贵州省遵义四中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

贵州省遵义四中 2014-2015 学年高一上学期期中数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|1<x<3},B={x|x≤2},则集合 A∩B() A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2]

2. (5 分)已知函数 f(x)= A.﹣4 B. 4
0.2

,则 f(﹣2)=() C. 8
2.1

D.﹣8

3. (5 分)已知 a=1.7 ,b=log2.10.9,c=0.8 ,则() A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b
x﹣1

D.c>b>a

4. (5 分)函数 f(x)=a +2(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点() A.(1,3) B.(0,1) C.(1,1) D.(0,3) 5. (5 分)已知函数 f(x)=5 ,g(x)=ax ﹣x(a∈R) ,若 f=1,则 a=() A.1 B. 2 C. 3 D.﹣1 6. (5 分)已知 f(x)=ax +bx 是定义在上的偶函数,那么 a+b 的值是() A. B. C. D.
2 |x| 2

7. (5 分)下列函数中,满足对任意 x1,x2∈(0,1) (x1≠x2) ,都有 0 的函数是() A.y= B.y=(x﹣1)
2 2



C.y=2

﹣x

D.y=log2(x+1)

8. (5 分)函数 f(x)=(m ﹣m﹣5)x 实数 m=() A.3 或﹣2 B . ﹣2
2

m﹣1

是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时 f(x)是增函数.则 C. 3 D.﹣3 或 2

9. (5 分)函数 f(x)=ax +bx+c,若 f(1)<0,f(2)>0,则 f(x)在(1,2)上零点的 个数为() A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有

10. (5 分)函数

的值域为()

A.

B.

C.(0, ]
2

D.(0,2]

11. (5 分)函数 f(x)=log A.(7,+∞)

(x ﹣6x﹣7)的单调递增区间为() C.(3,+∞) D.(﹣∞,﹣1)

B.(﹣∞,3)

12. (5 分)已知函数 f(x)= 值范围是() A.(0, ] B.(0, ]

(a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数,则 a 的取

C.(0,1)

D.(0,2)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)lg5+2lg =. 14. (5 分)y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x ﹣2x,则 f(﹣3)=. 15. (5 分)函数 f(x)= 的定义域是.
2

16. (5 分)已知偶函数 f(x)在上的最大值和最小值; (2)要使函数 f(x)在区间上单调递增,求 b 的取值范围. 19. (12 分)2014-2015 学年高一某个研究性学习小组进行市场调查,某生活用品在过去 100 天的销售量和价格均为时间 t 的函数, 且销售量近似地满足 g (t) =﹣t+110 (1≤t≤100) , t∈N. 前 40 天的价格为 f(t)=t+8(1≤t≤40) ,后 60 天的价格为 f(t)=﹣0.5t+69(41≤t≤100) . (1)试写出该种生活用品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系式; (2)试问在过去 100 天中是否存在最高销售额,是哪天? 20. (12 分)函数 f(x)=log2 ?log (2x)的最小值为.

21. (12 分)已知函数 f(x)= (1)若 a=﹣1,证明 f(x)= (2)若函数 f(x)=

(a≠ ) . 在区间(1,+∞)上是减函数;

在区间(﹣1,+∞)上是单调函数,求实数 a 的取值范围.
x x+1

22. (12 分)已知函数 f(x)=a?4 ﹣2 (1)若 a=0,解方程 f(2x)=﹣4;

﹣a.

(2)若函数 f(x)=a?4 ﹣2

x

x+1

﹣a 在上有零点,求实数 a 的取值范围.

贵州省遵义四中 2014-2015 学年高一上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|1<x<3},B={x|x≤2},则集合 A∩B() A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2] 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 集合. 先利用数轴表示集合 A,B,然后取公共部分,在写成集合形式. 解:集合 A={x|1<x<3},B={x|x≤2},在数轴上表示出来,如图,则 A∩B={x|1<

x≤2}. 故选:D. 点评: 本题考察集合的交集的运算,利用 数轴数形结合求解,数形结合的数学思想是高中 数学中重要的思想.

2. (5 分)已知函数 f(x)= A.﹣4 B. 4

,则 f(﹣2)=() C. 8 D.﹣8

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 2 分析: 由 x<0 时,f(x)=x ,把 x=﹣2 直接代入即可求解函数值 2 解答: 解:∵x<0 时,f(x)=x ∴f(﹣2)=4 故选 B 点评: 本题主要考查了分段函数的函数值的求解,解题的关键是明确函数的解析式 3. (5 分)已知 a=1.7 ,b=log2.10.9,c=0.8 ,则() A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.
0.2 2.1

D.c>b>a

解答: 解:∵1<a=1.7 ,b=log2.10.9<0,0<c=0.8 <1. ∴a>c>b. 故选:B. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 4. (5 分)函数 f(x)=a +2(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点() A.(1,3) B.(0,1) C.(1,1) D.(0,3) 考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 x﹣1=0,即 x=1 时,y=a +2 =3,故可得函数 y=a 经过定点.
0 0 x﹣1 x﹣1

0.2

2.1

+2(a>0,且 a≠1)的图象必

解答: 解:令 x﹣1=0,即 x=1 时,y=a +2=3 x﹣ 1 ∴函数 y=a +2(a>0,且 a≠1)的图象必经过点(1,3) 故选:A 点评: 本题考查函数过特殊点,解题的关键是掌握指数函数的性质,属于基础题. 5. (5 分)已知函数 f(x)=5 ,g(x)=ax ﹣x(a∈R) ,若 f=1,则 a=() A.1 B. 2 C. 3 D.﹣1 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的表达式,直接代入即可得到结论. 2 解答: 解:∵g(x)=ax ﹣x(a∈R) , ∴g(1)=a﹣1, 若 f=1, 则 f(a﹣1)=1, 即5 =1,则|a﹣1|=0, 解得 a=1, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数值的计算,利用条件直接代入解方程即可,比较基础. 6. (5 分)已知 f(x)=ax +bx 是定义在上的偶函数,那么 a+b 的值是() A. B. C. D.
2 |a﹣1| |x| 2

考点: 偶函数. 专题: 常规题型. 分析: 依照偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x) ,且定义域关于原点对 称,a﹣1=﹣2a. 解答: 解:依题意得:f(﹣x)=f(x) ,∴b=0,又 a﹣1=﹣2a,∴a= , ∴a+b= .

故选 B. 点评: 本题考查偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x) ;奇函数和偶函数 的定义域必然关于原点对称, 定义域区间 2 个端点互为相反数.

7. (5 分)下列函数中,满足对任意 x1,x2∈(0,1) (x1≠x2) ,都有 0 的函数是() A.y= B.y=(x﹣1)
2



C.y=2

﹣x

D.y=log2(x+1)

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件可得,要选的函数在(0,1)上是增函数.逐一判断各个选项中的函数,是 否满足在(0,1)上是增函数,从而得出结论 . 解答: 解:∵对任意 x1,x2∈(0,1) (x1≠x2) ,都有 (0,1)上是增函数, 而 y= B; y=2 =
﹣x

>0,故函数在

在(0,1)上无意义,故排除 A; y=(x﹣1) 在(0,1)上是减函数,故排除

2

在(0,1)上是减函数,故排除 C,函数 y=log2(x+1)在(0,1)上是增函

数,满足条件, 故选:D. 点评: 本题主要考查函数的单调性的判断,属于基础题. 8. (5 分)函数 f(x)=(m ﹣m﹣5)x 实数 m=() A.3 或﹣2 B . ﹣2 考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)=(m ﹣m﹣5)x 是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时 f(x)是增函数.可 2 得 m ﹣m﹣5=1,m﹣1>0,解出即可. 2 m﹣1 解答: 解:∵函数 f(x)=(m ﹣m﹣5)x 是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时 f(x)是增 函数. 2 ∴m ﹣m﹣5=1,m﹣1>0, 解得 m=3. 故选:C. 点评: 本题考查了幂函数的定义及其单调性,属于基础题.
2 m﹣1 2 m﹣1

是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时 f(x)是增函数.则 C. 3 D.﹣3 或 2

9. (5 分)函数 f(x)=ax +bx+c,若 f(1)<0,f(2)>0,则 f(x)在(1,2)上零点的 个数为() A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 结合函数的图象进行判断,由 f(1)<0,f(2)>0 可知二次函数的图象在(1,2) 之间有且只有一个交点. 解答: 解:结合二次函数的图象可知:函数 f(x)的图象与 x 轴在(1,2)上有且只有一 个交点.

2

故选 C. 点评: 本题考查的是利用图象研究函数零点的方法.要注意函数图象实际上反映的是函数 的性质,因此必须把图象所对应的函数性质先了解清楚再作图象.

10. (5 分)函数 A. B.

的值域为() C.(0, ] D.(0,2]

考点: 指数型复合函数的性质及应用;二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 令 t(x)=2x﹣x =﹣(x﹣1) +1≤1,结合指数函数 y= 值域 2 2 解答: 解:令 t(x)=2x﹣x =﹣(x﹣1) +1≤1 ∵ 单调递减
2 2

的单调性可求函数的



即 y≥

故选 A 点评: 本题主要考查了指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性,属于基础试题

11. (5 分)函数 f(x)=log A.(7,+∞)

(x ﹣6x﹣7)的单调递增区间为() C.(3,+∞) D.(﹣∞,﹣1)

2

B.(﹣∞,3)

考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设 t=x ﹣6x﹣7,根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论. 2 解答: 解:由 x ﹣6x﹣7>0 解 得 x>7 或 x<﹣1,即函数的定义域为{x|x>7 或 x<﹣1}, 2 设 t=x ﹣6x﹣7,则函数 y=log t 为减函数, 根据复合函数单调性之间的关系知要求函数 f(x)的 单调递增区间, 即求函数 t=x ﹣6x﹣7 的递减区间, 2 ∵t=x ﹣6x﹣7,递减区间为(﹣∞,﹣1) , 则函数 f(x)的递增区间为(﹣∞,﹣1) , 故选:D 点评: 本题主要考查函数单调区间的求解,利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是 解决本题的关键.
2 2

12. (5 分)已知函数 f(x)= 值范围是() A.(0, ] B.(0, ]

(a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数,则 a 的取

C.(0,1)

D.(0,2)

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 ,化简求得 a 的取值范围.

解答: 解:由 f(x)是(﹣∞,+∞)上的减函数,可得

,化简得

, 故选 B. 点评: 本题主要考查函数的单调性的性质,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)lg5+2lg =1. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 直接利用对数的运算法则求解即可. 解答: 解:lg5+2lg =lg5+lg2=lg10=1; 故答案为:1. 点评: 本题考查对数的运算法则的应用,基本知识的考查. 14. (5 分)y =f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x ﹣2x,则 f(﹣3)=﹣3. 考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用函数的奇偶性,以及函数的解析式求解即可. 2 解答: 解:y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x ﹣2x, 2 则 f(﹣3)=﹣f(3)=﹣(3 ﹣2×3)=﹣3; 故答案为:﹣3. 点评: 本题考查函数的奇偶性以及函数值的求法,基本知识的考查. 15. (5 分)函数 f(x)= 的定义域是(﹣1,0].
2

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 要使函数有意义,则需 x+1>0,且 log0.2(x+1)≥0,解得即可得到定义域. 解答: 解:要使函数有意义,则需 x+1>0,且 log0.2(x+1)≥0, 即 x>﹣1 且 x+1≤1, 解得,﹣1<x≤0, 则定义域为(﹣1,0]. 故答案为: (﹣1,0]. 点评: 本题考查函数的定义域的求法,注意偶次根式被开方式非负,对数的真数大于 0,属 于基础题. 16. (5 分)已知偶函数 f(x)在 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分)已知函数 f(x)=lg(x﹣2)的定义域为 A,函数 值域为 B. (1)求 A∩B; (2)若 C={x|x≥2m﹣1}且(A∩B)?C,求实数 m 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: (1)求出两个集合的定义域,由交集的定义求两个集合的交集; (2) (A∩B)?C,由子集的定义通过比较端点可以得出 2m﹣1≤2,即可得到实数 m 的取值范 围 的

解答: 解: (1)由题意知:A=(2,+∞) ,B=, (4 分) ∴A∩B={x|2<x≤3}; (6 分) (2)由题意:{x|2<x≤3}?{x|x≥2m﹣1},故 2m﹣1≤2, (10 分) 解得 ,所以实数 m 的取值集合为 . (12 分)

点评: 本题考查交并补集的混合运算,以及集合中的参数问题,求解本题的关键是正确求 出两个函数的定义域, 以及根据集合的包含关系做出正确的判断. 求参数时要注意验证端点是 否能取到,这是一个易出错的地方. 18. (12 分)已知函数 f(x)=x +bx+c,且 f(1)=0. (1)若 b=0,求函数 f(x)在区间上的最大值和最小值; (2)要使函数 f(x)在区间上单调递增,求 b 的取值范围. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)由题得 b=0 且 f(1)=0 联立解得 =8,f(x)min=f(0)=﹣1 (2)因为函数 f(x)在区间上单调递增,所以函 数 f(x)=x +bx+c 的对称轴 x= 区间的左边,即﹣ ≤﹣1 所以 b≥2. 解答: 解: (1)由题意,得 ∴ .
2 2 2

∴f(x)=x ﹣1 所以 f(x)max=f(3)

2

应该在



∴f(x)=x ﹣1 2 所以 f(x)=x ﹣1 的对称轴为 x=0 ∴0∈ 因此当 x∈时,f(x)max=f(3)=8 f(x)min=f(0)=﹣1 (2)由题意知:函数 f(x)=x +bx+c 的对称轴为 x= ∴当﹣ ≤﹣1,即 b≥2 时, f(x)在区间上是递增的. 2 所以 b 的取值范围为上为增函数,∴当 t=40 时,Smax=﹣40 +102×40+880=3360; 当 41≤t≤100 时,S=0.5t ﹣124t+7 590=0.5(t﹣124) +7590﹣ ×124 , 在上函数为减函数, 2 ∴t=41 时,Smax=41 ×0.5﹣124×41+7 590=3346.5. ∴在过去 100 天中第 40 天的销售额最高,最高值为 3360 元. 点评: 本题考查函数模型的建立,考查函数的最值,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题.
2 2 2 2

20. (12 分)函数 f(x)=log2

?log

(2x)的最小值为﹣ .

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算性质进行化简转化为一元二次函数求最值即可. 解答: 解:因为函数 f(x)=log2 又 f(x)=log2 = 所以,当 故答案为:﹣ . 点评: 本题主要考查对数的运算性质和一元二次函数的最值. ?log = ,即 时,f(x)取得最小值﹣ , (2x) ?log (2x) ,所以函数的定义域为{x|x>0},

21. (12 分)已知函数 f(x)= (1)若 a=﹣1,证明 f(x)= (2)若函数 f(x)=

(a≠ ) . 在区间(1,+∞)上是减函数;

在区间(﹣1,+∞)上是单调函数,求实数 a 的取值范围.

考点: 函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)将 a=﹣1 代入,求出函数的导数,从而得到函数的单调性; (2)先将函数的表达式变形,分别讨论函数在区间(﹣1,+∞)递增,递减是的情况,得到 不等式组,从而求出 a 的范围. 解答: 解: (1)a=﹣1 时,f(x)=2+ ,

∵f′(x)=﹣

<0,

∴f(x)在(1,+∞)递减; (2)f(x)=2+ ∵a≠ ,∴1﹣2a≠0, 当 f(x)在(﹣1,+∞ )上单调递增时, ,∴a≥1; ,

当 f(x)在(﹣1,+∞)上单调递减时, ∴ ,无解,

综上:a≥1. 点评: 本题考查了函数的 单调性问题,考查了分类讨论,是一道中档题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=a?4 ﹣2 ﹣a. (1)若 a=0,解方程 f(2x)=﹣4; x x+1 (2)若函数 f(x)=a?4 ﹣2 ﹣a 在上有零点,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数零点的判定定理;函数的零点. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)代入 a=0,从而求解方程; (2)令 t=2 ,x∈,则 t∈;a=
x x x+1

=
2x+1

,令 g(t)=t﹣ ,从而求解 a.

解答: 解: (1)由题意,f(2x)=﹣2 解得,x= . (2)令 t=2 ,x∈,则 t∈; 2 由题意,at ﹣2t﹣1=0 在上有零点, a= = ,令 g(t)=t﹣ ,
x

=﹣4,

则 g(t)在上为增函数. 则 g(t)∈,从而 a∈. 点评: 本题考查了函数的零点的解法,属于基础题.


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