2019年高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念和通项公式优化练习新人教

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第 1 课时 等比数列的概念和通项公式

[课时作业]

[A 组 基础巩固]

1.已知等比数列{an}中,a1=32,公比 q=-12,则 a6 等于(

)

A.1

B.-1

1

C.2

D.2

解析:由题知 a6=a1q5=32×???-12???5=-1,故选 B.
答案:B 2.已知数列 a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数 a 的取值范围是( )

A.a≠1

B.a≠0 且 a≠1

C.a≠0

D.a≠0 或 a≠1

解析:由 a1≠0,q≠0,得 a≠0,1-a≠0,所以 a≠0 且 a≠1. 答案:B

3.在等比数列{an}中,a2 016=8a2 013,则公比 q 的值为( )

A.2

B.3

C.4

D.8

解析:q3=aa22

016=8,∴q=2.
013

答案:A

4.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7 等于( )

A.64

B.81

C.128

D.243

解析:∵{an}为等比数列,∴aa21+ +aa32=q=2. 又 a1+a2=3, ∴a1=1.故 a7=1×26=64. 答案:A

5.等比数列{an}各项均为正数,且 a1,12a3,a2 成等差数列,则aa34+ +aa45=(

)

A.-

5+1 2

B.1-2 5

C.

5-1 2

D.-

52+1或

5-1 2

1

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解析:a1,12a3,a2 成等差数列,所以 a3=a1+a2,从而 q2=1+q,∵q>0,∴q= 52+1,

∴aa34++aa45=1q= 52-1. 答案:C 6.首项为 3 的等比数列的第 n 项是 48,第 2n-3 项 是 192,则 n=________. 解析:设公比为 q,

则?????33qqn2-n-1= 4=41892

??qn-1=16 ? ???q2n-4=64

? q2=4,

得 q=±2.由(±2)n-1=16,得 n=5.

答案:5

7.数列{an}为等比数列,an>0,若 a1·a5=16,a4=8,则 an=________. 解析:由 a1·a5=16,a4=8,得 a21q4=16,a1q3=8,所以 q2=4,又 an>0,故 q=2,a1=1,an=2n-1. 答案:2n-1

8.若 k,2k+2,3k+3 是等比数列的前 3 项,则第四项为________.

解析:由题意,(2k+2)2=k(3k+3),解得 k=-4 或 k=-1,又 k=-1 时,2k+2=3k+3=0,不符合等比

数列的定义,所以

k=-4,前

3

27 项为-4,-6,-9,第四项为- 2 .

答案:-227

9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an+1,求证:{an}是等比数列,并求出通项公式. 证明:∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1. ∴Sn+1-Sn=an+1 =(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an. ∴an+1=2an.① 又∵S1=a1=2a1+1, ∴a1=-1≠0. 由①式可知,an≠0, ∴由aan+n 1=2 知{an}是等比数列,an=-2n-1. 10.在各项均为负的等比数列{an}中,2an=3an+1,且 a2·a5=287.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)-1861是否为该数列的项?若是,为第几项?

解析:(1)∵2an=3an+1,∴aan+n 1=23,数列{an}是公比为23的等比数列,又 a2·a5=287,所以 a21???23???5=???23???3,由于各

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项均为负,故 a1=-32,an=-???23???n-2.

(2)设 an=-8116,则-8116=-???23???n-2,

???23???n-2=???23???4,n=6,所以-1861是该数列的项,为第 6 项.

[B 组 能力提升]

1.设{an}是由正数组成的等比数列,公比 q=2,且 a1·a2·a3·…·a30=230,那么 a3·a6·a9·…·a30 等于( )

A.210

B.220

C.216

D.215

解析:由等比数列的定义,a1·a2·a3=???aq3???3,故 a1·a2·a3·…·a30=???a3·a6·aq91·0 …·a30???3. 又 q=2,故 a3·a6·a9·…·a30=220.

答案:B

2.已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7=( )

A.21

B.42

C.63

D.84

解析:设等比数列公比为 q,则 a1+a1q2+a1q4=21,又因为 a1=3,所以 q4+q2-6=0,解得 q2=2,所以 a3+ a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42.

答案:B

3.设{an}为公比

q>1

的等比数列,若

a2

014



a2

015

是方程

4x2-8x+3=0

的两根,则

a2

a + 016

2

017=________.

解析:4x2-8x+3=0

的两根分别为12和32,q>1,从而

a2

014=12,a2

015=32,∴q=aa22

015=3.a2
014

a + 016

2

017=(a2

a + 014

2

015)·q2

=2×32=18.

答案:18

4.在正项等比数列{an}中,已知 a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则 n=________. 解析:设数列{an}的公比为 q,由 a1a2a3=4=a31q3 与 a4a5a6=12=a31q12 可得 q9=3,又 an-1anan+1=a31q3n-3=324,因 此 q3n-6=81=34=q36,所以 n=14.

答案:14

5.有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积为-8;后三个数依次成等差数列,它们的积为-80,求

这四个数.

解析:由题意,设这四个数为bq,b,bq,a,

?? b3=-8. 则?2bq=a+b,
??b2aq=-80

?? a=10, 解得?b=-2,
??q=-2,

或?????abq= = =5- -2.82, ,

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4 ∴这四个数依次为 1,-2,4,10 或-5,-2,-5,-8.

6.已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中 n=1,2,3,….

(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;

(2)求{an}的通项公式. 解析:(1)证明:由已知得 an+1=a2n+2an, ∴an+1+1=a2n+2an+1=(an+1)2. ∵a1=2,∴an+1+1=(an+1)2>0.

∴lg(1+an+1)=2lg(1+an),即

+an+1 +an

=2,

且 lg(1+a1)=lg 3.

∴{lg(1+an)}是首项为 lg 3,公比为 2 的等比数列.

(2)由(1)知,lg(1+an)=2n-1·lg 3=lg 3 2n-1 ,

∴1+an=3 2n-1 ,

∴an=3 2n-1 -1.

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