1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)


§1.5(一)

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§1.5(一)

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【学习要求】 1.理解 y=Asin(ωx+φ)中 ω、φ、A 对图象的影响. 2.掌握 y=sin x 与 y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系,并能正确 地指出其变换步骤. 【学法指导】 1.利用变换作图法作 y=Asin(ωx+φ)的图象时,若“先伸缩,再 平移”,容易误认为平移单位仍是|φ|,就会得到错误答案.这 是因为两种变换次序不同,相位变换是有区别的.例如,不少 π 同学认为函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位得到的是 y= 6 ? π? sin?2x+6 ?的图象,这是初学者容易犯的错误.事实上,将 y= ? ? π π sin 2x 的图象向左平移 个单位应得到 y=sin 2(x+ ),即 y= 6 6 π sin(2x+ )的图象. 3

§1.5(一)

2.平移变换和周期变换都只对自变量“x”发生变化,而不是“对
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角”,即平移多少是指自变量“x”的变化,x 系数为 1,而不 是对“ωx+φ”而言;周期变换也是只涉及自变量 x 的系数改 变,而不涉及 φ.要通过错例辨析,杜绝错误发生.

填一填·知识要点、记下疑难点

§1.5(一)

本 用“图象变换法”作 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象 课 时 栏 1.φ 对 y=sin(x+φ),x∈R 的图象的影响 目 开 y=sin(x+φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线 y=sin x 上所 关

有的点向左 (当 φ>0 时)或向 右 (当 φ<0 时)平行移动 |φ| 个单位 长度而得到.

填一填·知识要点、记下疑难点

§1.5(一)

2.ω(ω>0)对 y=sin(ωx+φ)的图象的影响 函数 y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把 y=sin(x+φ)的
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图象上所有点的横坐标 缩短 ( 当 ω>1 时 ) 或 伸长 ( 当 1 0<ω<1 时)到原来的 ω 倍(纵坐标 不变 )而得到. 3.A(A>0)对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象, 可以看作是把 y=sin(ωx+φ) 图象上所有点的纵坐标 伸长 (当 A>1 时)或 缩短 (当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到,函数 y=Asin x 的 值域为 [-A,A] ,最大值为 A ,最小值为 -A .

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§1.5(一)

探究点一
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φ 对 y=sin(x+φ),x∈R 的图象的影响

①利用五点法作出函数 y=sin x 的图象,通常选取的五个
(2π,0). , (π,0) ? π? ②为作出函数 y=sin?x+ 3?在一个周期上的图象, 请先完成 ? ?

点依次是 (0,0) ,

?π ? ? ,1? ?2 ?

?3π ? ? ,-1? ?2 ?, ,

下表,并回答相应的问题:

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§1.5(一)

π x+ 3 x
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? π? sin?x+3? ? ?

0
π -3
0

π 2
π 6
1

π
2π 3
0

3π 2
7π 6
-1


5π 3
0

? π? 通过上表可知, 利用五点法作函数 y=sin?x+3 ?的图象通常选 ? ? ?2π ? ?7π ? ? π ? ?π ? ? ,0? ? ,-1? ?- ,0? ? ,1? ?3 ? ?6 ?, ? 3 ? ,______ ?6 ? ,______ 取的五个点依次是:________ ,________
?5π ? ? ,0? ?3 ? _______.

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§1.5(一)

③为了作出函数

? π? y=sin?x-4 ?在一个周期上的图象, 请先完成 ? ?

下表,并回答相应的问题: π π x- 0 4 2 本 π 3 π 课 4 x ___ ___ 4 时
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? π? sin?x- 4 ? ? ?

π 5 ___ 4π
0 ___

3 π 2 7 ___ 4π
- 1 ___

2π 9 ___ 4π
0 ___

0 ___

1 ___

? π? 通过上表可知, 利用五点法作函数 y=sin?x-4 ?的图象通常选 ? ? ?π ? ?3 ? ?5 ? ?7 ? ? ,0? ? π,1? ? π,0? ? π,-1? 4 4 ?4 ? ,? ?,? ?,_________ ?4 ?, 取的五个点依次是:______ ______ ______ ?9 ? ? π,0? ?4 ? _______.

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§1.5(一)
? π? x,y=sin?x+3 ?, y= ? ?

④在同一坐标系中,作出函数 y=sin
? π? sin?x-4?的图象: ? ?

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§1.5(一)

⑤根据 y=sin 问题:

? ? π? π? x,y=sin?x+3 ?,y=sin?x- 4 ?的图象回答下列 ? ? ? ?

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? π? 函数 y=sin?x+3 ?的图象可以看作由正弦曲线 y=sin x 上所有 ? ? π ? π? 的点向 左 平移 3 个单位长度得到; 函数 y=sin?x- 4 ?的图象 ? ?

π 可以看作由正弦曲线 y=sin x 上所有的点向 右 平移 4 个单

位长度得到. 规律提炼:一般地,函数 y=sin(x+φ),x∈R 的图象,可以 看作是把 y=sin x 图象上的各点向 左 (φ>0)或向 右 (φ<0)平移

|φ| 个单位而得到(可简记为左“+”,右“-”),这种变换
称作相位变换.

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§1.5(一)

探究点二

ω(ω>0)对 y=sin(ωx+φ)的图象的影响

①函数 y=sin 2x 的周期为 π,利用五点法作图通常选取的
?π ? ?π ? ?3 ? ? ,0? ? ,1? ? π,-1? (π,0) . 2 4 ? ? ? ? ,______,________ ?4 ?,______ 五个点依次是(0,0),______

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x ②函数 y=sin 的周期为 4π,利用五点法作图通常选取的 2
(2π (4π,0) . (3π,-1) , 五个点依次是(0,0),(π,1) , _,0) ,

③在同一坐标系中,作出函数 y=sin x,y=sin 2x,y= x sin 的图象: 2

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§1.5(一)

x ④根据 y=sin x,y=sin 2x,y=sin 的图象回答下列问题: 2 函数 y=sin 2x 的图象可以看作把正弦曲线 y=sin x 图象上所 1 有点的横坐标压缩到原来的___ 2 倍(纵坐标不变);函数 y= 本 x 课 sin 的图象可以看作把正弦曲线 y=sin x 图象上所有点的横 2 时
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坐标拉伸到原来的 2 倍(纵坐标不变). 规律提炼:一般地,函数 y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是 把 y=sin(x+φ)的图象可以看作是把 y=sin x 的图象上所有点 1 的横坐标缩短(当 ω>1 时)或伸长(当 0<ω<1 时)到原来的___ ω 倍(纵坐标不变)而得到.
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§1.5(一)

探究点三

A(A>0)对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响

1 ①在同一坐标系中,作出函数 y=sin x,y=2sin x,y= sin x 2 在区间[0,2π]上的图象:
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§1.5(一)

1 ②根据 y=sin x,y=2sin x,y= sin x 的图象回答下列问题: 2 函数 y=2sin x 的图象可以看作是把 y=sin x 的图象上所有的
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点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)而得到,函数 y= 1 sin x 的图象可以看作是把 y=sin x 的图象上所有的点的纵坐 2 1 标压缩到原来的 倍(横坐标不变)而得到. 2 规律提炼:一般地,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作 是把 y=sin(ωx+φ)图象上的所有点的 纵 坐标伸长(当 A>1 时) 或缩短(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到.

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§1.5(一)

探究点四

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由函数 y=sin x 的图象经过怎样的变换得到函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象? y=sin x 的图象变换成 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象一般有两 个途径: 途径一:先相位变换,再周期变换 先将 y=sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位 1 长度,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的ω倍(纵 坐标不变),得 y=sin(ωx+φ)的图象. 途径二:先周期变换,再相位变换 1 先将 y=sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω倍(纵坐 |φ| 标不变),再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 ω 个 单位长度,得 y=sin(ωx+φ)的图象.

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§1.5(一)

试叙述,由函数 y=sin x 的图象经过怎样的变换得到函数 ? π? y=sin?2x+3 ?的图象? ? ?
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答 方法一:(先相位变换,再周期变换)先将 y=sin x 的图象 ? π? π 向左平移 个单位长度,得函数 y=sin?x+3?的图象;再将函 3 ? ? ? π? 数 y=sin?x+3?的图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来 ? ? 1 π 的 倍,得 y=sin(2x+ )的图象. 2 3

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§1.5(一)

方法二:(先周期变换,再相位变换)先将 f(x)=sin x 的图象上 1 各点纵坐标不变, 横坐标变为原来的 倍, 得函数 f(2x)=sin 2x 本 2
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的图象;再将函数 f(2x)=sin 2x 的图象上各点沿 x 轴向左平 ? ? π? ? π π 移 个单位长度,得 f?2?x+6??=sin 2(x+ )的图象,即函数 6 6 ? ? ?? ? π? y=sin?2x+3 ?的图象. ? ? 几何画板演示

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§1.5(一)

【典型例题】 例 1 要得到函数 图象
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? π? y=sin?2x+3 ?的图象,只要将 ? ?

y=sin 2x 的 ( )

π A.向左平移 个单位 3 π B.向右平移 个单位 3 π C.向左平移 个单位 6 π D.向右平移 个单位 6
解析 因为
? ? π? π? y=sin?2x+3?=sin2?x+6?, ? ? ? ?

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§1.5(一)

π 所以把 y=sin 2x 的图象上所有点向左平移 6个单位,就得到 ? ? π? π? y=sin2?x+6?=sin?2x+3?的图象. ? ? ? ? 答案 C
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小结 步骤:

已知两个函数的解析式,判断其图象间的平移关系的

①将两个函数解析式化简成 y=Asin ωx 与 y=Asin(ωx+φ), 即 A、ω 及名称相同的结构. ②找到 ωx→ωx+φ, 变量 x“加”或“减”的量, 即平移的单 ?φ? 位为?ω?. ? ? ③明确平移的方向.

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§1.5(一)

跟踪训练 1 要得到 的图象

? π? y=cos?2x-4 ?的图象,只要将 ? ?

y=sin 2x ( A )

π A.向左平移 个单位 8 本 π 课 C.向左平移 个单位 4 时

π B.向右平移 个单位 8 π D.向右平移 个单位 4 栏 ?π ? ? π? 目 解析 y=sin 2x=cos? -2x?=cos?2x- ? 2? ?2 ? ? 开 关 ? ? ? ? π? π? π?? ? =cos?2?x-4??=cos?2?x-8?-4? ? ? ? ? ?? ? ? ?

若设 f(x)=sin 2x=cos 则

? ? π? π? ? ? ? ? x - 2 - , ? ? ? 8 4 ? ? ?

? ? π? π? π ? ? ? ? f x+8 =cos 2x-4 ,∴向左平移8个单位. ? ? ? ?

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§1.5(一)

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例 2 把函数 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动 π 个单位长度, 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来 3 1 的 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 ( ) 2 ? π? A.y=sin?2x-3?,x∈R ? ? ?x π? B.y=sin?2+6 ?,x∈R ? ? ? π? C.y=sin?2x+3?,x∈R ? ? ? 2π? D.y=sin?2x+ 3 ?,x∈R ? ?

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§1.5(一)

π 解析 把函数 y=sin x 的图象上所有的点向左平行移动 个单位 3 ? π? 长度后得到函数 y=sin?x+3 ?的图象,再把所得图象上所有的点 ? ? ? π? 1 的横坐标缩短到原来的 倍,得到函数 y=sin?2x+3?的图象. 2 ? ? 本 课 答案 C 时
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小结

三角函数图象变换容易出错,尤其是既涉及平移变换

又涉及伸缩变换.平移时,若 x 的系数不是 1,需把 x 的系数 先提出,提出后括号中的 x 加或减的那个数才是平移的量, 即 x 的净增量.方向的规律是“左加右减”.伸缩时,只改 变 x 的系数 ω,其余的量不变化,伸长时系数|ω|减小,缩短 时|ω|增大.

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§1.5(一)

跟踪训练 2 把函数 y=sin x (x∈R)的图象上所有的点向左平 π 移 个单位长度, 再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来 3
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的 2 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 ( B ) ?x π? ?x π? A.y=sin?2+6 ?,x∈R B.y=sin?2+3?,x∈R ? ? ? ? ? ? π? 2π? C.y=sin?2x+3 ?,x∈R D.y=sin?2x+ 3 ?,x∈R ? ? ? ? π 解析 将 y=sin x 图象上的所有的点向左平移 个单位长度得 3 ? π? 到 y=sin?x+3?.再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 ? ? ? x π? 倍,得 y=sin?2+3?. ? ?

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§1.5(一)

π 例 3 把函数 y=f(x)的图象上各点向右平移 个单位, 再把横 6 2 坐标伸长到原来的 2 倍,再把纵坐标缩短到原来的 倍,所 3 ?1 π? 得图象的解析式是 y=2sin?2x+3 ?,求 f(x)的解析式. ? ? 本 课 ?1 π? 时 解 y=2sin?2x+3? 栏 ? ?
目 开 关
?1 π? y=3sin?2x+3? ? ? ? π? y=3sin?x+3? ? ? ? ? π π? π? y=3sin?x+6+3?=3sin?x+2?=3cos ? ? ? ?

x.

∴f(x)=3cos x.

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§1.5(一)

小结
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(1)本例已知变换途径及变换后的函数解析式,求变换

前函数图象的解析式,宜采用逆变换的方法. (2)已知函数 f(x)图象的伸缩变换情况,求变换前后图象的解 析式.要明确伸缩的方向及量,然后确定出 A 或 ω 即可.

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§1.5(一)

跟踪训练 3

将 y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来

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1 π 的 倍,然后再将整个图象沿 x 轴向右平移 个单位,得到的 2 2 1 曲线与 y= sin x 图象相同,则 y=f(x)的函数解析式为( C ) 2 π? 1 ?1 A.y= sin?2x-2 ? 2 ? ? π? 1 ?1 C.y= sin?2x+2 ? 2 ? ? π? 1 ? B.y= sin?2x+ 2 ? 2 ? ? π? 1 ? D.y= sin?2x-2 ? 2 ? ?

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§1.5(一)

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1.函数 y=cos x 图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来 的 2 倍, 得到图象的解析式为 y=cos ωx, 则 ω 的值为( B ) 1 1 A.2 B. C.4 D. 2 4

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?x π? y=sin?2+3 ?的图象,只要将函数 ? ?

§1.5(一)

2.要得到

x y=sin 的图象 2 ( C )

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π A.向左平移 个单位 3 π B.向右平移 个单位 3 2π C.向左平移 个单位 3 2π D.向右平移 个单位 3

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§1.5(一)

3.由 y=3sin x 的图象变换到
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?1 π? y=3sin?2x+3 ?的图象主要有两 ? ?

个过程:先平移后伸缩和先伸缩后平移,前者需向左平移 2 π π 3 3 ________个单位,后者需向左平移________个单位.

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§1.5(一)

π 4.将函数 y=sin(-2x)的图象向左平移 个单位,所得函数图 4
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y=-cos 2x . 象的解析式为____________
解析
? ? π? π? 即:y=sin?-2x-2?=-sin?2x+2?=-cos ? ? ? ?

2x.

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§1.5(一)

1 . 由 y= sin x 的图象,通过变换可得到函数 y= Asin(ωx +
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φ)(A>0,ω>0)的图象,其变化途径有两条: 相位变换 周期变换 (1)y=sin x ――→ y=sin(x+φ) ――→ 振幅变换 y=sin(ωx+φ) ――→ y=Asin(ωx+φ). 周期变换 相位变换 (2)y=sin x ――→ y=sin ωx ――→ 振幅变换 φ y=sin[ω(x+ω)]=sin(ωx+φ) ――→ y=Asin(ωx+φ).

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§1.5(一)

注意: 两种途径的变换顺序不同, 其中变换的量也有所不同: (1)是先相位变换后周期变换, 平移|φ|个单位.(2)是先周期变 |φ| 换后相位变换,平移 ω 个单位,这是很易出错的地方,应特 别注意. 2.类似地,y=Acos(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象也可由 y=cos x 的图象变换得到.

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