高考总复习数学(理科)专题复习课件:专题五 圆锥曲线的综合及应用问题 第1课时_图文

专题五 圆锥曲线的综合及应用问题 第1课时 题型1 圆锥曲线的基本性质 x2 例 1:(1)(2016 年浙江)已知椭圆 C1:m2+y2=1(m>1)与双 x2 2 曲线 C2:n2-y =1(n>0)的焦点重合,e1,e2 分别为 C1,C2 的离 心率,则( ) B.m>n,且 e1e2<1 D.m<n,且 e1e2<1 A.m>n,且 e1e2>1 C.m<n,且 e1e2>1 解析:由题意知,m2-1=n2+1,即 m2=n2+2,(e1e2)2= m2-1 n2+1 ? 1 ?? 1? 2 × 2 =?1- 2??1+ 2?, m ?? n? m n ? 代入 m2=n2+2,得 m>n,(e1e2)2>1.故选 A. 答案:A x2 (2)(2016 年新课标Ⅲ)已知 O 为坐标原点, F 是椭圆 C: a2+ y2 b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左,右顶点.P 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M, 与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率 为( )(导学号 58940129) 1 A.3 1 B.2 2 C.3 3 D .4 解析:由题意设直线 l 的方程为 y=k(x+a), 分别令 x=-c 与 x=0 得|FM|=k(a-c). |OE|=ka, 由△OBE 1 2|OE| |OB| ka a c 1 ∽△FBM,得 |FM| = |BF| ,即 = .整理,得a=3. 2k?a-c? a+c 1 所以椭圆的离心率为 e=3.故选 A. 答案:A 【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法:① 直接求得 a,c 的值,进而求得 e 的值;②建立 a,b,c 的齐次 b 等式,求得a或转化为关于 e 的等式求解;③通过特殊值或特殊 位置,求出 e. 【互动探究】 x2 y2 1.从椭圆a2+b2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足 恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心 率是( C ) 1 B.2 2 C. 2 3 D. 2 2 A. 4 b2 b 解析:由题,得 kAB=-a,kOP=-ac,∵AB∥OP,∴kAB 2 c 1 2 2 2 2 2 =kOP.∴b=c.∵a =b +c ,∴e =a2=2.∴e= 2 . x 2 y2 2.(2014 年重庆)设 F1,F2 分别为双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点,若双曲线上存在一点 P 使得(|PF1|-|PF2|)2 =b2-3ab,则该双曲线的离心率为( A. 2 C.4 B. 15 D. 17 ) 解析:由双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=2a.则结合条件, 得 4a2=b2-3ab. 两边同除以 a ?b? 1+?a?2= ? ? 2 ?b? b b c 2 ? ? ,得 a - 3· a - 4 = 0. 解得 a = 4. ∴ e = a = ? ? 1+4= 17. 故选 D. 答案:D 题型2 圆锥曲线中的定点问题 作为高考的一个热点,从考纲的要求以及全国各省高考命 题的趋势来看,圆锥曲线背景下的定点与定值问题要引起我们 的高度重视,特别是和向量、不等式的结合.关于定点与定值 问题,一般来说从两个方面来解决:(1)从特殊入手,求出定点 或定值,再证明这个点或值与变量无关;(2)直接推理、计算, 并在计算的过程中消去变量,从而得到定点或定值. 例 2:已知定点 F(3,0)和动点 P(x,y),H 为 PF 的中点,O 为坐标原点,且满足|OH|-|HF|=2. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)过点 F 作直线 l 与点 P 的轨迹交于 A, B 两点, 点 C(2,0). 连 4 接 AC,BC 与直线 x=3分别交于点 M,N.试证明以 MN 为直径 的圆恒过点 F. 解:(1)如图 5-1,取 F′(-3,0),连接 PF′, ∵|OH|-|HF|=2,∴|PF′|-|PF|=4. 图 5-1 由双曲线定义知,点 P 的轨迹是以 F′,F 为焦点的双曲 线的右支,∴a=2,c=3,∴b2=c2-a2=9-4=5, ∴点P的轨迹方程为—-—=1(x>0). 4 5 x2 y2 (2)设 程为 ?4 ? ?4 ? A(x1,y1),B(x2,y2),M?3,m?,N?3,n?,直线 ? ? ? ? l 方 ? ?x=ty+3, x=ty+3,联立? 2 2 ? 5 x - 4 y =20. ? 30t ? ?y +y = - , 2 1 2 5 t - 4 ? 整理,得(5t2-4)y2+30ty+25=0,? 25 ?y · , 1 y2 = 2 ? 5 t - 4 ? y1 m ∵A,C,M 三点共线,∴ =4 . x1-2 3-2 2 y1 ∴m=-3· , x 1 -2 2 y2 同理 n=-3· , x2-2 ?4 ?4 2 y1 ? 2 y2 ? ? ? ? ? ,- , M?3,-3· , N ? ?3 ?. 3 x - 2 x - 2 1 2 ? ? ? ? →· → FM FN ?4 ? 2 y1 ? 2 y2 ? ? ? ?4 ? - 3 ,- · =?3-3,-3· · ? 3 x2-2? x1-2? ? ? ?3 ? 25 4 y1· y2 = 9 +9· t2y1· y2+t?y1+y2?+1 25 2 5 t -4 25 4 = 9 +9· -30t 25 2 t·2 +t· 2 +1 5t -4 5t -4 25 4 25 25 4 ? 25? = 9 +9· 2 = 9 +9×?- 4 ? 2 2 25t -30t +5t -4 ? ? 25

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