高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2_图文

4.2 4.2.1 直线、圆的位置关系 直线与圆的位置关系 自主预习 课堂探究 自主预习 课标要求 1.理解直线和圆的三种位置关系. 2.会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 3.能解决直线与圆位置关系的综合问题. 知识梳理 1.直线与圆有三种位置关系 位置关系 相交 相切 相离 交点个数 有 两个 公共点 只有一个 公共点 没有 公共点 2.直线 Ax+By+C=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系的判断 位置关系 公共点个数 几何法:设圆心到直线的距离 d= 判定方法 相交 相切 相离 两个 d< r 一个 d= r 零个 d>r Aa ? Bb ? C A2 ? B 2 代数法: ? ? Ax ? By ? C ? 0, 由? 2 2 2 x ? a ? ( y ? b ) ? r ? ? ? ? Δ >0 Δ=0 Δ<0 消元得到一元二次方程根的判别式Δ 自我检测 1.(直线与圆的位置关系判定)下列说法正确的是( (A)若直线与圆有两个交点,则直线与圆相切 (B)与半径垂直的直线与圆相切 (C)过半径外端的直线与圆相切 (D)过圆心且与切线垂直的直线过切点 2.(直线与圆的位置关系判定)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是 D ) ( B ) (B)相交但直线不过圆心 (D)相离 (A)相切 (C)直线过圆心 3.(直线与圆相切)已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切,那么a的值 是( (A)5 C ) (B)4 (C)3 (D)2 ?1 3? 4.(直线与圆相切)过圆 x +y =1 上点 ? ? 2, 2 ? ? 的切线方程为 ? ? 2 2 . 答案:x+ 3 y-2=0 2 2 5.(直线被圆截得的弦长)直线 y= 3 x 被圆 x +y -4y=0 所截得的弦长 为 答案:2 3 . 课堂探究 题型一 直线与圆位置关系的判断 【例1】 当m为何值时,直线mx-y-1=0与圆x2+y2-4x=0相交、相切、相离? 解:法一 将直线 mx-y-1=0 代入圆的方程并化简得 (1+m2)x2-2(m+2)x+1=0.Δ=4(4m+3). 所以当Δ>0 即 m>当Δ=0 即 m=当Δ<0 即 m<3 时,直线与圆相交; 4 3 时,直线与圆相切; 4 3 时,直线与圆相离. 4 法二 将圆的方程化为(x-2) +y =4. 得圆心 C(2,0),半径 r=2, 圆心 C 到直线 mx-y-1=0 的距离 d= 2 2 2m ? 1 1? m 2 . 当 d<2,即 ? 2m ? 1? 1 ? m2 2 <4,m>- 3 时,直线与圆相交; 4 当 d=2,即 m=当 d>2,即 m<- 3 时,直线与圆相切; 4 3 时,直线与圆相离. 4 题后反思 判定直线与圆位置关系的常用方法 (1)几何法:根据圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系判断. (2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断. (3)直线系法:若动直线过定点P,则点P在圆内时,直线与圆相交;当P在圆上 时,直线与圆相切或相交;当P在圆外时,直线与圆位置关系不确定. 即时训练1-1:已知圆C的方程是(x-1)2+(y-1)2=4,直线l的方程为y=x+m, 求:当m为何值时 (1)直线平分圆; (2)直线与圆相切; (3)直线与圆有两个公共点. 解:(1)因为直线平分圆,所以圆心在直线上,即有 m=0. (2)因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径 所以 d= 1 ?1 ? m 1 ?1 2 2 = m 2 =2,m=±2 2 ,即 m=±2 2 时,直线 l 与圆相切. m 2 (3)直线与圆有两公共点,d<r,即 公共点. <2,所以-2 2 <m<2 2 时有两个 题型二 直线被圆截得的弦长问题 【教师备用】 观察下面图形中直线与圆的位置关系,思考如下问题: 1.图中直线与圆的位置关系是怎样的? 提示:直线与圆是相交关系. 2.复述初中所学圆的垂径定理. 提示:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 3.若已知圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,它们三者之间有何关系? 【例2】 已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜 角为α 的弦. (1)当α =135°时,求AB的长; (2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程. 解:(1)法一 (几何法) 如图所示,过点 O 作 OC⊥AB. 由已知条件得直线 AB 的斜率为 k=tan 135°=-1, 所以直线 AB 的方程为 y-2=-(x+1), 即 x+y-1=0. 因为圆心为(0,0), 所以|OC|= ?1 2 = 2 . 2 ? 2? 30 因为 r=2 2 ,所以|BC|= 8 ? ? = , ? ? 2 ? 2 ? ? 2 所以|AB|=2|BC|= 30 . 法二 (代数法) 当α=135°时,直线 AB 的方程为 y-2=-(x+1), 即 y=-x+1,代入 x2+y2=8, 得 2x2-2x-7=0. 所以 x1+x2=1,x1x2=7 , 2 x ?1 ? 1? ? ?? ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? = 30 . 1 ? 2 所以|AB|= 1 ? k 2 |x1-x2|= (2)如图,当弦 AB 被点 P 平分时, OP⊥AB, 因为 kOP=-2,所以 kAB= 1 , 2 所以直线 AB 的方程为 y-2= 1 (x+1), 2 即 x-2y+5=0. 题后反思 (2)代数法:如图(2)所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= (直线 l 的斜率 k 存在). 几何法比代数法运算量小,

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