正余弦定理教师版

正弦定理和余弦定理试题
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 6 分,共 60 分,将正确答案的代号填在题后 的括号内.) 1.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cosB=( 2 2 A.- 3 2 2 B. 3 C.- 6 3 ) D. 6 3

解析:依题意得 0° <B<60° ,由正弦定理得 1-sin2B= 6 ,选 D. 3

a b bsinA 3 = 得 sinB= = ,cosB= sinA sinB a 3

2.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c.若 a2-b2= 3bc,sinC=2 3sinB, 则 A=( ) B.60° C.120° D.150°

A.30°

b2+c2-a2 - 3bc+c2 解析: sinC=2 3sinB 可得 c=2 3b, 由 由余弦定理得 cosA= = = 2bc 2bc 3 ,于是 A=30° ,故选 A. 2 3.(2010· 江西)E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF=( 16 A. 27 2 B. 3 C. 3 3 3 D. 4 )

1 2 解 析 : 设 AC = 1 , 则 AE = EF = FB = AB = , 由 余 弦 定 理 得 CE = CF = 3 3 AE2+AC2-2AC· AEcos45° = CE2+CF2-EF2 4 5 ,所以 cos∠ECF= = , 3 2CE· CF 5 4 1-?5?2 ? ? 4 5 3 = . 4

sin∠ECF 所以 tan∠ECF= = cos∠ECF

答案:D

π 4.△ABC 中,若 lga-lgc=lgsinB=-lg 2且 B∈?0,2?,则△ABC 的形状是( ? ? A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

)

a 2 a 2 解析:∵lga-lgc=lgsinB=-lg 2,∴lg =lgsinB=lg .∴ =sinB= . c 2 c 2 π a2+c2-b2 3a2-b2 π 2 ∵B∈?0,2?,∴B= ,由 c= 2a, 得 cosB= = 2 = 2 . ? ? 4 2ac 2 2a ∴a2=b2,∴a=b. 答案:D

5.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B =30° ,△ABC 的面积为 0.5,那么 b 为( )

A.1+ 3

B.3+ 3

3+ 3 C. 3

D.2+ 3

4+2 3 1 1 1 3 解析:2b=a+c, ac·= ?ac=2,a2+c2=4b2-4,b2=a2+c2-2ac· ?b2= 2 2 2 2 3 3+ 3 ?b= . 3 答案:C

6.已知锐角 A 是△ABC 的一个内角,a、b、c 是三角形中各内角的对应边,若 sin2A- 1 cos2A= ,则( 2 ) C.b+c≤2a D.b+c≥2a 又 A 是锐角,所以 A=60° ,于是 B+C

A.b+c=2a B.b+c<2?

1 1 解析:由 sin2A-cos2A= ,得 cos2A=- , 2 2 b+c sinB+sinC 所以 = = 2a 2sinA 2sin

=120° .

B+C B-C cos 2 2 B-C =cos ≤1,b+c≤2a. 2 3

答案:C

7、若 ?ABC 的内角

A 满足 sin 2 A ?
B. ?

2 ,则 sin A ? cos A ? 3
C.

A.

15 3

15 3

5 3

D. ?

5 3

解:由 sin2A=2sinAcosA?0,可知 A 这锐角,所以 sinA+cosA?0, 又 (sin

A ? cos A)2 ? 1 ? sin 2 A ?

5 ,故选 A 3

8、如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则 A. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形

C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 解: ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 ?A1B1C1 是锐角三角形,若 ?A2 B2C2 是锐角三角形,由

? ? ? ? ? A2 ? 2 ? A1 ? sin A2 ? cos A1 ? sin( 2 ? A1 ) ? ? ? ? ? ? ? ? sin B2 ? cos B1 ? sin( ? B1 ) ,得 ? B2 ? ? B1 ,那么, A2 ? B2 ? C2 ? ,所以 ?A2 B2C2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?C2 ? 2 ? C1 ?sin C2 ? cos C1 ? sin( 2 ? C1 ) ? ?
是钝角三角形。故选 D。 9、 ? ABC 的三内角

? ? ? A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量 p ? ( a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若

? ? ? p // q ,则角 C 的大小为

(A)

? 6

(B)

? 3

(C)

? 2

(D)

2? 3
,利用余弦 定理可得

【 解析】

? ? ? p // q ? (a ? c)(c ? a) ? b(b ? a) ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? ab

2cos C ? 1 ,即 cos C ?
运算能力。

1 ? ? C ? ,故选择答案 B。 2 3

【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数,同时着重考查了同学们的 10、已知等腰 △ ABC 的腰为底的 2 倍,则顶角 A.

A 的正切值是(
D.



3 2

B.

3

C.

15 8

15 7

A 15 解:依题意,结合图形可得 tan ? 2 15

15 A 2? 15 ? 15 2 ? ,故 tan A ? A 7 15 2 1 ? tan 2 1? ( ) 2 15 2 tan

,选 D

11、 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B A.

?

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

解: ?ABC 中,a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 b=

2 a,

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? 4a 2 ? 2a 2 3 ? ,选 B. = 2ac 4a 2 4
? ,a= 3 ,b=1,则 c= 3
(D)

12、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A=

(A) 1

(B)2

(C)

3 —1

3

解:由正弦定理得 sinB=

1 ,又 a?b,所以 A?B,故 B=30?,所以 C=90?,故 c=2,选 B 2

二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 4 分, 16 分, 共 把正确答案填在题后的横线上. ) 13、在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5: 7 :8 ,则 ?B 的大小是___________.
解:

sin A : sin B : sin C ? 5: 7 :8 ?a?b?c=5?7?8 设 a=5k,b=7k,c=8k 由余弦定理可解得 ?B 的 ? 大小为 . 3
? 3 3 4
,b=4,A=30°,则 sinB= .

14、在 ? ABC 中,已知 a

解:由正弦定理易得结论 sinB=

3 2



15、在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC=

【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得,

AC BC ? ? sin 45 sin 60?

解得

AC ? 4 6

【解后反思】解三角形:已知两角及任一边运用正弦定理,已知两边及其夹角运用余弦定理 16、已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的中线 AD 的长 为 .

解析: 由 ?ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列可得 A+C=2B 而 A+B+C= ? 可得 ?B AD 为边 BC 上的中线可知 BD=2,由余弦定理定理可得

?

?
3

AD ? 3 。

本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。 三、解答题:(17-21 题 12 分,22 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 1 1 17。 、已知△ABC 的内角 A,B 及其对边 a,b 满足 a+b=a +b ,求内角 C. tanA tanB 解:由 a+b=a 1 1 +b 及正弦定理得 sinA+sinB=cosA+cosB, tanA tanB

π π π π 即 sinA-cosA=cosB-sinB, 从而 sinAcos -cosAsin =cosBsin -sinBcos , 4 4 4 4 π π 即 sin?A-4?=sin?4-B?. ? ? ? ? π π π π 又 0<A+B<π, 故 A- = -B, A+B= , 所以 C= . 4 4 2 2

18、在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b+c)sinB+(2c +b)sinC.(1)求 A 的大小;(2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状. 解:(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 1 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA,故 cosA=- ,又 A∈(0,π),故 A=120° . 2 1 (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC. 又 sinB+sinC=1,得 sinB=sinC= . 2 因为 0° <B<90° <C<90° ,0° ,故 B=C.所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 19、如图,在△ABC 中,已知 B=45° ,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC =6,求 AB 的长. 解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得 AD2+DC2-AC2 100+36-196 1 cos∠ADC= = =- , 2AD· DC 2 2×10×6 ∴∠ADC=120° ,∠ADB=60° . 在△ABD 中,AD=10,B=45° ,∠ADB=60° ,

3 10× 2 AD·sin∠ADB 10sin60° AB AD 由正弦定理得 = ,∴AB= = = =5 6. sin∠ADB sinB sinB sin45° 2 2
20、 已知 △ ABC 的周长为

2 ? 1 , s As n ? i n 且i

B 2s ?i n

C

. 求边 (I)

(II) AB 的长; 若 △ABC

的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6
两式相减, AB ? 1 . 得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 ,BC ? AC ? 2 AB ,

解:I) ( 由题意及正弦定理, 得 (II)由 △ ABC 的面积

1 1 1 BC ?AC ? C ? sin C ,得 BC ?AC ? ,由余弦定理,得 sin 2 6 3
? ( AC ? BC )2 ? 2 AC ?BC ? AB 2 1 ? ,所以 C ? 60? . 2 AC ?BC 2
? 3 . 4

cos C ?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 2 AC ?BC

21、△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a,b,c 成等比数列, cos B (Ⅰ)求 cotA+cotC 的值; (Ⅱ)设 BA ? BC

??? ??? ? ?

?

3 ,求 a+c 的值. 2

分析:本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇,关键是用好正弦定理、余弦定理等.

解 :( Ⅰ ) 由

cos B ?

3 3 7 , 得 sin B ? 1 ? ( ) 2 ? , 4 4 4



b2=ac

及 正 弦 定 理 得

2 s i n B ? s i nA s i n . C

则 cot A ? cot C

1 1 cos A cosC sin C cos A ? cosC sin A sin(A ? C ) ? ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin2 B sin B 1 4 ? ? ? 7. 2 sin B sin B 7 ??? ??? 3 ? ? 3 3 2 (Ⅱ)由 BA ? BC ? ,得 ca?cosB= ,由ㄋ B= ,可得 ac=2,即 b =2. 2 4 2 ?
由 余 弦 定 理 b2=a2+c2 - 2ac+cosB , 得 a2+c2=b2+2ac · cosB=5.

(a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9,

a?c ?3

22、 某海轮以 30 海里/小时的速度航行,在 A 点测得海面上油井 P 在南偏东 60? ,向北航行 40 分钟后到 达 B 点,测得油井 P 在南偏东 30? ,海轮改为北偏东 60? 的航向再行驶 80 分钟到达 C 点,求 P、C 间的 距离. 解:如图,在△ABP 中,AB = 30× ∠APB = 30? ,∠BAP = 120 ? , 由正弦定理,得:

40 60

= 20,

AB BP 20 = ,即 1 sin ?BPA sin ?BAP 2
80 60
= 40,

=

BP 3 2

,解得 BP = 20

3.

在△BPC 中,BC = 30×

由已知∠PBC = 90? ,∴PC = 所以 P、C 间的距离为 20

PB 2 ? BC 2

=

( 20 3 ) 2 ? 20 2 = 20 7

(海里).

7 海里.

评析:上述两例是在准确理解方位角的前提下,合理运用正弦定理把问题解决,因此,用正弦定理解 有关应用问题时,要注意问题中的一些名称、术语,如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等.


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