2017年全国高中数学联合竞赛加试(B卷)答案

2017 年全国高中数学联合竞赛加试(B 卷)参考答案及评分标准 说明: 1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次,不得增加其他中间档次. 一、(本题满分 40 分)设实数 a , b , c 满足 a b c 0 .令 d max{| a |, | b |, | c|}. 证明: (1 a )(1 b )(1 c ) 1 d 2 . 证明:当 d 1 时,不等式显然成立. …………………10 分 以下设 0 d 1.不妨设 a , b 不异号,即 ab 0 ,那么有 (1 a )(1 b ) 1 a b ab 1 a b 1 c 1 d 0 . …………………20 分 因此 (1 a )(1 b )(1 c ) (1 c )(1 c ) 1 c 2 1 c 2 1 d 2 . …………………40 分 二、(本题满分 40 分)给定正整数 m ,证明:存在正整数 k ,使得可 将正整数集 N+ 分拆为 k 个互不相交的子集 A1 , A2 , , Ak ,每个子集 Ai 中 均不存在 4 个数 a ,b, c ,d (可以相同),满足 ab ? cd ? m . 证明:取 k ? m ? 1,令 Ai ? ?x x ≡ i (mod m ? 1), x ∈ N+ ?,i ? 1,2, ,m ?1. …………………20 分 设 a ,b, c ,d ∈ Ai ,则 ab ? cd ≡ i ? i ? i ? i ? 0(mod m ?1) , 故 m ? 1 ab ? cd ,而 m ? 1 m ,所以在 Ai 中不存在 4 个数 a ,b, c ,d ,满足 ab ? cd ? m . …………………40 分 三、(本题满分 50 分)如图,点 D 是锐角△ ABC 的外接圆 ω 上弧 BC 的 中点,直线 DA 与圆 ω 过点 B , C 的切线分别相交于点 P , Q ,BQ 与 AC 的 交点为 X , CP 与 AB 的交点为 Y ,BQ 与 CP 的交点为 T .求证: AT 平分线段 XY . (答题时请将图画在答卷纸上) P D A Y Q X T B MC 1 证明:首先证明 YX ∥BC ,即证 AX AY ?. 连接 BD , CD .因 为 XC YB S S ? ACQ ? SS?ABC ?ABC ? ABP S ?? ?ACQ , S ?ABP 1AC ? CQ sin ∠ACQ 1AC ? BC sin ∠ACB 1 AC ? AQ sin ∠CAQ 所以 2 ?2 ?? 2 ,① 1 AB ? BC sin ∠ABC 1 AB ? BP sin ∠ABP 1 AB ? AP sin ∠BAP 2 2 2 由题设,BP , CQ 是圆 ω 的切线,所以 ∠ACQ ? ∠ABC , ∠ACB ? ∠ABP , 又 ∠CAQ ? ∠DBC ? ∠DCB ? ∠BAP (注意 D 是弧 BC 的中点),于是由①知 AB ? AQ ??CQ . AC ? AP BP ② …………………20 分 因为∠CAQ ? ∠BAP ,所以∠BAQ ? ∠CAP ,于是 S 1 ?ABQ 2AB ? AQ sin ∠BAQ AB ? AQ S ?ACP ??1 ??AC ? AP , ③ 2 AC ? AP sin ∠CAP S 1 而 ?BCQ 2 BC ? CQ sin ∠BCQ CQ S ?BCP ?? 1 ?? BP , ④ 由②,③,④得 2 BC ? BP sin ∠CBP S ?ABQ S ?? ?CBQ , S S 即 S ?ACP ?BCP ?ABQ S ?? S S ?ACP , S ?CBQ ?BCP 又 ?ABQ S ?? AX , S S ?ACP ?? AY , ?CBQ XC ?BCP YB AX AY 故 XC ? YB . …………………40 分 设边 BC 的中点为 M ,因为 AX CM BY XC ? MB ? YA ? 1 , 所以由塞瓦定理知, AM , BX , CY 三线共点,交点即为 T ,故由 YX ∥BC 可得, AT 平分线段 XY . …………………50 分 四、(本题满分 50 分)设 a1 , a 2 , , a 20 {1, 2, , 5}, b1 , b2 , , b20 {1, 2, , 10} , 集合 X (i , j ) 1 i j 20, ( ai a j )(bi b j ) 0 ,求 X 的元素个数的最大值. 解:考虑一组满足条件的正整数( a1 , a2 , , a20 , b1 , b2 , , b20 ) . 对 k 1, 2, , 5 ,设 a1 , , a20 中取值为 k 的数有 tk 个.根据 X 的定义,当 ai aj 2 5 时,(i , j ) X ,因此至少有 Ct2k k1 等式,我们有 5 个(i , j) 不在 X 中.注意到 tk k1 20 ,由柯西不 5 2 1 5 2 5 11 52 5 1 20 tk C k k t t k t k t 20 1 30 , k1 2 k1 k1 2 5 k1 k1 2 5 从而 X 的元素个数不超过 C 2 20 30 190 30 160 . 另一方面,取 a a 4k 3 4 k 2 a 4k 1 …………………30 分 a4k k ( k 1, 2, , 5) ,bi 6 ai (i 1, 2, , 20) ,

相关文档

2017年全国高中数学联合竞赛加试(B卷)
2017年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)答案
2017年全国高中数学联合竞赛竞赛加试(A卷)答案
2017年全国高中数学联合竞赛一试(B卷)试题及答案
2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)
2017年全国高中数学联合竞赛考试与解答(B卷)
2017年全国高中数学联合竞赛试卷与解答(B卷)
2017年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)
2017年全国高中数学联合竞赛精彩试题与解答(B卷)
电脑版