是无限接近两坐标轴


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