甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 2.2.6双曲线的简单几何性质教案 新人教A版选修1-1

甘肃省金昌市第一中学 2014 年高中数学 2.2.6 双曲线的简单几何性质 教案 新人教 A 版选修 1-1

了解平面解析几何研究的主要问题: (1)根据条件,求出表示曲线的方程; (2)通过方程,研 究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念; 掌握双曲线的标准方程、 会用双曲线的定义解决实际问题; 通过 例题和探究了解双曲线的第二定义, 准线及焦半径的概念,利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义. . ◆ 过程与方法目标 (1)复习与引入过程 引导学生复习得到椭圆的简单的几 何性质的方法,在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标 准方程的讨论,研究双曲线的几何性质的理解和应用,而且 还注意对这种研究方法的进一步地培 养. ①由双曲 线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围; ②由方程的性质得到双曲线的 对称性;③由圆锥曲线顶点的统一定义,容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念;④应 用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题;⑤类比椭圆通过 P 56 的思考问题,探究双曲 线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§2.2.2 双曲线的简单几何性质. (2)新课讲授过程 (i)通过复习和预习,对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质. 提问:研究双曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对双曲线的范围、 对称性及特殊点的讨论, 可以从整体上把握曲线的形状、 大小和位置. 要 从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质. (ii)双曲线的简单几何性质 ①范围:由双曲线的标准方程得,

y 2 x2 ? ? 1 ? 0 ,进一步得: x ? ?a ,或 x ? a .这说 b2 a 2

明双曲线在不等式 x ? ?a ,或 x ? a 所表示的区域; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究双曲线的标 准方程发生变化没有,从而得到双曲线是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点:圆锥曲线的顶 点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点,由于双曲线的对称轴有实虚之分,焦点所在的对称轴叫做实轴, 焦点不在的对称轴叫做虚轴; ④渐近线:直线 y ? ?

b x2 y 2 x 叫做双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线; a a b

⑤离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 e ? (iii)例题讲解与引申、扩展

c 叫做双曲线的离心率( e ? 1 ) . a

例 3 求双曲线 9 y ? 16 x ? 144 的实半轴长和虚半轴长、 焦点的坐标、 离心率、 渐近线方程.
2 2

分析:由双曲线的方程化为标准方程,容易求出 a , b, c .引导学生用双曲线的实半轴长、 虚半
1

轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子,但要注意焦点在 y 轴上的渐近线是

y??

a x. b

扩展:求与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 共渐近线,且经过 A 2 3, ?3 点的双曲线的标准方及离心率. 16 9
3 x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x .①焦点在 x 轴上时,设所求的双曲 4 16 9

?

?

解法剖析:双曲线

1 x2 y2 3 点在双曲线上,∴ k 2 ? ? ,无解;②焦点在 y 轴上时,设 ? 2 ? 1 ,∵ A 2 3, ? 线为 2 4 16k 9k
所求的双曲线为 ?

?

?

x2 y2 1 3 点在双曲线上,∴ k 2 ? ,因此,所求双曲线 ? ? 1 ,∵ A 2 3, ? 2 2 16k 9k 4

?

?

的标准方程为

y2 x2 5 ? ? 1 ,离心率 e ? .这个要进行分类讨论,但只有一种情形有解,事实上, 9 4 3 4

x2 y 2 ? ? m ? m ? R, m ? 0 ? . 可直接设所求的双曲线的方程为 16 9
例 4 双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1) ,它的最 小半径为 12m ,上口半径为 13m ,下口半径为 25m ,高为 55m .试选择适当的坐标系,求出双曲 线的方程(各长度量精确到 1m ) . 解法剖析:建立适当的直角坐标系,设双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,算出 a, b, c 的值;此题应 注意两点:①注意建立直 a 2 b2
角坐标系的两个原则;②关于 a , b, c 的近似值,原则 上在没有注 意精确度时,看题中其他量给 定的有效数字来决定. 引申: 如图所 示, 在 P 处堆放着刚购买的草皮, 现要把这些草皮沿着道路 PA 或 PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫,已知 AP ? 150m , BP ? 100m ,

BC ? 60m ,?APB ? 60 .能否在足球场上画一条“等距离”线,在“等距离”
线的两侧的区域应该选择怎样的线路?说明理由. 解题剖析:设 M 为“等距离”线上任意一点,则 PA ? AM ? PB ? BM , 即 BM ? AM ? AP ? BP ? 50 (定值) ,∴“等距离”线是以 A 、 B 为焦点的双曲线的左支上

的一部分,容易“等距离”线方程为

x2 y2 ? ? 1? ?35 ? x ? ?25, 0 ? y ? 60 ? .理由略. 625 3750
2

例 5 如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ? 5,0? 的距离和它到直线 l : x ? 点 M 的轨迹方程. 分析:若设点 M ? x, y ? ,则 MF ?

16 5 的距离的比是常数 ,求 5 4
16 的距离 5

?x ? 5?

2

? y 2 ,到直线 l : x ?

d ? x?

16 ,则容易得点 M 的轨迹方程. 5

引申:用《几何画板》探究点的轨迹:双曲线 若点 M? x , y ? 与 定 点 F ? c,0? 的 距 离 和 它 到 定 直 线 l : x ?

a2 的距离比是常数 c

e?

a2 c l x ? ,则点 的轨迹方程是双曲线.其中定点 是焦点,定直线 : 相 c ? a ? 0 F c ,0 M ? ? ? ? c a

应于 F 的准线;另一焦点 F ? ? ?c,0? ,相应于 F ? 的准线 l ? : x ? ?

a2 . c

◆ 情感、态度与价值观目标 在合作、互动的教学氛围中,通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究,教 学相长的教学活动情 境,结合教学内容,培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观,激励学生 创新.必须让学生认同和掌握:双曲线的简单几何性质,能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率;必须让学生认同与理解:已知几何图形建立直角坐标系 的两个 原则,①充分利用图形对称性,②注意图形的特殊性和一般性;必须让学生认同与熟悉:取 近似值的两个原则:①实际问题可以近似计算,也可以不近似计算,②要求近似计算的一定要按要 求进 行计算,并按精确度要求进行,没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理;让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题, 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技 能. ◆能力目标 (1) 分析与解决问题的能力:通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解 决问题的能力. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考;培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究,培养学生的辩证思维能 力.

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