和差公式及倍角公式的运用

和差公式及倍角公式的运用
一、和差公式

sin(α ? β ) ? sin α cos β ? cosα sin β , cos(α ? β ) ? cosα cos β ? sin α sin β , tanα ? tan β tan(α ? β ) ? ; 1 ? tanα tan β
二、倍角公式
sin 2α ? 2 sin α cosα, cos 2α ? cos2 α ? sin 2 α ? 1 ? 2 sin 2 α ? 2 cos2 α ? 1, 2 tanα tan 2α ? 1 ? tan2 α

三、应用类型 (题型一)-----给角求值 例 1、求 sin 1000 sin(?1600 ) ? cos2000 cos(?2800 ) 的值. 【解析】原式= ? (cos 10 0 sin 20 0 ? cos 20 0 sin 10 0 ) ? ? sin 30 0 ? ? .
1 2 1 或原式= ? (sin 80 0 sin 20 0 ? cos 20 0 cos 80 0 ) ? ? cos 60 0 ? ? . 2
( ) .

例 2、计算 1 ? 2 sin 2 22.50 的结果等于
A.

1 2
2

B.

2 2
0 0

C.

3 3

D.

3 2

【解析】 1 ? 2 sin 22.5 ? cos 45 ? 答案:B

2 . 2
) .

例 3、已知 sin α ?
A. ?

2 ,则 cos(π ? 2α) 的值为 ( 3
B. ?

5 3

1 9

C.

1 9
2

D.
2

5 3
4 1 ?1 ? ? . 9 9
1

【解析】 cos( π ? 2α ) ? ? cos 2α ? ?(1 ? 2 sin α ) ? 2 sin α ? 1 ? 2 ?

答案:B

例 4、已知 α 为第三象限角, cos α ? ?
【解析】∵ α 为第三象限角, cos α ? ?
2

3 ,则 tan 2α ? 5



3 , 5

∴ sin α ? ? 1 ? cos α ? ? 1 ? (? ) ? ?
2

3 5

4 , 5

于是 tan α ?

sin α 4 ? , cos α 3

2 tanα ∴ tan 2α ? ? 1 ? tan2 α

4 3 ? ? 24 . 4 7 1 ? ( )2 3 2?

例 5、求 sin 100 sin 300 sin 500 sin 700 的值.
【解析】法一:利用二倍角公式的变形公式

解:∵ sin 2α ? 2 sin α cos α ,∴ sin α ? ∴原式= =

sin 2α , 2 cos α

sin 200 1 sin 1000 sin 1400 ? ? ? 2 cos100 2 2 cos500 2 cos700

1 sin 200 1 sin 800 sin 400 ? ? ? = . 0 0 0 2 sin 80 2 2 sin 40 2 sin 20 16

法二:先将正弦变成为余弦,再逆用二倍角公式 解:原式= cos 80 0 ? ? cos 40 0 ? cos 20 0 = cos 20 0 cos 40 0 cos 80 0 = ? =
1 2 2 sin 200 ? cos200 cos400 cos800 sin 400 cos 400 cos800 = 2 sin 200 4 sin 200
1 2 1 2

1 sin 800 cos800 sin 1600 = = . 0 0 16sin 20 16 8 sin 20

或原式= cos 80 0 ? ? cos 40 0 ? cos 20 0 = cos 20 0 cos 40 0 cos 80 0
1 sin 400 1 sin 800 cos800 1 sin 1600 1 0 0 ? cos 40 cos80 ? ? ? ? ? = ? . 0 0 0 2 2 sin 20 8 16 sin 20 16 sin 20

1 2

1 2

提示:∵ sin 2α ? 2 sin α cos α ,∴ cos α ?

sin 2α sin 400 . ,因此 cos200 ? 2 sin α 2 sin 200

2

法三:构造对偶式,列方程求解
令x ? sin 100 sin 500 sin 700 , y ? cos100 cos500 cos700.

则 xy ? sin100 cos100 ? sin 500 cos500 ? sin 700 cos700
1 1 1 2 2 2 1 1 = sin 20 0 ? sin 80 0 ? sin 40 0 = sin 80 0 ? sin 40 0 ? sin 20 0 8 8 1 1 = cos 10 0 cos 50 0 cos 70 0 = y 8 8 1 1 ∵ y ? 0 ,∴ x ? ,从而有 sin 100 sin 300 sin 500 sin 700 = . 8 16

= sin 20 0 ? sin 100 0 ? sin 140 0

例 6、求下列各式的值 (1) sin 2
π 1 ? ; 8 2

(2 )
1 2

π ? tan π 12 tan 12 1

【解析】 (1)原式= ( 2 sin

2

π 1 π 1 π 2 ; ? 1) ? ? (1 ? 2 sin 2 ) ? ? cos ? ? 8 2 8 2 4 4

(2)原式=

1 ? tan2

π π 1 ? tan2 12 ? 2 ? 12 ? 2 ? 1 ? 2 3 . π π π tan 2 tan tan 12 12 6

【题后感悟】对二倍角公式的理解应注意以下几点: (1)对“二倍角”应该有广义的理解,如:4α 是 2α 的二倍角,α 是 的二倍角, 3α 是
3α 的二倍角等; 2 1 2 α 2

(2)公式逆用:主要形式有 2 sin α cos α ? sin 2α , sin α cos α ? sin 2α,
sin α ? sin 2α sin 2α 2 tan α , cos α ? , cos2 α ? sin 2 α ? cos2α, ? tan 2α. 2 cos α 2 sin α 1 ? tan 2 α

【变式训练】 同步练习、求下列各式的值
π π π π ⑴ cos200 cos400 cos600 cos800 ; ⑵ (cos ? sin )(cos ? sin ) ; ⑶ 8 8 8 8

a n t 1? a n t

π 8
2

π 8
3

(题型二)------给值求值 例 1、已知 sin( ? x) ? , x ? (0, ),求 【点拨】
π π π 求 ? x的范围? 求cos( ? x)的值 ? 利用cos 2 x ? sin( ? 2 x)求值, 4 4 2 π π π π π π π 而sin( ? 2 x) ? 2 sin( ? x) cos( ? x); cos( ? x) ? sin[ ? ( ? x)] ? sin( ? x). 2 4 4 4 2 4 4

π 4

1 5

π 4

cos2 x 的值 . π cos( ? x) 4

【解析】∵ x ? (0, ), ∴ ? x ? (0, ), 依题意, sin( ? x) ? ,∴ cos( ? x) ? 1 ? sin 2 ( ? x) ? 又 cos2 x ? sin( ? 2 x) ? 2 sin( ? x) cos( ? x) ? 2 ? ?
cos( π π π π 1 ? x) ? sin[ ? ( ? x)] ? sin( ? x) ? , 4 2 4 4 5
π 4 1 5

π 4

π 4

π 4

π 4

π 4

2 6 , 5

π 2

π 4

π 4

1 2 6 4 6 ? , 5 5 25

4 6 4 6 . ∴原式= 25 ? 1 5 5

【题后感悟】 (1)从角的关系寻找突破口.这类三角函数求值问题常有两种解题 途径:一是对题设条件变形,将题设条件中的角、函数名向结论中的 角、函数名靠拢;另一种是对结论变形,将结论中的角、函数名向题 设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论. (2)当遇到 ? x 这样的角时,可利用互余角的关系和诱导公式,将 条件与结论沟通. cos 2 x ? sin( 类似这样的变换还有:
4

π 4

π π π ? 2 x) ? 2 sin( ? x) cos( ? x). 2 4 4

π π π cos 2 x ? sin( ? 2 x) ? 2 sin( ? x) cos( ? x), 2 4 4 π π π sin 2 x ? cos( ? 2 x) ? 2 cos2 ( ? x) ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ( ? x), 2 4 4 π π π sin 2 x ? ? cos( ? 2 x) ? 1 ? 2 cos2 ( ? x) ? 2 sin 2 ( ? x) ? 1等等 . 2 4 4
例 2、已知 sin( ? x) ? , x ? (0, ), 求
π 2
π 4 2 3 π 4

sin 2 x 的值. π sin( ? x) 4

2 1 【解析】? sin 2 x ? cos( ? 2 x) ? 1 ? 2 sin 2 ( ? x) ? 1 ? 2 ? ( ) 2 ? , 3 9

π 4

又∵ x ? (0, ), ∴ ? x ? (0, ), 依题意, sin( ? x) ? ,∴ cos( ? x) ? 1 ? sin 2 ( ? x) ? 而 sin( ? x) ? sin[ ? ( ? x)] ? cos( ? x) ?
1 5 ? 原式 ? 9 ? . 5 15 3
π 4 2 3

π 4

π 4

π 4

π 4

π 4

5 , 3

π 4

π 2

π 4

π 4

5 , 3

(题型三)------化简 例、化简下列各式: ⑴
cos100 (1 ? 3 tan100 ) cos700 1 ? cos 400 ;
2 cos2 θ ? 1 . ⑵ π π 2 t an( ? θ ) sin 2 ( ? θ ) 4 4

【点拨】切化弦,并逆用二倍角公式
3 sin 100 ) cos100 ? 3 sin 100 cos100 ? 【解析】 (1)原式= sin 400 sin 200 ? 2 cos 200 2? 2 cos100 (1 ?

5

1 3 2 2 ( cos100 ? sin 100 ) 2 (cos10 ? 3 sin 10 ) 2 2 ? ? sin 400 sin 400 2 2 (sin 300 cos100 ? cos300 sin 100 ) 2 2 sin 400 ? ? ? 2 2. sin 400 sin 400
0 0

提示:1、 1 ? cos400 ? 2 cos2 200 ; 2、 还可以将 变为cos600 , 将 【解析】 (2)原式=
1 2 3 变为sin 600 ,因此,分子变为 cos500. 2

cos 2θ cos 2θ cos 2θ ? ? ? 1. π π cos 2θ 2 sin( ? θ ) sin( ? 2θ ) 2 π 4 2 ? cos ( ? θ ) π 4 cos( ? θ ) 4

【题后感悟】 被化简的式子中有切函数与弦函数时,常首先“切化弦” ,然后 分析角的内部关系,看是否有互余或互补的,若有,应用诱导公式转 化;若没有,再分析角间是否存在线性关系,并利用两角和与差的三 角函数展开(或重新组合) ,经过这样的处理后,一般都会化简完毕. 【变式训练】 化简:⑴
3 tan120 ? 3 ; sin 120 (4 cos2 120 ? 2)



1? s i n α?co s α 1? s i n α?cos α ? . 1? s i n α?cos α 1? s i n α?co s α

3 sin 120 ?3 0 3 sin 120 ? 3 cos120 cos 12 【解析】⑴原式= ? 2 sin 120 (2 cos2 120 ? 1) 2 sin 120 cos120 cos 240
1 3 2 3 ( sin 120 ? cos120 ) 4 3 (sin 300 sin 120 ? cos300 cos120 ) 2 2 ? ? sin 240 cos 240 sin 480

? 4 3 cos 420 ? 4 3 sin 480 ? ? ? ?4 3. sin 480 sin 480

6

α α α α α α 2 sin cos ? 2 sin 2 2 sin cos ? 2 cos2 2 2 2 ? 2 2 2 ⑵法一:原式= α α α α α α 2 sin cos ? 2 cos2 2 sin cos ? 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 α α α α sin cos sin 2 ? cos2 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 . ? α α α α sin α cos sin sin cos 2 2 2 2

法二:原式=
?

(1 ? sin α ? cosα) 2 ? (1 ? sin α ? cosα) 2 2(1 ? sin α) 2 ? 2 cos2 α ? ( 1 ? sin α ? cosα) (1 ? sin α ? cosα) (1 ? sin α) 2 ? cos2 α
4(1 ? sin α ) 2 ? . 2 sin α (1 ? sin α ) sin α

四、万能公式(正、余弦的二倍角与正切的单角的关系) 1. sin 2α ? 2 sin α cos α ?
2 2

2 sin α cos α 2 tan α 2 tan α ? , 即sin 2α ? ; 2 2 2 sin α ? cos α 1 ? tan α 1 ? tan 2 α

cos2 α ? sin 2 α 1 ? tan2 α 1 ? tan2 α ? , 即cos 2α ? . 2. cos2α ? cos α ? sin α ? 2 sin α ? cos2 α 1 ? tan2 α 1 ? tan2 α

说明:这两个公式叫做“万能公式” ,在是否记忆上不做硬性要求, 但记住了 S 2α、C2α与T2α 之间的关系,就会使解题过程更简捷. 五、活用公式 由于公式之间存在着紧密的联系, 所以, 就要求我们在思考问题 的时候必须因势利导、融会贯通,要有目的地活用公式. 主要形式有: ⑴、 1 ? sin 2α ? sin 2 α ? cos2 α ? 2 sin α cosα ? (sin α ? cosα) 2 ,
sin 2α ? ?sin α ? 2 cosα , ⑵、 sin 2α ? 2 sin α cosα ? ? sin 2α ?cosα ? . 2 sin α ?

7

?cos 2α ? 2 cos2 α ? 1, ? 2 ? cos 2α ? 1 ? 2 sin α, 1 ? cos 2α ⑶、 cos 2α ? cos2 α ? sin 2 α ? ? ? cos2 α ? , 2 ? ? sin 2 α ? 1 ? cos 2α . ? 2 ?

六、错例分析 例、解不等式 sin x ? cos x ? 1 ? 0.
2 【错解】∵ sin x ? cos x ? 1, 两边平方,得 (sin x ? cos x) ? 1,

∴ 1 ? 2 sin x cos x ? 1, ∴ sin 2 x ? 0, ∴ 2kπ ? 2 x ? 2kπ ? π (k ? Z ), 因此, kπ ? x ? kπ ? (k ? Z ). 即原不等式的解集为 (kπ , kπ ? ), 其中 k ? Z . 【正解】∵ sin x ? cos x ? 1, 两边平方,得 sin x cos x ? 0, ∴必有 sin x ? 0 且 cos x ? 0 , 又∵ sin x ? 1, cos x ? 1 ,∴ x 必为第一象限角, ∴ 2kπ ? x ? 2kπ ? (k ? Z ). 即原不等式的解集为 (2kπ ,2kπ ? ), 其中 k ? Z . 【错因】错因 1:忽略了 x 为第一象限角(因为 sin x ? 1, cos x ? 1 , 又∵ sin x ? cos x ? 1, 所以必须 sin x ? 0 且 cos x ? 0 ) ; 错因 2:上述方法引进了 sin x ? cos x ? ?1 的增解,如果改 用恒等变形,得 2 sin( x ? ) ? 1, 即 sin(x ? ) ? 寻找隐含条件.
π 4

π 2

π 2

π 2

π 2

π 4

2 ,可避免增解,也无需 2

8


相关文档

和、差角公式的变角运用
和差角公式的变角运用
和差角公式的运用
两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用1
两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用
两角和与差的三角函数及倍角公式的运用
和、差、倍角公式在三角恒等变形中的运用技巧
两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用汇总
三教函数—和差角公式运用
两角和与差及二倍角公式【精选】
电脑版