《1.1 正弦定理》课件2-优质公开课-北师大必修5精品

《1.1 正弦定理》课件2 ●三维目标 1.知识与技能 通过对任意三角形边长和角度的关系探索,掌握正弦定 理的内容及其证明方法;会用正弦定理与三角形内角和定理 解斜三角形的基本问题. 2.过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,探究在任意三角形中, 边与其对角的关系,引导学生观察、推导、比较,由特殊到 一般归纳出正弦定理. 3.情感、态度与价值观 培养学生在方程思想指导下处理三角形问题的运算能 力;培养学生合情推理探索数学规律的能力. ●重点难点 重点:正弦定理的探索的证明及其应用. 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数. ●教学建议 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数,此类 问题有两个、一个、零个的情况,需要进行讨论,可做如下 处理: 在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时三角形解的情况: ① a= 关系 式 bsin bsin A②a A<a< a<bsi nA a>b a≤b b ≥b 解的 一解 两解 无解 一解 无解 个数 演示结束 1. 通 过 对 特 殊 三 角 形 边 角 间 数量关系的研究,发现正弦定 理,了解其向量证法(难点). 课标解读 2.掌握正弦定理,并能解决 一些简单的三角形度量问题 (重点). 正弦定理 【问题导思】 在 Rt△ABC 中,c 为斜边,试问sinaA,sinb B,sinc C的值 相等吗?为什么?对于一般的三角形而言,sinaA,sinb B,sinc C 的值是否相等? 【提示】 在 Rt△ABC 中,∵sin A=ac,sin B=bc且 C =90°, ∴sinaA =sinb B=sinc C.对一般的三角形而言,也相等. 语言表述 在一个三角形中,各边和 它所对角的正弦 的比相等 符号表示 比值的 含义 (其中 R 为△ABC 的 外接圆半径 ) (1)a=_2_R_s_i_n_A__,b=_2_R_s_in__B__, c=_2_R_s_in_C___; a 变形 (2)sin A=__2_R_____sin B= b c ___2_R____,sin C=___2_R____; (3)a∶b∶c=_s_in_A__∶__s_in_B__∶_s_i_n_C_ 作用 揭示了三角形边、角之间的数量关系 【问题导思】 在 Rt△ABC 中,c 为斜边,三角形的面积与12absin C,12 bcsin A,21acsin B 的值相等吗?猜想一下在一般三角形中是 否成立? 【提示】 ∵C=90°,∴S△ABC=12ab=12absin C, 设边 c 上的高为 h, 则 sin B=ha,sin A=hb, ∴S△ABC=12hc=12acsin B=12bcsin A, ∴在 Rt△ABC 中,c 为斜边,三角形的面积与12absin C, 1 2bcsin A ,12acsin B 的值相等.猜想在一般三角形中也成立. 1 三角形 ABC 的面积:S= 2absinC 1 1 = 2bcsinA = 2acsinB . 利用正弦定理解三角形 在△ABC 中, (1)若 A=45°,B=30°,a=2,求 b,c 与 C; (2)若 B=30°,b=5,c=5 3,求 A、C 与 a. 【思路探究】 (1)已知 A,B,如何求 C?在正弦定理中 b,c 分别怎样表示? (2)已知 B,b,c 运用正弦定理可先求出哪个量? 【自主解答】 (1)由三角形内角和定理,得: C=180°-(A +B )=180°-(45°+30°)=105°. 由正弦定理sinaA=sinb B=sinc C,得 b=assiinnAB=2ssiinn4350°°=2×221= 2, 2 sin 105°=sin(60°+45°)= 6+ 4 2, c=assiinnAC=2ssiinn 4150°5°=2× 6+ 4 2 2 = 3+1. 2 (2)∵b=5,c=5 3,B=30°, ∴c·sin B<b<c, ∴△ABC 有两解, 由正弦定理得:sin C=csibn B= 23, ∴C=60°或 120°. 当 C=60°时,A=90°,易得 a=10; 当 C=120°时,A=30°,此时 a=b=5. 1.已知两角与任一边解三角形,可先利用三角形内角和 定理求第三个角,再利用正弦定理求出两未知边. 2.已知△ABC 的两边 a,b 和角 A,判断三角形解的个 数,有以下两种方法: 法一 作图判断. 作出已知角 A,边长 b,以点 C 为圆心,以边长 a 为半 径画弧,与射线 AB 的公共点(除去顶点 A)的个数即为三角形 解的个数. 法二 根据三角函数的性质来判断. 由正弦定理,得 sin B=bsian A ,当bsian A >1 时,无解; 当bsian A=1 时,有一解;当bsian A<1 时,如果 a≥b,即 A≥ B,则 B 一定为锐角,有一解;如果 a<b,即 A<B,有两解. 本例(2)中,若 B=60°,b=4 3,a=4 2,如何求解? 【解】 由正弦定理sinaA =sinb B=sinc C,得 sin A=asibn B=4 2sin 60°= 43 22, 又 a<b,∴A=45°,C=180°-A -B=75°. ∴c=bssiinnBC=4 s3insi6n07°5°=4 3× 2+ 4 3 6 =2( 2+ 6). 2 三角形的面积问题 在△ABC 中,sin(C-A)=1,sin B=13. (1)求 sin A 的值; (2)设 AC= 6,求△ABC 的面积. 【思路探究】 (1)先寻找角 A、B 间的关系,再求 sin A. (2)先由正弦定理求 BC,再代入三角

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