2012年霍邱县高中数学竞赛试卷及答题卷

2012 年霍邱县高中数学竞赛试题
(第Ⅰ卷)
温馨提示:请各位考生将第Ⅰ卷的答案填在第Ⅱ卷的答题卡上,只交第Ⅱ卷 一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ”的平

面? , ?
A.不存在 B.有且只有一对 C.有且只有两对 D.有无数对

2.已知函数 f ( x) ? lg x ? ( ) 有两个零点 x1 , x 2 ,则有
x

1 2

A. x1 x2 ? 0

B. x1 x2 ? 1

C. 0 ? x1 x2 ? 1

D. x1 x2 ? 1

3.一个直角三角形的两条直角边长为 a, b 满足不等式 a 2 ? 6a 2 ? 19 ? b2 ? 4b 3 ? 16 ? 3 , 则这个直角三角形的斜边长为 A.5 B. 30 C.6 D. 40

4.已知 a 、 b 为非零的不共线的向量,设条件 M : b ? a ? b ;条件 N : 对一切 x ? R ,不等式

? ?

a ? xb ? a ? b 恒成立.则 M 是 N 的
A.必要而不充分条件 C.充分而且必要条件 5.若对任意角 ? ,都有 A. B.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件

1 1 ? 2 ≥1 2 a b

cos ? sin ? ? ? 1 ,则下列不等式恒成立的是 a b 1 1 2 2 ? 2 ≤ 1 C. a 2 ? b2 ≥1 B. D. a ? b ≤1 2 a b
1 1 ? ? ,则 (3a1 ? 5a2 ? 7a3 ? ? ? 99a49 ) ? 2500a49 2 k
C.-1500 D.-2525

6.对每一个正整数 k ,设 ak ? 1 ? 等于( A.-1025 ) B.-1225

高 中 数 学 竞 赛 试 卷 第 1 页 共 7 页

二.填空题(本题满分 48 分,每小题 8 分)

P 在 A1B 上运动,则 AP ? PD1 的最小值等 7.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点
于 .
x2 y2 8. 过原点 O 的直线 l 与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于 M , N 两点,P 是椭圆 C 上异于 M , N 的 a b 1 任一点.若直线 PM , PN 的斜率之积为 ? ,则椭圆 C 的离心率为 . 3

9 . 某 程 序 框 图 如 右 图 所 示 , 现 将 输 出 ( x, y ) 值 依 次 记 为 :

( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ),?; 若程序运行中输出的一个数组是
( x, ?10), 则数组中的 x ?


(第10题图)

(第9题图)

10 . 如 上 图 , 在 △ ABC 中 , AB=3 , AC=5 , 若 O 为 △ ABC 的 外 心 , 则 AO ? BC 的 值 是 .

11.在平面直角坐标系中,定义 d ( P, Q) ?| x1 ? x2 | ? | y1 ? y 2 | 为两点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ) 之 间的“折线距离”. 则坐标原点 O 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 上一点的“折线距离”的最小值是 .

12.设正数数列 ?an ? 的前 n 项之和为 bn ,数列 ?bn ? 的前 n 项之积为 cn ,且 bn ? cn ? 1 .则数列

?1? ? ? 中最接近 2000 的数是 ? an ?



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2012 年霍邱县高中数学竞赛试题
(第Ⅱ卷)
第Ⅰ卷答题卡: 一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
题 答 号 案 1 2 3 4 5 6

准考证号:

二.填空题(本题满分 48 分,每小题 8 分) 7. 题 9. 11. 8. 10. 12.

勿 三.解答题(本大题共 4 小题,共 66 分)要求必须写出必要的演算或证明的过程) 请 13. (本题满分 15 分)设 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 | x |? 2 时, f ( x) ? 0 ,且 f ( x) 在 区间 (2,3] 上的最大值为 1,求 b ? c 的最大值和最小值.
2 2

姓名:

学校: 密 封 线





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14. (本题满分 15 分)已知整数 数列 ?an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 ..

5 项起依次成等比数列.

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m , 使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 .

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15. (本题满分 18 分)若不等式 x+ y≤k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围.

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16. (本题满分 18 分)如图,已知两点 A(? 5,0) 、 B( 5,0) , ?ABC 的内切圆的圆心 在直线 x ? 2 上移动。 (1) 求点 C 的轨迹方程; (2).过点 M (2,0) 作两条射线,分别交(1)中所求轨迹于 P 、 Q 两点,且 MP ? MQ =0, 判断直线 PQ 是否恒过定点,若恒过定点,请求出定点的坐标,若不恒过定点, 请说明理由。

(第16题图)

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线











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