高考数学总复习第四章三角函数、解三角形高考大题专项突破2高考中的三角函数与解三角形课件理新人教A版

高考大题专项突破二 高考中的三角函数与解三角形 -2- 从近五年的高考试题来看,高考对三角函数与解三角形的考查呈 现出较强的规律性,每年的题量和分值要么三个小题15分,要么一 个小题一个大题17分.在三个小题中,分别考查三角函数的图象与 性质、三角变换、解三角形;在一个小题一个大题中,小题要么考 查三角函数的图象与性质,要么考查三角变换,大题考查的都是解 三角形. -3题型一 题型二 题型一 正弦定理、余弦定理与三角形面积的综合问题 例1已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2,且 (2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C. (1)求角A的大小; (2)求△ABC的面积的最大值. (1)在△ABC 中, 因为∠A=60° ,c=7a,所以由正弦定理得 sin C= (2)因为 a=7,所以 c= ×7=3. 7 3 3 sin 关闭 =7× 1 3 3 2 = 3 3 14 . 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A 得 72=b2+32-2b×3×2,解得 b=8 或 b=-5(舍). 1 1 3 所以△ABC 的面积 S=2bcsin A=2×8×3× 2 =6 3. 答案 -4题型一 题型二 解题心得正弦定理和余弦定理是解三角形时用到的两个重要定 理,其作用主要是将已知条件中的边角关系转化为纯边或纯角的关 系,使问题得以解决. -5题型一 题型二 对点训练1在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知 3(b2+c2)=3a2+2bc. (1)若 sin B= 2cos C, 求 tan C 的大小; (2)若 a=2, △ABC 的面积 S= 2 , 且 b>c, 求 b,c. 2 -6题型一 题型二 解: (1)∵3(b2+c2)=3a2+2bc, ∴ 2 + 2 - 2 2 1 = 3, 2 2 3 1 ∴cos A=3,∴sin A= . ∵sin B= 2cos C, ∴sin(A+C)= 2cos C, ∴ 2 2 3 2 cos C+3sin C= 2cos C, 1 1 ∴ 3 cos C=3sin C,∴tan C= 2. -7题型一 题型二 (2)∵△ABC 的面积 S= 2 , 2 ∴2bcsin A= 2 ,∴bc=2. ∵a=2,∴ 1 2 3 ① 2+c2=5. ∴ b 3 1 2 2 由余弦定理可得 4=b +c -2bc× , 3 2 2 ② ∵b>c,∴联立①②可得 b= ,c= . 2 2 -8题型一 题型二 例2已知在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积 是△ADC面积的2倍. sin (1)求sin ; 2 (2)若 AD=1,DC= 2 , 求 BD 和 AC 的长. -9题型一 题型二 解: (1)S△ABD=2AB· ADsin∠BAD, S△ADC=2AC· ADsin∠CAD. 因为 S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以 AB=2AC. 由正弦定理可得sin = = 2. (2)因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以 BD= 2. 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD· DCcos∠ADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1. sin 1 1 1 -10题型一 题型二 解题心得对于在四边形中解三角形的问题或把一个三角形分为 两个三角形来解三角形的问题,分别在两个三角形中列出方程,组 成方程组,通过加减消元或者代入消元,求出所需要的量;对于含有 三角形中的多个量的已知等式,化简求不出结果,需要依据题意应 用正弦定理、余弦定理再列出一个等式,由此组成方程组通过消元 法求解. -11题型一 题型二 对点训练2(2017江苏无锡一模,15)在△ABC中,a,b,c分别为角 π A,B,C的对边.若acos B=3,bcos A=1,且A-B= . 6 (1)求c的值; (2)求角B的大小. 解: (1)∵acos B=3,∴a× bcos A=1,b× 2 + 2 - 2 2 2 + 2 - 2 2 =3,化为 a2+c2-b2=6c,① =1, 化为b2+c2-a2=2c.② 解由①②组成的方程组得2c2=8c,即c=4. -12题型一 题型二 (2)由(1)可得 a -b =8.由正弦定理可得sin = sin = sin , 2 2 4 又 A-B= ,∴A=B+ ,C=π-(A+B)=π- 2 + 6 6 π π π 6 , 可得 sin C=sin 2 + π 6 . ∴a= b= 4sin + sin π 6 π 2+ 6 π 6 , 4sin sin 2+ . π π ∴16sin2 + 6 -16sin2B=8sin2 2 + 6 , -13题型一 题型二 ∴1-cos 2 + 3 -(1-cos 2B)=sin2 2 + 6 , 即 cos 2B-cos 2 + 3 =sin2 2 + 6 , π π π π π ∴-2sin 2 + 6 sin - 6 =sin2 2 + 6 , π π π ∴sin 2 + 6 =0 或 sin 2 + 6 =1,B∈ 0, 12 ,解得 B=6 . π 5π π -14题型一 题型二 题型二 正弦定理、余弦定理与三角变换的综合 例3(2017天津,理15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 3 已知a>b,a=5,c=6,sin B= . 5 (1)求b和sin A的值; (2)求 sin 2 +

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