2018年高考数学一轮复习专题6.1数列的概念与简单表示法测

专题 6.1 数列的概念与简单表示法 一、填空题 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -2n,则 a2+a18=_______ 【解析】当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-3;当 n=1 时, a1=S1=-1,所以 an=2n-3(n∈N ), 所以 a2+a18=34. 2. 数列{an}中, a1=1, 对于所有的 n≥2, n∈N 都有 a1·a2·a3·…·an=n , 则 a3+a5=_______ 9 25 61 【解析】令 n=2,3,4,5,分别求出 a3= ,a5= ,∴a3+a5= . 4 16 16 3.在各项均为正数的数列{an}中,对任意 m,n∈N ,都有 am+n=am·an.若 a6=64,则 a9 等于 _______ 【解析】 在各项均为正数的数列{an}中, 对任意 m, n∈N , 都有 am+n=am·an.∴a6=a3·a3=64, * * * 2 * 2 a3=8. ∴a9=a6·a3=64×8=512. 4.已知数列{an}满足 a1=15,且 3an+1=3an-2.若 ak·ak+1<0,则正整数 k=_______ 2 47 2 【解析】 由 3an+1=3an-2 得 an+1=an- , 则{an}是等差数列, 又 a1=15, ∴an= - n.∵ak·ak 3 3 3 +1 45 47 ?47 2 ? ?45 2 ? <0,∴? - k?·? - k?<0,∴ <k< ,∴k=23,故选 C. 2 2 ?3 3 ? ?3 3 ? * 5.在数列{an}中,已知 a1=2,a2=7,an+2 等于 anan+1(n∈N )的个位数,则 a2 015=_______ 6.如果数列{an}满足 a1=2,a2=1,且 _______ 【解析】∵ an-1-an an-an+1 = (n≥2),则这个数列的第 10 项等于 an-1 an+1 ?1? an-1-an an-an+1 an an an an 1 1 2 = ,∴1- = -1,即 + =2,∴ + = ,故? ? an-1 an+1 an-1 an+1 an-1 an+1 an-1 an+1 an ?an? 1 1 1 1 1 1 1 是等差数列.又∵d= - = ,∴ = +9× =5,故 a10= . a2 a1 2 a10 2 2 5 7.已知数列{an}中,a1=1,若 an=2an-1+1(n≥2),则 a5 的值是________. 【解析】∵an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1),∴ 首项,2 为公比的等比数列,即 an+1=2×2 n-1 n an+1 =2,又 a1=1,∴{an+1}是以 2 为 an-1+1 5 =2 ,∴a5+1=2 ,即 a5=31. 1 1 n-2 8.在数列-1,0, , ,…, 2 ,…中,0.08 是它的第________项. 9 8 n 【解析】令 n-2 2 =0.08,得 2n -25n+50=0, n2 即(2n-5)(n-10)=0. 5 解得 n=10 或 n= (舍去).即 0.08 是该数列的第 10 项. 2 ?1 ? * 9.已知数列{an}满足:a1=1,an+1(an+2)=an(n∈N ),若 bn+1=(n-p)? +1?,b1=-p,且 ? an ? 数列{bn}是单调递增数列,则实数 p 的取值范围为________. 10.设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)an+1-nan+an+1·an=0(n=1,2,3,…),则它的 通项公式 an=________. 【解析】∵(n+1)an+1+an+1·an-nan=0, ∴(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0, 又 an+1+an>0,∴(n+1)an+1-nan=0,即 ∴ · · · ·…· 二、解答题 1 2 1 * 11.已知 Sn 为正项数列{an}的前 n 项和,且满足 Sn= an+ an(n∈N ). 2 2 (1)求 a1, a2,a3,a4 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 1 * 解:(1)由 Sn= an+ an(n∈N ),可得 2 2 2 2 2 2 an+1 n = , an n+1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 a3 a4 an 1 2 3 4 n- 1 1 = × × × ×…× ,∵a1=1,∴an= . an-1 2 3 4 5 n n a1= a2 1+ a1,解得 a1=1; S2=a1+a2= a2 2+ a2,解得 a2=2; 同理,a3=3,a4=4. 1 2 1 (2)Sn= an+ an,① 2 2 1 2 1 当 n≥2 时,Sn-1= an-1+ an-1,② 2 2 ①-②,整理得(an-an-1-1)(an+an-1)=0. 由于 an+an-1≠0,所以 an-an-1=1, 又由(1)知 a1=1, 1 2 1 2 1 2 1 2 故数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,故 an=n. 12.已知数列{an}的通项公式是 an=n +kn+4. (1)若 k=-5,则数列中有多少项是负数?n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值; (2)对于 n∈N ,都有 an+1>an,求实数 k 的取值范围. * 2

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