2.1单调数列、数列的递推公式_图文

数列的概念及表示(二)
? 知识要点: ? 数列的递推公式 ? 单调数列的概念及应用 ? 已知数列的前n项和求通项 ? 已知数列的递推公式求通项

(一)、数列的递推公式
a1=4 a2=5=a1+1 a3=6=a2+1 ………… an=an-1+1(2≤n≤7)

定义:已知数列{an}的第1项(或前几 项),

且任意一项an与前一项an-1(或前几项)间的关 系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做数 列的递推公式

例1.已 知a1 ? 1, a n ? 1 ?

1 a n ?1

( n ? 2), 写 出 这 个 数 列 的 前 5项

解:a1=1,
1 a2 ? 1? ? 2 1

1 3 a3 ? 1 ? ? 2 2

2 5 a4 ? 1 ? ? 3 3

3 8 a5 ? 1 ? ? 5 5

通项公式与递推公式的异同

(二)单调数列的定义
①若an+1>an,对任意的正整数n都成立,则{an} 称为递增数列; ②若an+1<an,对任意的正整数n都成立,则{an} 称为递减数列; ③若an+1=an,对任意的正整数n都成立,则{an} 称为常数数列。 ④摆动数列

练习:
1 .若an=an-1-3,则{an}是单调递_______数列

∵an-an-1=-3<0 ∴{an}是递减
an?1 1 2.已知数列{an }满足a1 ? 0, ? , 则{an }是 (B) an 2
A.递增数列
C.摆动数列

B.递减数列
D.不确定

例2.已知 a ? n ? 1 ? n 2 , n 求证:{an}是单增的
n ? 1? n ?(n ? 1) ? 1 ? (n ? 1) 2 ? ?(n ? 1) ? 1 ? ( n ? 1) 2 ? ? n ? 1 ? n 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? 1 ? n2 ? ? n ? 1 ? n 2 ? ?(n ? 1) ? 1 ? (n ? 1) 2 ? ? ?? ?? ? n ? 1 ? n2 ? ?1 (n ? 1) ? 1 ? (1 ? n) 2
2

证明 :

an ?1 Q ? an

(n ? 1) ? 1 ? (n ? 1) 2

而an ? n ? 1 ? n ? 0
2

∴an+1>an,即{an}是单增的

例3、若数列?an ?为递增数列,且an ? n ? ?n(n ? N )
2 *

求实数?的取值范围.
? an ?1 ? an ? 0对n ? N*恒成立 ? ? ? ?2n ? 1对n ? N*恒成立 ? ? ? ?3

9 n 例4、已知a n ? (n ? 1)( ) (n ? N * ), 10 试问数列?an ?中有没有最大项?如果有, 求出最大项;如果没有,说明理由。

?an ? an?1 ,8 ? n ? 9,(若为8.2 ? n ? 9.8时,即n ? 9) ? ?an ? an?1

练习: 已知数列?an ?的通项公式为an ? n ? 5n ? 4,
2

(1)数列中有多少项是负数?前多少项和最小? (2)n为何值时,an有最小值?并求最小值。 (变式:若an ? 2n 2 ? 11n呢?)
an ? 0 ? 1 ? n ??? S3或S 4 最小。

( 1 )an ? 0 ? 1 ? n ? 4 ? 有两个负项,

5 2 9 (2)an =(n ? ) ? ,? n ? 2或n ? 3时, 2 4 an 最小,最小为a2 =a3 = ? 2. ? an ? an +1 另法: 。 ? ? an ? an ?1

(三)Sn法:若数列的前n项和记为Sn,即
Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an

当n ? 1时,a1 ? S1, 当n ? 2时,an ? Sn -Sn?1.
(n ? 1) ? S1 即an ? ? ? Sn ? Sn?1 (n ? 2)

例5.已知{an}的前n项和Sn ? n +n-2 ,
2

求an .
解:当n=1时,a1 ? S1 =0, 当n ? 2时,a n ? Sn-Sn ?1 =n +n-2-(n- 1) -(n- 1)+2 ? 2n
2 2

?0 ? an ? ? ? 2n

(n ? 1) (n ? 2)

练习: 1.若Sn ? n -1,求a n
2

2.若Sn ? 2n -3n,求a n
2

3、已知Sn ? 3 ?1, 求an
n

? ? 0 (n ? 1) () 1 an ? ? ? ?2n ? 1 (n ? 2)

(2)an=4n ? 5

an 1、a1 ? (a 2 ? a1 ) ? (a 3 ? a 2 ) ??? (a n ? a n ?1 ) ? _______

(四)累加、累乘法求an

若a n ? a n ?1 ? 2(n ? 2),a1 ? 1, 则a n ? ________ 2n-1

an a 2 a3 an 2、a1 ? ? ????? ? ______ a1 a 2 a n ?1 a n ?1 2n-1 =2,a1 ? 1, 则a n ? _______ an

作业: 1、已知数列?an ?中,a1 ? 1, an ?1 ? an ? (?1) ,
n

则a100 ? ____ .
2、设 ?an ? 是首项为1的正项数列,并且 (n ? 1)a
2 n ?1

? na ? an ?1 ? an ? 0(n ? 1, 2,L ?),
2 n

则它的通项公式是an ? ____ .

3、数列?an ?中,a1 ? 2a2 ? 3a3 ? L ? ? nan ? n(n ? 1)(n ? 2), 求an .

4、周期数列 an ? 2 ? an ?1 ? an , 求a100

已知数列?an ?中,a1 ? 1, a2 ? 5,

1、(周期问题,a100 ? 0)
an ?1 n 2、(因式分解 ? ? , 累乘: an n ?1 an a3 2 a2 1 n ? 1 an ?1 n ? 2 n ? 2, ? , ? ,.... ? , ? , an ?1 n an ? 2 n ?1 a2 3 a1 2 1 补验a1得:an ? n an ?1 n 或利用 ? ? (n ? 1)an ?1 ? nan ? nan ? 1? a1 an n ?1 1 得an ? ) n

3、(n ? 2时,a1 ? 2a2 ? 3a3 ? L ??(n ? 1)a n?1 ? nan =n(n ? 1)(n ? 2), () 1 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? L ??(n ? 1)a n?1 =(n ?1) n( n ? 1), (2)

(1)-(2)得n ? 2,an ? 3(n ? 1)

已知等式令n=1求a1 =6,验证得an ? 3(n ? 1),(n ? N* ))

4、(由an? 2 ? an?1 ? an, an?3 ? an? 2 ? an?1得 an?3 ? ?an,又an?6 ? ?an +3,则T ? 6 那么a100 =a4 = ? 1)


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